機(jī)械波動(dòng)能與勢(shì)能同步問(wèn)題的深入分析

張棲寧 馮 杰 蘇秋霞 湯奕楠

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234）

1 機(jī)械波的定義及其產(chǎn)生的條件

機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波.在彈性體內(nèi)部的機(jī)械波的產(chǎn)生條件：我們一般把彈性體稱為彈性介質(zhì)，在彈性介質(zhì)中，各質(zhì)點(diǎn)間是以彈性力互相聯(lián)系著的.如果介質(zhì)中有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A，因受外界擾動(dòng)而離開(kāi)其平衡位置，A點(diǎn)周?chē)馁|(zhì)點(diǎn)就將對(duì)A作用一個(gè)彈性力以對(duì)抗這一擾動(dòng)，使A回到平衡位置，并在平衡位置附近做振動(dòng).與此同時(shí)，當(dāng)A偏離其平衡位置時(shí)，A點(diǎn)周?chē)馁|(zhì)點(diǎn)也受到A所作用的彈性力，于是周?chē)|(zhì)點(diǎn)也離開(kāi)各自的平衡位置，并使周?chē)|(zhì)點(diǎn)對(duì)其鄰接的外圍質(zhì)點(diǎn)作用彈性力，從而由近及遠(yuǎn)地使周?chē)|(zhì)點(diǎn)、外圍質(zhì)點(diǎn)以及更外圍的質(zhì)點(diǎn)，都在彈性力的作用下陸續(xù)振動(dòng)起來(lái).這就是說(shuō)，介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)又引起較遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，于是振動(dòng)就以一定的速度由近及遠(yuǎn)地向各個(gè)方向傳播出去，形成波動(dòng).由此可見(jiàn)，機(jī)械波的產(chǎn)生條件為：一是要有做機(jī)械振動(dòng)的物體，亦即波源；二是要有能夠傳播這種機(jī)械振動(dòng)的介質(zhì)，只有通過(guò)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，才可能把機(jī)械振動(dòng)向外傳播［1］.

2 機(jī)械波的能量

眾所周知，機(jī)械波在傳播機(jī)械振動(dòng)這種運(yùn)動(dòng)形式的同時(shí)也伴隨著振動(dòng)能量的傳遞，所以波的傳播過(guò)程既是振動(dòng)的傳播過(guò)程，又是能量的傳遞過(guò)程.那么機(jī)械波的能量是怎樣產(chǎn)生又有什么特點(diǎn)呢？

2.1 機(jī)械波能量的來(lái)源

當(dāng)波在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)中的所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近振動(dòng)，每個(gè)質(zhì)元都具有振動(dòng)速度，所以具有動(dòng)能；同時(shí)由于介質(zhì)元都發(fā)生壓縮或伸張形變（縱波）或切形變（橫波），介質(zhì)因而具有彈性勢(shì)能.動(dòng)能和勢(shì)能的總和就是該介質(zhì)元的總機(jī)械能.因此波傳到哪里，哪里就有機(jī)械能.這些機(jī)械能來(lái)自于波源.在介質(zhì)元不遷移的情況下傳遞能量是介質(zhì)波動(dòng)的基本性質(zhì).那么介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)是否與做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的諧振子一樣機(jī)械能守恒呢？

2.2 機(jī)械波的能量公式

下面以簡(jiǎn)諧縱波在一棒中沿棒長(zhǎng)方向傳播為例，推導(dǎo)出波的能量公式.

圖1 棒中波動(dòng)的分析

如圖1所示，取x軸沿棒長(zhǎng)方向，設(shè)波動(dòng)方程為

式中u為波傳播的速度.在波動(dòng)過(guò)程中，棒中每一小段將不斷地壓縮和拉伸.

在棒上任取一體積元（注意：是體積元，而不是質(zhì)點(diǎn)）BC，體積dV，棒在平衡位置時(shí)，B，C坐標(biāo)分別為x和x＋dx，即BC長(zhǎng)為dx.設(shè)棒的橫截面積為S，質(zhì)量密度為ρ，體積元能量為dW＝dWk＋dWp.

其中，體積元的動(dòng)能為

式（1）中的v為棒上體積元振動(dòng)的速度.勢(shì)能由以下推導(dǎo)求得：設(shè)t時(shí)刻，A 和B端位移分別為y，y＋dy，所以，體積元伸長(zhǎng)量為dy.設(shè)在體積元端面上由于形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力大小為f，可知，協(xié)強(qiáng)為，根據(jù)我們熟知的胡克定律，按照楊氏彈性模量定義，有

式中Y為楊氏彈性模量.則有

按照胡克定律，在彈性限度內(nèi)彈性恢復(fù)力值為

從機(jī)械波能量的公式可以看出，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能兩者相位一致，動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或最小，同處達(dá)到最大或最小，即機(jī)械波動(dòng)能與勢(shì)能同步.而且在波的傳播過(guò)程中，介質(zhì)中每個(gè)質(zhì)元的機(jī)械能不守恒，而是隨時(shí)間變化的［2］.

2.3 機(jī)械波動(dòng)能與勢(shì)能同步

為了更形象、更深刻地理解“機(jī)械波傳播的介質(zhì)中各體元的動(dòng)能和勢(shì)能問(wèn)題”，筆者從定性方面討論一下波動(dòng)中能量的變化過(guò)程.為簡(jiǎn)明計(jì)，只討論平面簡(jiǎn)諧橫波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播時(shí)的情況，如圖2表示橫波在介質(zhì)中的傳播（由于介質(zhì)各向同性，只討論一個(gè)平面的情況）的放大圖.

圖2 體元處于平衡位置

在介質(zhì)內(nèi)任取一小體元dV（宏觀足夠小，微觀足夠大），其平衡位置為A，當(dāng)波在介點(diǎn)中傳播時(shí)，該體元在位置A附近上下振動(dòng)，由于具有振動(dòng)速度，產(chǎn)生振動(dòng)動(dòng)能dEk；在振動(dòng)的同時(shí)，體元dV發(fā)生形變，具有形變勢(shì)能dEp，體元中總能量dE＝dEk＋dEp.

（1）當(dāng)體元dV處于平衡位置A時(shí)（如圖2），其振動(dòng)速度v達(dá)最大，因而動(dòng)能dEk∝v2達(dá)最大；同時(shí)，由于A處于左右兩平面的位移方向相反，相互拉伸，因而相對(duì)形變最大，而勢(shì)能dEp∝δ2（其中δ表示形變），所以此時(shí)勢(shì)能也最大.

（2）當(dāng)體元dV處于最大位移時(shí)（如圖3），振動(dòng)速度v＝0，因而dEk＝0，此時(shí)，體元內(nèi)部各部分位移相等且同向，形變?yōu)榱悖蚨鴇Ep＝0.

圖3 體元處于最大位移

（3）體元dV處于平衡位置與最大位移之間的一般位置時(shí)（如圖4），動(dòng)能和勢(shì)能同時(shí)增大，同時(shí)減小，任一時(shí)刻兩者都有相等的值.

圖4 體元處于一般位置

因此，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能兩者相位一致，動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或最小，機(jī)械波動(dòng)能與勢(shì)能同步.體元總能量dE是時(shí)刻在變化的.在平衡位置時(shí)，體元從附近介質(zhì)中吸收能量，能量達(dá)到最大值；到最大位移處，體元放出能量，減小為零［3］.這樣，體元就與其附近體元交換能量.因此，波動(dòng)過(guò)程也是能量傳播過(guò)程，能量沿波的方向傳播出去.

另外，大家都知道，在簡(jiǎn)諧波中，介質(zhì)中各部分由于彈性力的作用，依次重復(fù)振源的振動(dòng)，并依此導(dǎo)出簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式，但介質(zhì)內(nèi)各部分的振動(dòng)并不完全與簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)相同.因?yàn)楹?jiǎn)諧振子系統(tǒng)是一個(gè)孤立的系統(tǒng)，彈簧振子或扭擺等振動(dòng)系統(tǒng)中線性回復(fù)力為彈性力（或力矩），它們是保守力（或力矩），所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒.對(duì)單個(gè)諧振子，當(dāng)動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最小為零，當(dāng)勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小為零.而波動(dòng)中介質(zhì)各部分就不能看作一個(gè)孤立的系統(tǒng)，每一部分都與附近的介質(zhì)有相互作用，能量時(shí)刻在變化，波的傳播過(guò)程中，介質(zhì)中的任一質(zhì)元與其鄰近的質(zhì)元之間在不斷進(jìn)行能量交換，機(jī)械能不守恒，正表明波的傳播過(guò)程也是能量的傳播過(guò)程.而且在能量的表達(dá)式中，含有行波的相位傳播因子（ωt －kx ），因此能量傳輸速度等于波的相速度

所以相位傳播 —— 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)傳播 —— 能量傳輸，三者是一致的［4］.

2.4 機(jī)械波能量傳遞的本質(zhì)

能量的傳遞必須通過(guò)做功過(guò)程而實(shí)現(xiàn)，機(jī)械波的能量傳遞也不例外.

圖5 機(jī)械波的傳遞

圖5所示為一列沿繩子向右傳播的簡(jiǎn)諧橫波在某一時(shí)刻的波形圖.A，B，C為繩子上3個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn).由于波是由A傳向B，再傳向C的，所以B質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是由于A質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)使繩子發(fā)生形變而產(chǎn)生的彈力F帶動(dòng)的.很明顯，這個(gè)彈力對(duì)A做負(fù)功而對(duì)B做正功，使A質(zhì)點(diǎn)不斷釋放能量，而使B質(zhì)點(diǎn)不斷吸收能量，使能量從A傳遞給B.同理C質(zhì)點(diǎn)又是B質(zhì)點(diǎn)帶動(dòng)的，因此B質(zhì)點(diǎn)又不斷地向C質(zhì)點(diǎn)傳遞能量.但應(yīng)該注意每一質(zhì)點(diǎn)在任一小段時(shí)間ΔtΔt→0（）內(nèi)，從前一質(zhì)點(diǎn)吸收的能量并不等于向后一質(zhì)點(diǎn)釋放的能量.如圖5中的質(zhì)點(diǎn)B，此時(shí)由于兩側(cè)介質(zhì)的形變大小不同，兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)A，C對(duì)它的彈力也就不同，左側(cè)形變小、彈力小，右側(cè)形變大、彈力大，因此在這一時(shí)刻附近的一小段Δt（Δt →0）內(nèi)，A對(duì)B做正功小于C對(duì)B做的負(fù)功，也就是說(shuō)B從A吸收的能量小于B向C釋放的能量.因而B(niǎo)向上離開(kāi)平衡位置的過(guò)程中總能量是減少的.同理，在B返回平衡位置的過(guò)程中總能量又是增加的.這樣通過(guò)介質(zhì)之間相互作用力做功，使每一質(zhì)點(diǎn)周期性的積累能量和釋放能量實(shí)現(xiàn)了能量隨波的傳遞［5］.

綜上所述，機(jī)械波在傳播過(guò)程中，每一時(shí)刻介質(zhì)中各處的能量（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是能量密度）在波的傳播方向上呈現(xiàn)周期性的分布，是不均勻的，而每一質(zhì)點(diǎn)的能量也是隨時(shí)間周期性變化的，是不守恒的.能量的傳播是通過(guò)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力做功來(lái)實(shí)現(xiàn)的.

在關(guān)于“機(jī)械波傳播的介質(zhì)中各體元的動(dòng)能和勢(shì)能同步”的問(wèn)題上，大多數(shù)課本中只是運(yùn)用數(shù)學(xué)公式導(dǎo)出“動(dòng)能和勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大，又同時(shí)減小為零”的結(jié)論，同學(xué)們往往不能達(dá)到較深層次的理解.本文定性地討論了波動(dòng)中能量的變化過(guò)程，從而使學(xué)生對(duì)機(jī)械波動(dòng)能與勢(shì)能的同步、在波的傳播過(guò)程中，介質(zhì)中每個(gè)質(zhì)元的機(jī)械能不守恒、波的傳播過(guò)程也是能量的傳播過(guò)程以及機(jī)械波能量傳遞的本質(zhì)等問(wèn)題有較好的體會(huì)和認(rèn)知，而不只是死記硬背結(jié)論.

1 戚伯云，楊維纮.力學(xué).北京：科學(xué)出版社，2011.242～243

2 馮杰.大學(xué)物理專題研究.北京：北京大學(xué)出版社，2011.126～129

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué).北京：高等教育出版社，2005.342～344

4 徐銘.怎樣理解機(jī)械波的能量.教材教法，2005，34（5）：14～15

5 楊周林.淺談機(jī)械波的能量及其傳遞.物理教師，1999，20（7－8）：42