淺析運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值

趙琴妹

摘 要 函數(shù)的最值問題在經(jīng)濟(jì)生活中具有實(shí)際意義。本文根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，選擇了經(jīng)濟(jì)生活中常見的最值問題進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并對(duì)其求解方法進(jìn)行了探析。

關(guān)鍵詞 函數(shù)最值 應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)生活

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On the Use of Derivatives for Solving the Most Value Function

ZHAO Qinmei

（Hami Coal Secondary Vocational School， Hami， Xinjiang 839003）

Abstract Function most value problem has practical significance in economic life. Based on years of teaching experience， choose the economic life of the most common questions the value of a detailed analysis， and explores its solving methods.

Key words most function value； application； economic life

在經(jīng)濟(jì)生活中，往往需要在一定經(jīng)濟(jì)條件下合理配置資源，使得投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高，也經(jīng)常會(huì)遇到求利潤(rùn)最大化、用料最省、效率最高等問題。這些經(jīng)濟(jì)生活問題通常都可以轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)中函數(shù)問題來(lái)探討，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)中最大（?。┲档膯栴}。以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)作為強(qiáng)有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。

解決函數(shù)極值問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)。把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問題中的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。一般步驟有：（1）解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義。（2）根據(jù)問題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此開區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較。（3）相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡(jiǎn)單。

1 最大利潤(rùn)問題

即當(dāng)彩電售價(jià)為 = 4200元時(shí)，其需求彈性為富有彈性，此時(shí)適當(dāng)降價(jià)不僅能增加銷售量，擴(kuò)大該企業(yè)的彩電在銷售市場(chǎng)上占有的份額，同時(shí)也能減少產(chǎn)品的庫(kù)存積存，減低庫(kù)存成本，增加銷售收入，給企業(yè)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)效益。

在此例中，通過教學(xué)的積極引導(dǎo)和支持，學(xué)生對(duì)這一類應(yīng)用題的解法有了一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。在講解時(shí)需要強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)和極值問題的分析和應(yīng)用，需要學(xué)生熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)。通過以上典型例題的研究和分析，能夠讓學(xué)生對(duì)利用導(dǎo)數(shù)求解極值問題有初步的認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2 經(jīng)濟(jì)批量問題

經(jīng)濟(jì)批量問題是確定合理采購(gòu)進(jìn)貨的批量，使庫(kù)存費(fèi)用和采購(gòu)費(fèi)用之和最小。如圖1所示：

圖1

如果某種商品的全年需求量為，全年分批采購(gòu)，批量為，庫(kù)存量為，為每采購(gòu)一批貨物所需要的采購(gòu)費(fèi)用，表示一個(gè)單位貨物庫(kù)存一年所需費(fèi)用，為時(shí)間，為進(jìn)貨周期，則全年平均庫(kù)存量為最大庫(kù)存與最小庫(kù)存之和的平均數(shù)。若表示全年采購(gòu)次數(shù)，則其在數(shù)值上等于全年需求量與批量的商。

例2：某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年銷售量為100萬(wàn)件，每批生產(chǎn)需要增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件的一年庫(kù)存費(fèi)為0.05元.如果年銷售率為平均的，且上批售完后立即生產(chǎn)出下批（此時(shí)商品的庫(kù)存數(shù)為批量的一半），問應(yīng)分為幾批生產(chǎn)，能使采購(gòu)費(fèi)用及庫(kù)存費(fèi)之和最?。?/p>

問題分析：此題的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)題目理解不透徹，概念理解有偏差，對(duì)采購(gòu)費(fèi)用、總費(fèi)用、庫(kù)存費(fèi)用三者之間的關(guān)系理解不清，計(jì)算錯(cuò)誤。關(guān)鍵是確定總費(fèi)用的構(gòu)成要素，根據(jù)各個(gè)構(gòu)成要素確定求解方法。

即分5批生產(chǎn)，總費(fèi)用最小。

例二在實(shí)際生活中不是很常見，在解決導(dǎo)數(shù)與數(shù)學(xué)建模問題時(shí)，首先要注意自變量的取值范圍，即考慮問題的實(shí)際意義。解決問題的過程實(shí)際上是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程，所以對(duì)此定義和公式須給予詳細(xì)的解釋和說(shuō)明，要引導(dǎo)學(xué)生注重把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，要考慮符合問題的實(shí)際意義，掌握此類題型解題的基本步驟。

例3：某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去。當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)。試問房租定為多少可獲得最大收入？

問題分析：當(dāng)租金定為每月180元時(shí)可全部出租，但租金可能太低，當(dāng)月租高于180元會(huì)有房子租不出去，所以為了獲得最大收入，要找最佳租出點(diǎn)。

解：設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為：

當(dāng) = 0時(shí)，= 350（唯一駐點(diǎn)），故每月每套租金為 350 元時(shí)收入最高，最大收入為=（）（）=10890（元）。

例3跟生活結(jié)合非常緊密，首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具。根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，尋找各個(gè)條件之間的聯(lián)系，讓學(xué)生充分利用已學(xué)知識(shí)去分析解答此類問題，對(duì)提高學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力具有重要意義。

3 總結(jié)與反思

在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，求解最值問題時(shí)首先要建立目標(biāo)函數(shù)，要認(rèn)真分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，也就是建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以更好地匹配實(shí)際問題，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)得到實(shí)際問題的解。在求實(shí)際問題的最值時(shí)，一定要考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)求解極值，求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，哪個(gè)最大就是最大值，哪個(gè)最小就是最小值。若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)函數(shù)值為所求極值。即如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)極值就是最值。

通過對(duì)以上三個(gè)例題的探究，促進(jìn)學(xué)生分析問題、解決問題以及數(shù)學(xué)建模能力的提高。讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。通過生活中極值問題的求解，體會(huì)了導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，促進(jìn)了學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值。

總之，導(dǎo)數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題時(shí)使用非常方便，尤其是可以使用導(dǎo)數(shù)解決生活中的很多優(yōu)化組合的問題，這些問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，很大程度上簡(jiǎn)化了我們的過程，縮短了步驟，起著非常重要的作用。還可以與解析幾何相聯(lián)系，可以在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問題。因此，在實(shí)際生活中，要學(xué)會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的作用。

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