帶p-Laplacian算子的三階微分方程邊值問題正解的存在性

郭彥平，李春景，韓迎迎

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

帶p-Laplacian算子的三階微分方程邊值問題正解的存在性

郭彥平，李春景，韓迎迎

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

許多不同應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域的研究都可歸結(jié)為帶有p-Laplacian算子的邊值問題，因此對此問題的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。本文討論了帶p-Laplacian算子三階三點邊值問題:

的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s,p>1。應(yīng)用Avery-Peterson不動點定理，當(dāng)非線性項f滿足一定的增長條件時，得到上述邊值問題至少存在三個正解的充分條件。

p-Laplacian；邊值問題；Avery-Peterson不動點定理

1 問題提出

本文討論帶p-Laplacian算子的三階三點邊值問題：

(1)

的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s，p>1。

近年來，許多學(xué)者都在關(guān)注三階微分方程邊值問題，并研究其正解的存在性[1-15]。張立新等在文獻[1]中研究了三階三點邊值問題：

其中φp(s)=|s|p-2s,p>1，利用Avery-Peterson不動點定理證明了3個正解的存在性。郭少聰?shù)仍谖墨I[2]中討論了三點邊值問題：

3個擬對稱正解的存在性，其中α>0,0<η<1,φp(s)=|s|p-2s。通過應(yīng)用Avery-Peterson不動點定理得到上述邊值問題具有3個擬對稱正解的充分條件。

在本文中總假設(shè)以下條件成立：

H1)0<η<1,0<α<1;H2)f∈C([0,1]×[0,+∞)×R,(0,+∞)),a(t)在[0,1]上非負連續(xù)。

2 預(yù)備知識

定義1設(shè)E是一個賦泛線性空間，P是E中的一個非空閉凸集。若P滿足：

1)?x∈P,λ>0?λx∈P;2)x,-x∈P?x=0，則P稱為E中的一個錐。

定義2一個算子如果連續(xù)且映有界集為相對緊集，則稱它是全連續(xù)算子。

定義3設(shè)P是Banach空間E中的一個錐。若映射α:P→[0,∞)連續(xù)且?x,y∈P,?r∈[0,1]，有：

α(rx+(1-r)y)≥rα(x)+(1-r)α(y),則稱α是P上非負連續(xù)凹泛函。

類似地，若映射β:P→[0,∞)連續(xù)且?x,y∈P,?r∈[0,1],有：β(rx+(1-r)y)≤rβ(x)+(1-r)β(y),則稱β是P上非負連續(xù)凸泛函。

令γ和θ是錐P上的非負連續(xù)凸泛函，α是P上的非負連續(xù)凹泛函，ψ是P上的非負連續(xù)泛函，對正數(shù)a,b,c,d定義如下凸集：

P(γ,d)={x∈P|γ(x)

P(α,b;γ,d)={x∈P|b≤α(x),γ(x)≤d},

P(α,b;θ,c;γ,d)={x∈P|b≤α(x),θ(x)≤c,γ(x)≤d}

和閉集：

R(ψ,a;γ,d)={x∈P|a≤ψ(x),γ(x)≤d}。

下面給出Avery-Peterson不動點定理。

α(x)≤ψ(x),‖x‖≤Mγ(x)。

(2)

C1){x∈P(α,b;θ,c;γ,d)|α(x)>b}≠?且對x∈P(α,b;θ,c;γ,d)有α(Tx)>b;

C2)對x∈P(α,b;γ,d)且θ(Tx)>c,有α(Tx)>b;

C3)0?R(ψ,a;γ,d)且當(dāng)x∈R(ψ,a;γ,d),ψ(x)=a時,ψ(Tx)

γ(xi)≤d,i=1,2,3;b<α(x1),a<ψ(x2)且α(x2)

3 相關(guān)引理

引理1設(shè)α≠1,則對h∈C[0,1],邊值問題：

(3)

其中：

(4)

所以有：

(5)

若t≤η,則由式(5)得：

若t≥η,則由式(5)得：

引理2若條件H1)成立,則對h∈C[0,1],邊值問題：

(6)

證明令φp(u′)(t)=v(t),則原邊值問題可簡化為

引理3若條件H1)成立,且h(t)≥0,t∈[0,1],則邊值問題(6)的解u(t)滿足如下條件：

i)u(t)≥0; ii)u(t)在(0,1)上是凹的。

證明i)由于0<η<1,0<α<1,t∈[0,1],則G(t,s)≥0。又由于h(t)≥0,所以u(t)≥0。

在E中定義錐P:P={u∈E:u(t)≥0,u(0)=0,u在(0，1)上是凹的}。

在P上定義非負連續(xù)凸泛函γ,θ,非負連續(xù)凹泛函α和非負連續(xù)泛函ψ如下：

由引理4及前面定義的泛函得：α(u)≤ψ(u),θ(u)≤γ(u), ‖u‖≤γ(u)。

所以定理1的式(2)滿足。

引理5假設(shè)條件H1)和條件H2)成立,則算子T:P→P是全連續(xù)算子。

證明對u∈P,由T的定義及引理3可以得到(Tu)(t)≥0,(Tu)(0)=0,(Tu)(t)在(0,1)上是凹的，所以TP?P。用常規(guī)方法可以證明T是全連續(xù)算子。

4 三個正解的存在性

定理2假設(shè)條件H1)和條件H2)成立,存在正數(shù)a,b,d滿足a

γ(ui)≤d,i=1,2,3;b<α(u1),a<ψ(u2)且α(u2)

證明邊值問題(1)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)算子方程u=Tu有不動點。下面驗證算子T滿足Avery-Peterson不動點定理的條件。

由假設(shè)A1)得：

這樣定理1的條件C1)滿足。

這樣定理1的條件C2)滿足。

因為ψ(0)=0

0≤u(t)≤a, |u′(t)|≤d,t∈[0,1]。

由假設(shè)A3)得：

這樣定理1的條件C3)滿足。

/

[1] 張立新,葛渭高.帶p-Laplacian算子的三階微分方程邊值問題三個正解的存在性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2011,31(7):837-844. ZHANG Lixin,GE Weigao.Existence of three positive solutions for third-order differential equations of boundary value problem withp-Laplacian[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2011,31(7):837-844.

[2] 郭少聰,郭彥平,陳悅榮.帶p-Laplacian算子三點邊值問題擬對稱正解的存在性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2012,42(16):236-240. GUO Shaocong,GUO Yanping,CHEN Yuerong.The existence of pseudo-symmetric positive solutions for three-point boundary value problems withp-Laplacian[J].Mathematics in Practice and Theory，2012,42(16):236-240.

[3] FENG Hanying,GE Weigao.Existence of positions for m-point boundary-value problem with one-dimensionalp-Laplacian[J].Nonlinear Anal,2008,68:2017-2026.

[4] SUN Yongping.Existence of triple positive solutions for third-order three-point boundary value problem[J].J Comput Math Appl,2008,221:194-201.

[5] AVERY R I，PETERSON A C.Three positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces[J].J Comput Math Appl,2001,42:313-322.

[6] AVERY R I.A generalization of the Leggett-Willims fixed pint theorem[J].Math Sci Res Hot-line,1998,2:9-14.

[7] ANDERSON D R.Multiple positive solutions for a three-point boundary value problem[J].Math Comput Modelling,1998,27(6):49-57.

[8] ANDERSON D R.Green's function for a third generalized right focal problem[J].J Math Anal Appl,2003,288(1):1-14.

[9] ANDERSON D R,AVERY R I.Multiple positive solutions to a third-order discrete focal boundary value problem[J].Comput Math Appl,2001,42(3/4/5):333-340.

[10] BAI Zhanbing,GUI Zhanji,GE Weigao.Multiple positive solutions for somep-Laplacian boundary value problems[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2004,300:477-490.

[11] 許曉婕,費祥歷.三階非線性奇異邊值問題正解的存在唯一性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2009,29(6):779-785. XU Xiaojie,FEI Xiangli.Existence and uniqueness of positive solutions for third-order nonlinear singular boundary value problem[J].J Sys Sci & Math Scis,2009,29(6):779-785.

[12] 孫忠民,趙增勤.三階微分方程組邊值問題常號解的存在性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2007,27(6):811-819 SUN Zhongmin,ZHAO Zengqin.The existence of constant-sing solutions of BVPs for third order differential systems[J].J Sys Sci & Math Scis,2007,21(6):811-819.

[13] 田元生,劉春根.三階p-Laplacian方程三點奇異邊值問題三個正解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,31(6):1118-1127. TIAN Yuansheng,LIU Chungen.Three positive solutions of three-point singular boundary value problem for a class of third orderp-Laplacian equations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2008,31(6):1118-1127.

[14] DU Zengji,GE Weigao,LIN Xiaojie.Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary value problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,294(1):104-112.

[15] YAO Qingliu,FENG Yuqiang.The existence of solutions for a third order two-point boundary value problem[J].Appl Math Lett,2002,15:227-232.

Existence of positive solutions for boundary value problem of third-order differential equations of withp-Laplacian

GUO Yanping, LI Chunjing, HAN Yingying

(School of Science,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

Many researches on the fields of different applied mathematics and physics can be attributed to the boundary value problem withp-Laplacian.So the research on this issue has important theoretical significance and application value.In this paper,we consider the existence of triple positive solutions for third-order differential equation boundary value problems withp-Laplacian

whereφp(s)=|s|p-2s,p>1.By using Avery-peterson's fixed point theorem,underfsatisfies cevtain growth conditions,we study the existence of at least three positive solutions for the above boundary value problem.

p-Laplacian; boundary value problem; Avery-Peterson's fixed point theorem

2014-04-16；

2014-09-02；責(zé)任編輯：張 軍

國家自然科學(xué)基金(111371120)；河北省自然科學(xué)基金(A2013208147)

郭彥平(1965-)，男，河北張家口人，教授，博士，主要從事微分方程邊值問題方面的研究。

E-mail:guoyanping65@sohu.com

1008-1542(2014)06-0524-05

10.7535/hbkd.2014yx05001

O175.8MSC(2010)主題分類34B05

A

郭彥平，李春景，韓迎迎.帶p-Laplacian算子的三階微分方程邊值問題正解的存在性[J].河北科技大學(xué)學(xué)報,2014,35(6):524-528.

GUO Yanping,LI Chunjing,HAN Yingying.Existence of positive solutions for boundary value problem of third-order differential equations of withp-Laplacian[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2014,35(6):524-528.