速射火炮立靶密集度序列建模

朱 凱,王 軍,薄煜明

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,南京 210094)

武器系統(tǒng)的立靶密集度是系統(tǒng)精度的重要組成部分,它分為彈道炮的立靶密集度和戰(zhàn)斗炮的立靶密集度。前者是指固定火炮身管時(shí)射彈的立靶密集度,造成射彈散布的主要原因是單發(fā)炮彈的個(gè)體差異;后者是指不固定火炮身管時(shí)射彈的立靶密集度,造成射彈散布的主要原因除了單發(fā)炮彈的個(gè)體差異外,還包括射擊沖擊載荷的影響。對(duì)于戰(zhàn)斗炮的立靶密集度,傳統(tǒng)的射擊效力分析方法中并未考慮射擊沖擊載荷的影響,即認(rèn)為射彈散布為不相關(guān)的平穩(wěn)正態(tài)序列。

隨著武器系統(tǒng)射速的提高,武器身管沖擊載荷所帶來的弱相關(guān)誤差對(duì)立靶密集度的影響已經(jīng)不能被忽略。為了準(zhǔn)確分析速射火炮立靶密集度,需要記錄帶彈序的立靶密集度序列。早期的木板靶法精度很低,且射彈數(shù)較多時(shí)讀數(shù)不準(zhǔn)確;聲學(xué)靶法可以提高立靶密集度的測(cè)量精度[1],但當(dāng)火炮射速很高時(shí)會(huì)漏測(cè);照相測(cè)量法可以克服木板法與聲學(xué)靶法的缺陷,并能進(jìn)行密集度測(cè)量與彈序識(shí)別[2];隨著光電技術(shù)的發(fā)展,光電靶能更準(zhǔn)確地記錄高射速火炮立靶密集度試驗(yàn)的彈序與數(shù)據(jù),文獻(xiàn)[3]提出了一種帶彈序的高射速火炮立靶密集度測(cè)試技術(shù),實(shí)現(xiàn)了彈丸的排序測(cè)試。在火炮立靶密集度分析中,文獻(xiàn)[4]用實(shí)際射擊結(jié)果證明了連發(fā)武器的射彈散布與火炮沖擊載荷有很大關(guān)系;文獻(xiàn)[5]建立了戰(zhàn)斗炮立靶密集度的狀態(tài)方程,并對(duì)實(shí)測(cè)脫靶量數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析,計(jì)算了一階相關(guān)系數(shù),并給出了相關(guān)系數(shù)的檢測(cè)方法。但對(duì)于高射速火炮而言,一階模型對(duì)其立靶密集度的描述具有一定的誤差。本文將時(shí)間序列建模理論運(yùn)用到高炮武器系統(tǒng)的射擊效力分析領(lǐng)域,對(duì)速射火炮的立靶密集度序列建立了數(shù)學(xué)模型;模型殘差比較以及模型驗(yàn)證證明了本文模型比一階誤差模型具有更高的精度。

1 時(shí)間序列建模

1.1 基礎(chǔ)理論

作為概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支,時(shí)間序列分析運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法分析和處理隨時(shí)間變化的隨機(jī)數(shù)據(jù)序列,包括模型建立、參數(shù)估計(jì)以及預(yù)測(cè)和控制等內(nèi)容。若一個(gè)時(shí)間序列{yt},t=1,2,…,N,是平穩(wěn)、0均值的,則它一定能用如下差分方程描述[6]:

yt-φ1yt-1-φ2yt-2-…-φpyt-p=
at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

(1)

式中:yt為時(shí)間序列{yt}在t時(shí)刻的值;φi(i=1,2,…,p)與θj(j=1,2,…,q)分別表示序列的自回歸參數(shù)與滑動(dòng)平均參數(shù);序列{at}則稱為殘差序列。若式(1)能準(zhǔn)確地描述該時(shí)間序列,則序列{at}為白噪聲。當(dāng)φi全為0而θj不全為0時(shí),稱式(1)為q階滑動(dòng)平均模型MA(q);當(dāng)θj全為0而φi不全為0時(shí),稱式(1)為p階自回歸模型AR(p);若φi,θj都不全為0,此時(shí)式(1)稱為p階自回歸q階滑動(dòng)平均模型,記為ARMA (p,q)模型。

1.2 時(shí)間序列的研究工具

在對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行建模之前,需要分析其性質(zhì),以判斷其是否可以建立ARMA模型。自相關(guān)和偏自相關(guān)則是重要的研究工具。

1)自相關(guān)。

構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)值yt,yt-1,…,yt-k之間存在一定的相關(guān)關(guān)系,其由自相關(guān)系數(shù)rk度量,但它并不是單純的相關(guān)關(guān)系。例如測(cè)量值yt與yt-k之間存在yt-1,yt-2,…,yt-k+1這k-1個(gè)中間變量,它們會(huì)影響到這兩者之間的相關(guān)性,將其納入考慮范圍時(shí)即為自相關(guān)。yt與yt-k之間的自相關(guān)系數(shù)表示為

(2)

2)偏自相關(guān)。

如果需要把中間變量的影響因素剔除,則引入偏自相關(guān)的概念。對(duì)于時(shí)間序列yt中的2個(gè)值yt與yt-k,在給定yt-1,yt-2,…,yt-k+1這k-1個(gè)中間變量的條件下,yt與yt-k之間的條件相關(guān)關(guān)系即為偏自相關(guān),即在不考慮中間變量的前提下,其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)φk,k來表示:

(3)

式中:rk是滯后k個(gè)間隔的自相關(guān)系數(shù),且

φk,m=φk-1,m-φk,kφk-1,k-mm=1,2,…,k-1

(4)

在對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí),要綜合考慮序列的自相關(guān)與偏自相關(guān),以保證分析的準(zhǔn)確性。

1.3 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性通常有2種方法,即圖檢驗(yàn)法和單位根檢驗(yàn)法。

1)圖檢驗(yàn)法。

對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列,其均值應(yīng)始終為常數(shù)。如果時(shí)間序列的所有數(shù)據(jù)的取值始終在一個(gè)常值附近隨機(jī)變化,且變化范圍有界,則這個(gè)時(shí)間序列大致上可被認(rèn)為是平穩(wěn)的;反之,如果數(shù)據(jù)有明顯的趨勢(shì)性或周期性,則大致上可判斷時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。圖檢驗(yàn)法只能做大致判斷,是一種經(jīng)驗(yàn)方法,而不是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法。

2)單位根檢驗(yàn)法。

在時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)中,通常使用單位根檢驗(yàn)法。即對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列,通過判定其自回歸特征方程的特征根是否都在單位圓內(nèi),來檢驗(yàn)時(shí)間序列是否平穩(wěn)。在單位根檢驗(yàn)中,常用的是迪基-福勒(DF)檢驗(yàn)與增廣的迪基-福勒(ADF)檢驗(yàn)。DF檢驗(yàn)只適用于一階自回歸過程的平穩(wěn)性檢驗(yàn),p階自回歸過程的平穩(wěn)性則需要ADF檢驗(yàn)[7]。單位根檢驗(yàn)的具體步驟見文獻(xiàn)[8]。

2 立靶密集度序列建模

實(shí)測(cè)得一組53發(fā)的戰(zhàn)斗炮的立靶密集度方位落點(diǎn)X數(shù)據(jù),如表1所示。為了將本文模型與一階模型進(jìn)行比較,這里取前45個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)用于建模,后8個(gè)點(diǎn)用于做一階模型與本文模型的預(yù)測(cè)值和測(cè)量值的比較。表中,N為發(fā)射彈數(shù)。

表1 實(shí)測(cè)脫靶量方位數(shù)據(jù)

2.1 平穩(wěn)性分析

將前45個(gè)數(shù)據(jù)去除系統(tǒng)誤差,得到0均值的序列,其時(shí)間序列圖如圖1所示。

圖1 立靶密集度時(shí)序圖

從時(shí)序圖可以看出,脫靶量數(shù)據(jù)在0均值附近波動(dòng),初步判定為平穩(wěn)。利用單位根檢驗(yàn)法對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn),EVIEWS檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量的值小于各個(gè)顯著性水平下的臨界值,所以拒絕原假設(shè),認(rèn)為立靶密集度序列不存在單位根,故立靶密集度序列是平穩(wěn)的。

2.2 模型的確定

使用EVIEWS軟件對(duì)立靶密集度序列的自相關(guān)和偏相關(guān)進(jìn)行分析,結(jié)果如表2所示。表中,左半部分為序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖,右半部分包含5列數(shù)據(jù),其中,k為滯后期,rk為自相關(guān)系數(shù),φk,k為偏自相關(guān)系數(shù),Qs為Q統(tǒng)計(jì)量,P為相伴概率。

表2 立靶密集度的自相關(guān)與偏自相關(guān)

由自相關(guān)函數(shù)易知立靶密集度數(shù)據(jù)序列具有明顯的相關(guān)性,即傳統(tǒng)射擊效力中平穩(wěn)不相關(guān)的假定不再適用,沖擊載荷帶來的弱相關(guān)誤差必須納入考慮范圍。

1)一階模型。

在傳統(tǒng)的射擊效力分析方法中,0均值弱相關(guān)序列yt為一階平穩(wěn)弱相關(guān),有

式中:r為一階相關(guān)系數(shù),wt為白噪聲。

yt+1=ryt+at

(6)

即AR(1)模型。

對(duì)非0均值的原序列,EVIEWS一階建模結(jié)果為

2)高階模型。

根據(jù)樣本自相關(guān)與偏自相關(guān)的拖尾性與截尾性選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行建模[9],定階的原則如表3所示。

表3 模型選定方法

由表2可知,立靶密集度序列的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,而偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。則通過表3可以判斷,原序列的模型為AR(5),立靶密集度數(shù)據(jù)的建模結(jié)果為

3 模型比較與驗(yàn)證

比較AR(1)模型與AR(5)模型的殘差,其自相關(guān)與偏自相關(guān)如表4、表5所示。

表4 AR(1)模型殘差的自相關(guān)與偏自相關(guān)

表5 AR(5)模型殘差的自相關(guān)與偏自相關(guān)

比較自相關(guān)函數(shù)可以看出:一階模型的殘差依然具有較為明顯的相關(guān)性,與白噪聲相比有比較大的差別;而AR(5)模型的殘差則可認(rèn)為是白噪聲。同時(shí)比較殘差的方差,后者更小。分別用一階模型和本文模型進(jìn)行預(yù)測(cè),結(jié)果如表6所示。其中,X表示測(cè)量值;X1,X2分別表示AR(1)模型和AR(5)模型的預(yù)測(cè)值;e1,e2分別表示AR(1)模型和AR(5)模型的預(yù)測(cè)誤差。

表6 模型驗(yàn)證結(jié)果

比較AR(1)模型與AR(5)模型的預(yù)測(cè)誤差,后者的方差更小,結(jié)合模型殘差的比較結(jié)果,本文的模型比一階模型更為準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

戰(zhàn)斗炮的立靶密集度是武器系統(tǒng)射擊精度的重要組成部分,在傳統(tǒng)武器系統(tǒng)射擊效力分析中,通常假定其為平穩(wěn)不相關(guān)誤差。隨著火炮射速的提高,火炮沖擊載荷所帶來的弱相關(guān)誤差已不能被忽略,其通常用一階模型來表示。本文將時(shí)間序列分析引入立靶密集度序列分析,對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立了高階模型。比較兩者的擬合殘差以及預(yù)測(cè)誤差,結(jié)果證明了用一階模型來描述脫靶量數(shù)據(jù)精度欠佳,而本文的模型則更為準(zhǔn)確,為更好地分析武器系統(tǒng)射擊效力奠定了基礎(chǔ)。

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