基于北斗衛(wèi)星廣播星歷的衛(wèi)星位置擬合精度分析

郝建錄,劉智敏,陳景濤

(1.山東科技大學測繪科學與工程學院,山東 青島 266590;2.山東省高校海洋測繪重點實驗室,山東 青島 266590;3.海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點實驗室,山東 青島 266590;4.交通部天津水運工程科學研究所,天津 300456)

0 引 言

利用北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)進行導航定位,是根據(jù)已知的衛(wèi)星軌道信息和用戶的觀測資料,通過數(shù)據(jù)處理確定接收機的位置,及其載體的航行速度[1-2]。所以，BDS衛(wèi)星位置求解是導航定位的基礎。其中,BDS星座是由中軌道衛(wèi)星(MEO)、傾斜地球軌道同步衛(wèi)星(IGSO)、地球靜止軌道衛(wèi)星(GEO)衛(wèi)星組成的混合星座。

通過文獻[3]和[4]的方法,雖然可以利用BDS廣播星歷軌道參數(shù)計算出任意時刻衛(wèi)星的位置,但是導航定位中需要多次計算衛(wèi)星的位置,直接利用廣播星歷計算衛(wèi)星位置需要較長的運算時間和較多的內(nèi)存消耗。為了提高計算效率,通常將衛(wèi)星軌道擬合成一個時間多項式,在內(nèi)存中僅保存多項式的系數(shù),供計算時調(diào)用[1]。本文僅采用常用的切比雪夫多項式擬合方法[5],探討北斗衛(wèi)星軌道的擬合精度。

1 切比雪夫多項式擬合原理

假設需要在時間間隔[t0,t0+Δt]上用n階切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星軌道,其中t0為擬合的初始時間,Δt為擬合區(qū)間的長度。先將變量t∈[t0,t0+Δt]變?yōu)棣印蔥-1,1]

(1)

于是衛(wèi)星的坐標X、Y、Z用切比雪夫多項式可以表示為

(2)

式中,CXi、CYi、CZi為切比雪夫多項式的擬合系數(shù),為待求的參數(shù)。

Ti(τ)可以由切比雪夫遞推公式確定

(3)

根據(jù)m個已知點的衛(wèi)星坐標,利用最小二乘法原理,就可以擬合出n(其中m≥n+1)階切比雪夫多項式的擬合系數(shù)CXi、CYi、CZi,進而直接利用公式(2)計算出該時段[t0,t0+Δt]中任意時刻的衛(wèi)星位置。

2 算例分析

利用廣播星歷外推時刻的坐標進行衛(wèi)星軌道擬合,這時擬合點的衛(wèi)星坐標是否準確,將直接影響到定位的精度。為了驗證擬合多項式的可靠性和精度,主要從影響擬合精度的多項式階數(shù)和擬合點時間間隔(也即擬合點節(jié)點數(shù))這兩面進行討論,確定出擬合多項式階數(shù)和擬合點時間間隔為多少最為適宜。

北斗廣播星歷的更新時間為1 h,因此對廣播星歷中參考歷元的前、后各0.5 h的時間段內(nèi)進行擬合。采用2013年1月13日0點-9點的廣播星歷,對跟蹤到的所有衛(wèi)星星歷采用切比雪夫多項式擬合。在每個廣播星歷擬合的1 h內(nèi)每15 s取一個檢核點,這樣在0點-9點30分時間段內(nèi)共有2 281個檢核點,在每個檢核點上分別用多項式擬合得到的坐標和直接用廣播星歷計算出的衛(wèi)星坐標進行對比,得出兩種方法的坐標互差(ΔX,ΔY,ΔZ)(簡稱擬合差),進而精度評定(注:擬合差是指在CGCS2000坐標系下的坐標差)。

擬合差在X、Y、Z方向上的RMS為

(4)

2.1 不同擬合階數(shù)的擬合精度

在擬合點時間間隔為5 min的情況下,分別利用6～10階切比雪夫多項式擬合每個星歷1 h時間段內(nèi)的衛(wèi)星軌道,求出0點-9點30分時間段內(nèi)2 281個檢核點的擬合差,并統(tǒng)計擬合差在各軸方向上的RMS.限于篇幅,表1僅示出北斗PRN 1、5的GEO衛(wèi)星、PRN 6、9的IGSO衛(wèi)星和PRN 11的MEO衛(wèi)星在不同階數(shù)切比雪夫多項式擬合坐標的誤差。

從表現(xiàn)1可以看出,北斗PRN 1、5的GEO衛(wèi)星軌道在不同階數(shù)切比雪夫多項式擬合中,擬合階數(shù)為6階時,RMS值最大,擬合精度最低;擬合階數(shù)在7～10階時,擬合差三軸方向上的RMS是完全一樣的,比6階的擬合的精度稍有提高。北斗PRN 6、9的IGSO衛(wèi)星軌道在不同階數(shù)切比雪夫多項式擬合中,擬合階數(shù)為6階時,RMS值最大,擬合精度最低;擬合階數(shù)為7～10階時,RMS值都在毫米級內(nèi),擬合精度比6階擬合精度有很大的提高,而擬合階數(shù)在8～10時,擬合精度相同,略比7階時的精度高。北斗PRN 11的MEO衛(wèi)星擬合規(guī)律與IGSO衛(wèi)星的完全一致。

通過表1分析可得:在擬合點時間間隔一定的情況下,也即擬合節(jié)點數(shù)一定的情況下,切比雪夫多項式擬合GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星軌道的精度在一定范圍內(nèi)隨著擬合階數(shù)的增加而提高。當擬合階數(shù)達到7階時,擬合精度已經(jīng)達到了毫米級,對于米級的廣播星歷已經(jīng)是足夠的了。因此,在利用切比雪夫多項式擬合BDS衛(wèi)星1 h時段的衛(wèi)星軌道時,擬合階數(shù)以7～9階為宜,擬合精度在毫米級內(nèi)。

2.2 不同擬合點時間間隔的擬合精度

根據(jù)上節(jié)的BDS衛(wèi)星1 h時段的衛(wèi)星軌道擬合階數(shù)為7～9階為宜的基礎上,本節(jié)先固定切比雪夫多項式的擬合階數(shù)為8階,來探討不同擬合點時間間隔對軌道擬合的影響。在1 h的時間段內(nèi)分別取擬合點時間間隔為7.5 min、6 min、 5 min、3 min,這樣擬合節(jié)點的個數(shù)即為9、11、13、21.在這四種擬合點時間間隔的情況下,用切比雪夫多式分別擬合出2013年1月13日GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星在0點～9點30分的衛(wèi)星軌道,共求出2 281個檢核點的擬合差。計算出擬合差在各種方向上的RMS.表2僅示出了北斗PRN 1、5的GEO衛(wèi)星、PRN 6、9的IGSO衛(wèi)星和PRN 11的MEO衛(wèi)星在不同擬合點時間間隔的切比雪夫多項式擬合坐標的誤差。

從表2可以看出,在固定擬合階數(shù)8時,無論是哪種類型的衛(wèi)星,在上述四種擬合點時間間隔的情況下,擬合差RMS在三軸方向上基本上是一樣的,也即擬合精度沒有隨擬合節(jié)點數(shù)的變大而變化,擬合精度基本上一致,且擬合精度都遠小于毫米級。

通過對表2的分析,當擬合階數(shù)為8階時,只要擬合節(jié)點數(shù)略大于擬合階數(shù),擬合精度就能達到毫米級內(nèi)。

3 結(jié)束語

探討了基于北斗衛(wèi)星廣播星歷在不同擬合階數(shù)和不同擬合節(jié)點數(shù)情況下,利用切比雪夫多項式擬合北斗混合星座GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星軌道,通過實測數(shù)據(jù)分析后,得到以下幾點結(jié)論:

1)當在擬合點時間間隔一定的情況下,切比雪夫多項式擬合GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星軌道的精度在一定范圍內(nèi)隨擬合階數(shù)的增加而提高。分析認為,在利用切比雪夫多項式擬合BDS衛(wèi)星1h時段的衛(wèi)星軌道時,擬合階數(shù)以7～9階為宜,擬合精度在亞毫米級。

2)當在多項式擬合階數(shù)一定的情況下,切比雪夫多項式擬合GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星軌道的精度沒有隨擬合節(jié)點數(shù)的增加而提高,而擬合精度基本一致。分析認為,在利用切比雪夫多項式擬合BDS衛(wèi)星1 h時段的衛(wèi)星軌道時,擬合節(jié)點個數(shù)略大于擬合階數(shù)即可,擬合精度在亞毫米級。

3)證明切比雪夫多項式擬合北斗衛(wèi)星軌道是一種切實可行的方法,同時節(jié)約了計算的使用內(nèi)存,提高了計算效率。

[1]李征航,黃勁松.GPS測量及數(shù)據(jù)處理[M].2版.武漢:武漢大學出版社,2010.

[2]程鵬飛,蔡艷輝,溫漢江，等.全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)[M].北京:測繪出版社,2009.

[3]郝建錄,劉智敏. 北斗導航衛(wèi)星位置計算方法研究[J].全球定位系統(tǒng),2013,38(5):5-10.

[4]劉 季.北斗GEO衛(wèi)星軌道算法研究[J].測繪地理信息,2012,37(5):33-36.

[5]蔡艷輝,程鵬飛,李夕銀.衛(wèi)星坐標的內(nèi)插與擬合[J].全球定位系統(tǒng),2003(3):10-13.