從二次函數(shù)談初高中數(shù)學教學銜接

徐艷麗

【內(nèi)容摘要】初高中數(shù)學教學銜接不順暢是新課標下普遍存在的問題，其中函數(shù)的概念的銜接是必須要解決的，二次函數(shù)是初高中函數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是解決函數(shù)概念銜接的入口和突破口。

【關鍵詞】銜接 二次函數(shù) 教學設計

高中數(shù)學教學銜接是我校的研究課題之一，有很多專家學者和普通教師都很關注并積極進行這方面的研究，其中最為突出的就是關于初高中函數(shù)概念的銜接問題，與具體函數(shù)相關的內(nèi)容中，二次函數(shù)最為基礎且出現(xiàn)頻率最高。在最近初高中數(shù)學教學銜接的課題研究與高考的聯(lián)系中，筆者發(fā)現(xiàn)函數(shù)知識在高考中占有很大的比例，分值是總分的30%左右，其中二次函數(shù)又是“龍頭”，所以，在教學銜接中做好二次函數(shù)的教學銜接是學好函數(shù)的基礎，為此，課題組專門組織了二次函數(shù)教學的同課異構活動。

二次函數(shù)的同課異構中，兩位老師均從二次函數(shù)的表達式入手，展示了二次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)和二次不等式之間的聯(lián)系。如在第一節(jié)公開課《二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)》中，教師從二次函數(shù)的解析式入手，利用函數(shù)的對稱性解決函數(shù)值的大小問題，接著由二次函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系到2013年高考題，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

先來看看二次函數(shù)在初等數(shù)學中的地位。大家知道，二次函數(shù)是初等數(shù)學中最適合強化學生對于函數(shù)概念的理解的函數(shù)模型，也是最適合訓練學生處理函數(shù)相關問題的能力的模型，這些源自于在實際生活與生產(chǎn)實踐中有很多能夠用初等數(shù)學方法處理的非線性問題（一元線性相對簡單、直接，三次及以上又過于復雜），除此以外，高中數(shù)學中涉及到的二次曲線、二次不等式，甚至三角函數(shù)、解三角形、導數(shù)、統(tǒng)計等，都需要二次函數(shù)相關的處理方法。當然，它也是高考的重點內(nèi)容。

我們知道，初中學生正處在由形象思維向抽象思維過度的關鍵時期，他們善于從具體事物中學習，不善于學習抽象的內(nèi)容。因此，初中的數(shù)學教學要采用大量學生已具有的感性知識，以幫助學生思維由低水平向高水平轉化。作為高中數(shù)學教師，在數(shù)學教學中，要使學生的數(shù)學思維能力逐步由低層次向高層次發(fā)展，即由直觀形象思維發(fā)展到具體形象思維，再發(fā)展到抽象邏輯思維。要尊重學生思維能力的發(fā)展特點，為此，在了解學生心理特征和思維特點的前提下，還要做以下幾個方面的工作。

一、了解初高中二次函數(shù)的差異

初中對二次函數(shù)的研究比較簡單，只要求學生從圖像入手，并根據(jù)圖像觀察，求一個已知二次函數(shù)的對稱軸，求最值，頂點坐標，能夠簡單粗略的畫出二次函數(shù)的圖象就可以了。進入高中后需要學生在給定的區(qū)間上求最值，實際上是要求學生了解二次函數(shù)各個部分的單調(diào)性及最值極值等，從以前的簡單函數(shù)到抽象函數(shù)，同時又增加了一些含有字母的討論，使得函數(shù)圖像的開口方向（或大?。┮约皩ΨQ軸發(fā)生變化，或者是讓區(qū)間產(chǎn)生變化，使得問題變得更加抽象，所需要的思維量和想象力更強，在學習了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)以后，若在此環(huán)節(jié)銜接不順利，會使部分學生一時難以接受，從而失去了學習數(shù)學的信心。

二、初中知識對高中知識影響的分析

由于初中學生處在以形象思維為主的階段，所以對函數(shù)的認識大部分是針對整個函數(shù)的圖像，對于其局部細微處所涉甚少，所以在進入高一階段，不能讓學生停留在初中對二次函數(shù)在形象上的認識，高中函數(shù)要求結合定義域解決問題，當然，他們在形象上的認識也正好是高中進一步學習的有利條件和基礎。

三、完成銜接的對策

首先，我們?nèi)砸裱驖u進的原則，開始時，仍要在學生已有的形象思維的基礎上設置問題。順序是，借助圖像在簡單表達式下求不同區(qū)間的最值或值域；變換函數(shù)表達式，在前一問題的各個區(qū)間上求最值或值域；固定函數(shù)表達式，求動區(qū)間上函數(shù)的最值或值域（在區(qū)間上引入?yún)⒆兞浚?；求含參變量的函?shù)在固定的多個區(qū)間上的最值或值域。如結合二次函數(shù)的圖象求函數(shù)f（x）=2x2-4x+1在區(qū)間[-3，-1][-3，2]上的最值，接著借助圖象求函數(shù)在區(qū)間[1，t]上值域，最后研究函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]上的值域，借助圖象讓學生感受從整體到局部，從具體到抽象，通過這些研究，學生就會對所學的知識在頭腦中進行加工，通過自己的學習體驗，對函數(shù)的理解更加深刻，為以后學習其它函數(shù)的性質(zhì)打下基礎。

其次，我們要完成從單一目標到多重目標的過渡，即由單純的求最值或值域過渡到函數(shù)的其他特定取值問題的處理，其中包括零點、最值、極值點以及簡單的不等式。函數(shù)的零點可以轉化為求方程的根，二次不等式的解可以轉化為函數(shù)值的正負對應的自變量的取值，求函數(shù)的最值可以通過求函數(shù)的極值然后和端點值比較大小。

第三我們要完成從孤立問題到系列問題的過渡，這一環(huán)節(jié)大多在高二高三階段實施。即由單純的二次函數(shù)逐步推進，向運用方面發(fā)展，正如前面提到的，在三角函數(shù)、解三角形、向量問題、三次函數(shù)的導數(shù)等方面加以運用。例題

（1）求函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 滿足

=4，求 的取值范圍。

最后，我們要完成能讓學生自覺實現(xiàn)二次函數(shù)相關方法的運用，即能夠將表面上不是二次函數(shù)的問題轉化或化歸為二次函數(shù)來處理，或者是在學習中能夠使用二次函數(shù)的相關知識與方法，如已知函數(shù)f（x）=x2-mx+m+1，①若函數(shù)y=|f（x）|在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；②求函數(shù)y=f（2x），x∈[0，1]的最大值關于m的表達式。此題屬于難題，但化歸為二次函數(shù)后就很簡單了①可以先轉化為f（x）在[2，4]單增且恒非負或單減且恒非正解決②可以采用換元轉化為二次函數(shù)的問題。

以上所述二次函數(shù)銜接只是一個側面，要做好初高中數(shù)學教學的銜接，既要關注高中數(shù)學課程的教學要求，又要關注初中數(shù)學課程的教學要求。為此，我們學校專門組織高一教師到臨近的初中與初中教師交流，通過聽課、座談、研討，走訪初中學生，較為全面地了解初中數(shù)學教學過程及學生學習數(shù)學的感受，初步掌握了學生的學習習慣和教師課堂教學習慣，擬定初步銜接計劃，其中同課異構活動是在課堂教學方面實施的具體實踐。通過這個活動，使全年級數(shù)學教師積極參與教學研討，并盡可能地開設公開課，進行反復研摩，在教學設計和教學過程方面達成共識。

（作者單位：江蘇省張家港市沙洲中學）

【內(nèi)容摘要】初高中數(shù)學教學銜接不順暢是新課標下普遍存在的問題，其中函數(shù)的概念的銜接是必須要解決的，二次函數(shù)是初高中函數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是解決函數(shù)概念銜接的入口和突破口。

【關鍵詞】銜接 二次函數(shù) 教學設計

高中數(shù)學教學銜接是我校的研究課題之一，有很多專家學者和普通教師都很關注并積極進行這方面的研究，其中最為突出的就是關于初高中函數(shù)概念的銜接問題，與具體函數(shù)相關的內(nèi)容中，二次函數(shù)最為基礎且出現(xiàn)頻率最高。在最近初高中數(shù)學教學銜接的課題研究與高考的聯(lián)系中，筆者發(fā)現(xiàn)函數(shù)知識在高考中占有很大的比例，分值是總分的30%左右，其中二次函數(shù)又是“龍頭”，所以，在教學銜接中做好二次函數(shù)的教學銜接是學好函數(shù)的基礎，為此，課題組專門組織了二次函數(shù)教學的同課異構活動。

二次函數(shù)的同課異構中，兩位老師均從二次函數(shù)的表達式入手，展示了二次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)和二次不等式之間的聯(lián)系。如在第一節(jié)公開課《二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)》中，教師從二次函數(shù)的解析式入手，利用函數(shù)的對稱性解決函數(shù)值的大小問題，接著由二次函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系到2013年高考題，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

先來看看二次函數(shù)在初等數(shù)學中的地位。大家知道，二次函數(shù)是初等數(shù)學中最適合強化學生對于函數(shù)概念的理解的函數(shù)模型，也是最適合訓練學生處理函數(shù)相關問題的能力的模型，這些源自于在實際生活與生產(chǎn)實踐中有很多能夠用初等數(shù)學方法處理的非線性問題（一元線性相對簡單、直接，三次及以上又過于復雜），除此以外，高中數(shù)學中涉及到的二次曲線、二次不等式，甚至三角函數(shù)、解三角形、導數(shù)、統(tǒng)計等，都需要二次函數(shù)相關的處理方法。當然，它也是高考的重點內(nèi)容。

我們知道，初中學生正處在由形象思維向抽象思維過度的關鍵時期，他們善于從具體事物中學習，不善于學習抽象的內(nèi)容。因此，初中的數(shù)學教學要采用大量學生已具有的感性知識，以幫助學生思維由低水平向高水平轉化。作為高中數(shù)學教師，在數(shù)學教學中，要使學生的數(shù)學思維能力逐步由低層次向高層次發(fā)展，即由直觀形象思維發(fā)展到具體形象思維，再發(fā)展到抽象邏輯思維。要尊重學生思維能力的發(fā)展特點，為此，在了解學生心理特征和思維特點的前提下，還要做以下幾個方面的工作。

一、了解初高中二次函數(shù)的差異

初中對二次函數(shù)的研究比較簡單，只要求學生從圖像入手，并根據(jù)圖像觀察，求一個已知二次函數(shù)的對稱軸，求最值，頂點坐標，能夠簡單粗略的畫出二次函數(shù)的圖象就可以了。進入高中后需要學生在給定的區(qū)間上求最值，實際上是要求學生了解二次函數(shù)各個部分的單調(diào)性及最值極值等，從以前的簡單函數(shù)到抽象函數(shù)，同時又增加了一些含有字母的討論，使得函數(shù)圖像的開口方向（或大?。┮约皩ΨQ軸發(fā)生變化，或者是讓區(qū)間產(chǎn)生變化，使得問題變得更加抽象，所需要的思維量和想象力更強，在學習了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)以后，若在此環(huán)節(jié)銜接不順利，會使部分學生一時難以接受，從而失去了學習數(shù)學的信心。

二、初中知識對高中知識影響的分析

由于初中學生處在以形象思維為主的階段，所以對函數(shù)的認識大部分是針對整個函數(shù)的圖像，對于其局部細微處所涉甚少，所以在進入高一階段，不能讓學生停留在初中對二次函數(shù)在形象上的認識，高中函數(shù)要求結合定義域解決問題，當然，他們在形象上的認識也正好是高中進一步學習的有利條件和基礎。

三、完成銜接的對策

首先，我們?nèi)砸裱驖u進的原則，開始時，仍要在學生已有的形象思維的基礎上設置問題。順序是，借助圖像在簡單表達式下求不同區(qū)間的最值或值域；變換函數(shù)表達式，在前一問題的各個區(qū)間上求最值或值域；固定函數(shù)表達式，求動區(qū)間上函數(shù)的最值或值域（在區(qū)間上引入?yún)⒆兞浚?；求含參變量的函?shù)在固定的多個區(qū)間上的最值或值域。如結合二次函數(shù)的圖象求函數(shù)f（x）=2x2-4x+1在區(qū)間[-3，-1][-3，2]上的最值，接著借助圖象求函數(shù)在區(qū)間[1，t]上值域，最后研究函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]上的值域，借助圖象讓學生感受從整體到局部，從具體到抽象，通過這些研究，學生就會對所學的知識在頭腦中進行加工，通過自己的學習體驗，對函數(shù)的理解更加深刻，為以后學習其它函數(shù)的性質(zhì)打下基礎。

其次，我們要完成從單一目標到多重目標的過渡，即由單純的求最值或值域過渡到函數(shù)的其他特定取值問題的處理，其中包括零點、最值、極值點以及簡單的不等式。函數(shù)的零點可以轉化為求方程的根，二次不等式的解可以轉化為函數(shù)值的正負對應的自變量的取值，求函數(shù)的最值可以通過求函數(shù)的極值然后和端點值比較大小。

第三我們要完成從孤立問題到系列問題的過渡，這一環(huán)節(jié)大多在高二高三階段實施。即由單純的二次函數(shù)逐步推進，向運用方面發(fā)展，正如前面提到的，在三角函數(shù)、解三角形、向量問題、三次函數(shù)的導數(shù)等方面加以運用。例題

（1）求函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 滿足

=4，求 的取值范圍。

最后，我們要完成能讓學生自覺實現(xiàn)二次函數(shù)相關方法的運用，即能夠將表面上不是二次函數(shù)的問題轉化或化歸為二次函數(shù)來處理，或者是在學習中能夠使用二次函數(shù)的相關知識與方法，如已知函數(shù)f（x）=x2-mx+m+1，①若函數(shù)y=|f（x）|在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；②求函數(shù)y=f（2x），x∈[0，1]的最大值關于m的表達式。此題屬于難題，但化歸為二次函數(shù)后就很簡單了①可以先轉化為f（x）在[2，4]單增且恒非負或單減且恒非正解決②可以采用換元轉化為二次函數(shù)的問題。

以上所述二次函數(shù)銜接只是一個側面，要做好初高中數(shù)學教學的銜接，既要關注高中數(shù)學課程的教學要求，又要關注初中數(shù)學課程的教學要求。為此，我們學校專門組織高一教師到臨近的初中與初中教師交流，通過聽課、座談、研討，走訪初中學生，較為全面地了解初中數(shù)學教學過程及學生學習數(shù)學的感受，初步掌握了學生的學習習慣和教師課堂教學習慣，擬定初步銜接計劃，其中同課異構活動是在課堂教學方面實施的具體實踐。通過這個活動，使全年級數(shù)學教師積極參與教學研討，并盡可能地開設公開課，進行反復研摩，在教學設計和教學過程方面達成共識。

（作者單位：江蘇省張家港市沙洲中學）

【內(nèi)容摘要】初高中數(shù)學教學銜接不順暢是新課標下普遍存在的問題，其中函數(shù)的概念的銜接是必須要解決的，二次函數(shù)是初高中函數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是解決函數(shù)概念銜接的入口和突破口。

【關鍵詞】銜接 二次函數(shù) 教學設計

高中數(shù)學教學銜接是我校的研究課題之一，有很多專家學者和普通教師都很關注并積極進行這方面的研究，其中最為突出的就是關于初高中函數(shù)概念的銜接問題，與具體函數(shù)相關的內(nèi)容中，二次函數(shù)最為基礎且出現(xiàn)頻率最高。在最近初高中數(shù)學教學銜接的課題研究與高考的聯(lián)系中，筆者發(fā)現(xiàn)函數(shù)知識在高考中占有很大的比例，分值是總分的30%左右，其中二次函數(shù)又是“龍頭”，所以，在教學銜接中做好二次函數(shù)的教學銜接是學好函數(shù)的基礎，為此，課題組專門組織了二次函數(shù)教學的同課異構活動。

二次函數(shù)的同課異構中，兩位老師均從二次函數(shù)的表達式入手，展示了二次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)和二次不等式之間的聯(lián)系。如在第一節(jié)公開課《二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)》中，教師從二次函數(shù)的解析式入手，利用函數(shù)的對稱性解決函數(shù)值的大小問題，接著由二次函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系到2013年高考題，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

先來看看二次函數(shù)在初等數(shù)學中的地位。大家知道，二次函數(shù)是初等數(shù)學中最適合強化學生對于函數(shù)概念的理解的函數(shù)模型，也是最適合訓練學生處理函數(shù)相關問題的能力的模型，這些源自于在實際生活與生產(chǎn)實踐中有很多能夠用初等數(shù)學方法處理的非線性問題（一元線性相對簡單、直接，三次及以上又過于復雜），除此以外，高中數(shù)學中涉及到的二次曲線、二次不等式，甚至三角函數(shù)、解三角形、導數(shù)、統(tǒng)計等，都需要二次函數(shù)相關的處理方法。當然，它也是高考的重點內(nèi)容。

我們知道，初中學生正處在由形象思維向抽象思維過度的關鍵時期，他們善于從具體事物中學習，不善于學習抽象的內(nèi)容。因此，初中的數(shù)學教學要采用大量學生已具有的感性知識，以幫助學生思維由低水平向高水平轉化。作為高中數(shù)學教師，在數(shù)學教學中，要使學生的數(shù)學思維能力逐步由低層次向高層次發(fā)展，即由直觀形象思維發(fā)展到具體形象思維，再發(fā)展到抽象邏輯思維。要尊重學生思維能力的發(fā)展特點，為此，在了解學生心理特征和思維特點的前提下，還要做以下幾個方面的工作。

一、了解初高中二次函數(shù)的差異

初中對二次函數(shù)的研究比較簡單，只要求學生從圖像入手，并根據(jù)圖像觀察，求一個已知二次函數(shù)的對稱軸，求最值，頂點坐標，能夠簡單粗略的畫出二次函數(shù)的圖象就可以了。進入高中后需要學生在給定的區(qū)間上求最值，實際上是要求學生了解二次函數(shù)各個部分的單調(diào)性及最值極值等，從以前的簡單函數(shù)到抽象函數(shù)，同時又增加了一些含有字母的討論，使得函數(shù)圖像的開口方向（或大?。┮约皩ΨQ軸發(fā)生變化，或者是讓區(qū)間產(chǎn)生變化，使得問題變得更加抽象，所需要的思維量和想象力更強，在學習了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)以后，若在此環(huán)節(jié)銜接不順利，會使部分學生一時難以接受，從而失去了學習數(shù)學的信心。

二、初中知識對高中知識影響的分析

由于初中學生處在以形象思維為主的階段，所以對函數(shù)的認識大部分是針對整個函數(shù)的圖像，對于其局部細微處所涉甚少，所以在進入高一階段，不能讓學生停留在初中對二次函數(shù)在形象上的認識，高中函數(shù)要求結合定義域解決問題，當然，他們在形象上的認識也正好是高中進一步學習的有利條件和基礎。

三、完成銜接的對策

首先，我們?nèi)砸裱驖u進的原則，開始時，仍要在學生已有的形象思維的基礎上設置問題。順序是，借助圖像在簡單表達式下求不同區(qū)間的最值或值域；變換函數(shù)表達式，在前一問題的各個區(qū)間上求最值或值域；固定函數(shù)表達式，求動區(qū)間上函數(shù)的最值或值域（在區(qū)間上引入?yún)⒆兞浚?；求含參變量的函?shù)在固定的多個區(qū)間上的最值或值域。如結合二次函數(shù)的圖象求函數(shù)f（x）=2x2-4x+1在區(qū)間[-3，-1][-3，2]上的最值，接著借助圖象求函數(shù)在區(qū)間[1，t]上值域，最后研究函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]上的值域，借助圖象讓學生感受從整體到局部，從具體到抽象，通過這些研究，學生就會對所學的知識在頭腦中進行加工，通過自己的學習體驗，對函數(shù)的理解更加深刻，為以后學習其它函數(shù)的性質(zhì)打下基礎。

其次，我們要完成從單一目標到多重目標的過渡，即由單純的求最值或值域過渡到函數(shù)的其他特定取值問題的處理，其中包括零點、最值、極值點以及簡單的不等式。函數(shù)的零點可以轉化為求方程的根，二次不等式的解可以轉化為函數(shù)值的正負對應的自變量的取值，求函數(shù)的最值可以通過求函數(shù)的極值然后和端點值比較大小。

第三我們要完成從孤立問題到系列問題的過渡，這一環(huán)節(jié)大多在高二高三階段實施。即由單純的二次函數(shù)逐步推進，向運用方面發(fā)展，正如前面提到的，在三角函數(shù)、解三角形、向量問題、三次函數(shù)的導數(shù)等方面加以運用。例題

（1）求函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 滿足

=4，求 的取值范圍。

最后，我們要完成能讓學生自覺實現(xiàn)二次函數(shù)相關方法的運用，即能夠將表面上不是二次函數(shù)的問題轉化或化歸為二次函數(shù)來處理，或者是在學習中能夠使用二次函數(shù)的相關知識與方法，如已知函數(shù)f（x）=x2-mx+m+1，①若函數(shù)y=|f（x）|在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；②求函數(shù)y=f（2x），x∈[0，1]的最大值關于m的表達式。此題屬于難題，但化歸為二次函數(shù)后就很簡單了①可以先轉化為f（x）在[2，4]單增且恒非負或單減且恒非正解決②可以采用換元轉化為二次函數(shù)的問題。

以上所述二次函數(shù)銜接只是一個側面，要做好初高中數(shù)學教學的銜接，既要關注高中數(shù)學課程的教學要求，又要關注初中數(shù)學課程的教學要求。為此，我們學校專門組織高一教師到臨近的初中與初中教師交流，通過聽課、座談、研討，走訪初中學生，較為全面地了解初中數(shù)學教學過程及學生學習數(shù)學的感受，初步掌握了學生的學習習慣和教師課堂教學習慣，擬定初步銜接計劃，其中同課異構活動是在課堂教學方面實施的具體實踐。通過這個活動，使全年級數(shù)學教師積極參與教學研討，并盡可能地開設公開課，進行反復研摩，在教學設計和教學過程方面達成共識。

（作者單位：江蘇省張家港市沙洲中學）