艾爾布朗語義下的真謂詞

熊 明

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

塔斯基［Tarski 1936］提出了一階語言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個體對象作為變元的取值，不同的變元或常元可能以相同的對象作為它們的解釋。這種解釋現(xiàn)在已成為一階語言的標(biāo)準(zhǔn)解釋，被稱為塔斯基語義。在塔斯基提出這種語義之前，法國邏輯學(xué)家艾爾布朗在對其“基本定理”（現(xiàn)稱為艾爾布朗定理）的證明中，事實上也對一階語言提出了一種解釋。①塔斯基的論文發(fā)表于1935年，而艾爾布朗定理出現(xiàn)在艾爾布朗的博士論文[Herbrand 1930]（1929年4月完成，但因服兵役答辯直到1930年6月才完成），這篇論文甚至稍早于哥德爾關(guān)于完全性定理證明的那篇論文［1930年2月完成答辯］。參見［van Heijenoort 1967］，第 525、582頁。在這種解釋中，變元的取值只能是一階語言中的項，各個項的解釋就是項本身（因而，不同的項——特別地，不同的變元或常元——必定被解釋為不同的對象）。這種解釋現(xiàn)在稱為一階語言的艾爾布朗語義。

從表面看來，艾爾布朗語義僅僅是塔斯基語義的一種特殊情形。因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結(jié)果之一，但是艾爾布朗語義本身似乎并沒有引起邏輯學(xué)家足夠的重視。美國斯坦福大學(xué)的T．Hinrichs和M．Genesereth教授在文［Hinrichs&Genesereth 2006］中的研究表明，艾爾布朗語義與塔斯基語義在可判定性、邏輯后承關(guān)系等方面是不同的。

上述種種差異自然是由不同語義解釋造成的。一階語言中任何概念只要依賴于語義都可能會在塔斯基語義和艾爾布朗語義下有所不同。而真謂詞作為語義中最基本的概念之一自然會被納入到上述兩種語義的框架之內(nèi)。真謂詞在艾爾布朗語義下是否具有不同于塔斯基語義中的表現(xiàn)呢？這個問題似乎在文獻(xiàn)中還沒有得到深入的研究，本文就是要想對這一問題進行初步的探索，指出艾爾布朗語義下的真謂詞概念確實是值得注意的。

一、艾爾布朗語義

一階語言中的初始符號、項、公式等句法對象一如往常規(guī)定。需要補充的是，為了使艾爾布朗語義不至于過于平庸，這里約定一階語言中個體常元不空。注意，一階語言中的語句指的是閉公式，即不含自由變元的公式。

我們知道，在塔斯基語義中，為了能對語句進行賦值，必須給出一定的模型對語句中的非邏輯符號做出解釋，同時還必須通過指派對變元指定對象。這里主要的麻煩在于，雖然語句的賦值獨立于指派，但是一般情況下，必須在模型和指派下對所有的公式進行賦值，然后才能在模型下對語句進行賦值。艾爾布朗語義就不存在這樣的問題，我們可以直接對語句進行賦值。

我們規(guī)定，對于一個一階語言L，只要確定L中原子語句的一個集合，就給出了L的一個艾爾布朗模型。在某個艾爾布朗模型M下，按如下方式規(guī)定原子語句的可滿足性：形如s=t的原子語句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)項s和t作為符號串完全相同；形如Pt1…tn的原子語句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)項s和t作為符號串完全相同。由聯(lián)接詞聯(lián)接得到的復(fù)合語句的可滿足性如常規(guī)定，略去。量詞語句的可滿足性規(guī)定如下：形如?xA的語句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)對L中每個閉項t，A（t）都在M下可滿足；形如?xA的語句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)L中存在某個閉項t，使得A（t）在M下可滿足。

相應(yīng)于上述可滿足概念，可規(guī)定邏輯后承。如果任何滿足語句集∑的艾爾布朗模型也一定滿足語句A，那么就稱A是∑的一個邏輯后承，又可稱∑衍推出A。為明確起見，艾爾布朗模型下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“H-”，而塔斯基語義下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“T-”。

如［Hinrichs&Genesereth 2006］文所指出，在塔斯基語義下，一階公式的可滿足性是半可判定的，但在艾爾布朗語義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的；在塔斯基語義下，邏輯后承關(guān)系具有緊致性，但在艾爾布朗語義下，邏輯后承關(guān)系不具備緊致性；在塔斯基語義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語句是不能有窮可公理化的，但在艾爾布朗語義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語句是有窮可公理化的。

作為例子，考慮這樣一個一階語言，其中非邏輯符號只有一元謂詞P和個體常元a。眾所周知，Pa不是?xPx的T-邏輯后承。然而，Pa卻是?xPx的H-邏輯后承，理由是滿足?xPx的艾爾布朗模型只有{Pa}一個。再考慮一階語言，其中除含上述P和a外，還含一個一元函數(shù)符f。因為這個語言中的閉項是a、fa、ffa如此等等，所以，?xPx是集合{Pa，Pfa，Pffa，…}的一個 H-邏輯后承。然而，很明顯，{Pa，Pfa，Pffa，…}的任何有窮子集都不會H-衍推出?xPx。由此可見，與T-邏輯后承不同，H-邏輯后承不滿足緊致性。

二、塔斯基T-模式

下面轉(zhuǎn)入本文的主題：艾爾布朗語義下的真謂詞。為此，先規(guī)定皮亞諾算術(shù)的一個形式語言LN，其中除等詞=外，還含有二元謂詞Less、三元謂詞Add、Mult、一元函數(shù)符S以及個體常元0。注意，在艾爾布朗語義下，因為只有那些完全相同的項才是相等的，所以不能使用函數(shù)符來表示加法和乘法運算（不然的話，甚至如0+0=0這樣的語句在艾爾布朗語義都是不可滿足的）。在LN中添加一元謂詞T得到的語言記為。這個語言就是我們考慮真謂詞的一階語言。除非特別聲明，以下所說項、公式等皆指中的項、公式。用記號‘A’表示公式A的哥德爾數(shù)。

這里，T不是一個普通的謂詞符，而是用來表示真謂詞的符號。那么，什么時候T才能被視作是真謂詞呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式對某個語言中的每個語句A都成立，才能認(rèn)為T是該語言的真謂詞：T‘A’當(dāng)且僅當(dāng)A（［Tarski 1936］，155-156）。此模式就是著名的塔斯基T-模式。此模式在塔斯基語義下的表現(xiàn)形式如下：

X作為T的解釋，很自然應(yīng)當(dāng)包含且只包含中所有在N與X構(gòu)成的解釋中為真的語句。換句話說，式子（1）應(yīng)對中每個語句A成立，只有這樣，T的解釋X才被認(rèn)為是的真謂詞。然而，塔斯基證明，這是不可能做到的，因為若不然，則在中，可以構(gòu)造這樣的語句λ，滿足：

這樣，把λ代入到式子（1）中會導(dǎo)致矛盾。這個結(jié)論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語句λ因它斷定它自己不真，故相當(dāng)于說謊者語句。

在此情況下，使用先前提到的語句λ，同樣可以導(dǎo)出矛盾。因此，在的艾爾布朗語義下，塔斯基定理同樣成立：不可能包含它自身的真謂詞。

這里順便指出，艾爾布朗語義下的塔斯基T-模式與塔斯基語義下的T-模式似乎并無太大的區(qū)別，但是對于［Hsiung 2009］所提出的T-模式的一個推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語義下表達(dá)T-模式的這個推廣似乎是值得深入研究的問題。

三、亞布魯悖論

美國邏輯學(xué)家亞布魯（S．Yablo）在文［Yablo 1993］中提出了以他名字命名的悖論。這個悖論含有可數(shù)無窮多個語句：Y（0），Y（1），……，每個語句都斷定它后面的每個語句都不真。這些語句蘊涵矛盾，這是因為假設(shè)Y（0）為真，根據(jù)Y（0）所說，對于k＞0，Y（k）為假。因而，一方面，Y（1）為假，另一方面，對于所有k＞1，Y（k）為假。這樣，Y（1）為真，與Y（1）為假矛盾。于是，Y（0）必為假。同理，這個語句的其他每個語句都為假，因而，Y（0）又必為真，矛盾。

首先注意，語句集Υ是PA一致的。這是因為在PA中，從集合Υ的任何有窮子集都不會推出矛盾，然而PA的推演滿足緊致性定理，因此，整個Υ就是PA一致的。然而，集合Υ是PAω不一致的（見［Ketland 2005］，299）。這一點可以從上一節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基解釋不滿足Υ可以看出。因而，在塔斯基語義下，只有PA的非標(biāo)準(zhǔn)模型能滿足Υ。換言之，T的解釋只有包含某個非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)才能使Υ中語句（在非標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語義下）都為真。

四、語言層次

眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語言分層的方式來規(guī)定真謂詞。事實上，僅需把T解釋為LN中所有在N中為真的語句的哥德爾數(shù)構(gòu)成的集合X，則式子（1）一定對中任意語句A都成立。在這個意義上雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包含LN的真謂詞因而被稱為的元語言。

分層的想法同樣適用于艾爾布朗語義。回到先前提出的艾爾布朗語義中的底模型M。注意，M中不含任何帶真謂詞符的語句，因此T在M中實際被解釋為空謂詞。但是，若規(guī)定M1是M與所有使得M?HA成立的語句T‘A’的并集，則對的任意語句A，都有，當(dāng)且僅當(dāng)M?A。特別地，對LN的語句，有，當(dāng)且僅當(dāng)M1?A。因此同樣包含了這樣的T，它被解釋為LN的真謂詞。

對語言進行分層規(guī)定真謂詞的做法歷來為學(xué)者所詬病，其中毛病之一如克里普克指出，這種做法無法對超窮的層次進行規(guī)定（見［Kripke 1975］，59～61）?？死锲湛伺u的要點在于超窮層次要求對之前層次的真謂詞外延進行累積，但真謂詞的外延累積會導(dǎo)致矛盾。這一點是熟知的事實。此處，我們說明類似的累積在艾爾布朗語義也同樣導(dǎo)致矛盾，甚至無需等到超窮層次，這種矛盾在第二層次就會產(chǎn)生。

為此，我們規(guī)定M2是M1與所有使得M1?HA成立的語句T‘A’的并集?？紤]說謊者語句λ，因為T‘λ’不在M中，所以，M?Hλ。由此，T‘λ’在M1中，所以，M1?Hλ不成立。根據(jù)M2的規(guī)定，T‘λ’不在M2中。但由此由M1累積出來的，T‘λ’必在M1中，這就出現(xiàn)矛盾了。由此可見，在的艾爾布朗語義中，模型如果按累積規(guī)定下去至多到第一個層次就必須終止。

能使層次一直進行下去的辦法主要有兩種，一種是按克里普克的歸納構(gòu)造方法，修改模型上的賦值引入真值空缺（見［Kripke 1975］）；另一種就是按古普塔和赫茲伯格的修正理論，在構(gòu)造模型的時候不進行累積只進行修正（見［Gupta 1982］和［Herzberger 1982］）。本文限于經(jīng)典邏輯，所以只考慮第二種辦法。

在艾爾布朗語義中，可這樣來規(guī)定不具累積效應(yīng)的模型：以M作為起點，設(shè)之為；然后，對任意序數(shù)α，規(guī)定就是所有使得成立的語句T‘A’的并集；最后，對極限序數(shù)α，規(guī)定就是前面所有階段的下極限，也就是說包含語句A，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個小于α的序數(shù)γ，使得對任意大于γ但小于α的都包含A。通過這樣的規(guī)定，我們就不難在艾爾布朗語義中展開修正理論了。

五、結(jié)論

前面的分析總結(jié)起來，有以下幾點：塔斯基T-模式在艾爾布朗語義中的表達(dá)類似于塔斯基語義中的表達(dá)，而且使用說謊者悖論同樣能夠在艾爾布朗語義中得到塔斯基定理；亞布魯悖論在塔斯基非標(biāo)準(zhǔn)模型中可以得到滿足，但是在艾爾布朗語義中卻是不可滿足的；語言分層的思想在（經(jīng)典）塔斯基語義中到第ω階段一般情況下不能繼續(xù)，但在艾爾布朗語義中甚至到第二階段就不得不終止。

可以看到，艾爾布朗語義下的真理論與塔斯基語義下的真理論既有共通之處，又有某些讓人感興趣的差異。當(dāng)然，這個對照分析還比較初步，我們主要的目的是拋磚引玉，希望引起讀者注意，艾爾布朗語義下的真理論本身還是有許多問題值得考慮的。

[1]Gupta，A．Truth and paradox[J]．Journal of Philosophical Logic，1982，11（1）．

[2]Herbrand，J．Investigations in proof theory：The properties of true propositions[M]//van Heijenoort，J．（ed．）From Frege to G?del：A Source Book in Mathematical Logic，1879-1931（Source Books in the History of the Sciences）．Cambridge：Harvard University Press，1967，525～581．

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[4]Hinrichs，T．，Genesereth，M．Herbrand Logic[OL]．http://www．cs．uic．edu/～hinrichs/papers/hinrichs2006herbrand．pdf，2006-02．

[5]Hsiung，M．Jump Liars and Jourdain’s Card via the relativized T-scheme[J]．Studia Logica，2009，91（2）．

[6]Ketland，J．Yablo’s paradox and ω-inconsistency[J]．Synthese，2005，145（3）．

[7]Kripke，S．A．Outline of a theory of truth[M]//Martin，R．L．Recent Essays on Truth and the Liar Paradox．Oxford：Oxford University Press，1984，53～82．

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[9]Yablo，S．Paradox without self-reference[J]．Analysis，1993，53（4）．