某類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法

耿青松

（武漢城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，湖北 武漢430064）

1 定理及證明

在一定范圍內(nèi)，用D′Alembert判別法進(jìn)行正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別，方法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算也容易，但對(duì)于如下的正項(xiàng)級(jí)數(shù)

用D′Alembert判別法是不可行的.若采用應(yīng)用范圍更廣的拉貝判別法，雖然有效，但是計(jì)算過程比較繁瑣.本文中針對(duì)這類正項(xiàng)級(jí)數(shù)，引入兩個(gè)簡(jiǎn)便而有效的判別方法.

定理1的證明 1）取n＝2k（k＝1，2，3…），則

當(dāng)l＜1時(shí)由D′Alembert比值判別知收斂，即收斂.

由un＞0可知：數(shù)列｝均為單調(diào)遞增數(shù)列，

考慮到數(shù)列｛un｝的單調(diào)遞減性，有

2）當(dāng)l＞1時(shí)根據(jù)D′Alembert判別法有必發(fā)散，否則若收斂，不妨設(shè)發(fā)散，則因數(shù)列｛un｝單調(diào)遞減，有

則收斂，矛盾.證畢.

進(jìn)一步有：

故當(dāng)l＜1時(shí)由D′Alembert比值判別知收斂，故級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)l＞1時(shí)則級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散.證畢.

2 幾個(gè)實(shí)例

因

應(yīng)用定理1知，原級(jí)數(shù)收斂.

例2 討論p-級(jí)數(shù)的收斂性.

解 當(dāng)p＞0時(shí)單調(diào)遞減，

因

應(yīng)用定理2知：，當(dāng)p＞1時(shí)，p-級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)0＜p≤1時(shí)，p-級(jí)數(shù)發(fā)散.

可見，由定理1不能確定原級(jí)數(shù)的斂散性.考慮：

根據(jù)定理2，原數(shù)列收斂.可見定理2比定理1精細(xì)，應(yīng)用范圍更廣.

［1］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義［M］.5版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.5版.北京：高等教育出版社，2002.