與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題

彭勝生

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，這類問題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，解決這類問題的關(guān)鍵要掌握?qǐng)D形在運(yùn)動(dòng)中伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)中考題型也在不斷創(chuàng)新，動(dòng)態(tài)幾何問題逐年增多，其中與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題占比較大，這類動(dòng)態(tài)幾何通常包含點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)等三類問題。

一、點(diǎn)動(dòng)型

點(diǎn)動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題型。解題時(shí)要根據(jù)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例1如圖，點(diǎn)A、B、C、D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿OC→弧CD→DO的路線做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∠APB的度數(shù)為y度，則下列圖象中表示y（度）與t（秒）之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵?）

分析：本題考查了函數(shù)圖象，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，根據(jù)三角形的外角大于與它不相鄰內(nèi)角的性質(zhì)，得∠APB逐漸減??；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DO上時(shí)，同理可得∠APB逐漸增大，當(dāng)動(dòng)P在CD上時(shí)，根據(jù)同弧所以圓周角相等性質(zhì)，得∠APB不變；故選C。

解決這類點(diǎn)動(dòng)問題的常常用的是“分段發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中“拐點(diǎn)”進(jìn)行探究，從動(dòng)態(tài)的角度去分析可能出現(xiàn)的變與不變的情況，以靜制動(dòng)。

二、線動(dòng)型

線動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中，設(shè)計(jì)一條或兩條線通過平移或旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，使其與已知幾何圖形產(chǎn)生交點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例2如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn).若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為____。

分析：本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，確定GH的位置是解題的關(guān)鍵。由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=■AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值.而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解決這類線動(dòng)問題的關(guān)鍵是要把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系及運(yùn)動(dòng)變化中圖形的特殊位置，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重要。

三、形動(dòng)型

形動(dòng)型是對(duì)給定的圖形（或其一部分）實(shí)行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考察學(xué)生動(dòng)手、觀察、探索與實(shí)踐能力。圓主要有移動(dòng)、滾動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及翻動(dòng)等四種常用基本運(yùn)動(dòng)。

1.移動(dòng)

例3如圖，點(diǎn)A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半徑分別為1和2，當(dāng)⊙A與⊙B相切時(shí)，應(yīng)將⊙A沿軸向右平移____個(gè)單位。

分析：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)相切的兩種情況分類討論即可，答案為：3或5或7或9。

2.滾動(dòng)

例4如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了____周。

分析：本題考查了該等邊三角形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系。當(dāng)⊙O在三邊運(yùn)動(dòng)時(shí)自轉(zhuǎn)周數(shù)：6π÷2π=3，當(dāng)⊙O繞過三角形外角時(shí)，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)為360°即一周，所以⊙O自轉(zhuǎn)了4周。

3.轉(zhuǎn)動(dòng)

例5如圖，⊙O1和⊙O2的半徑分別是1和2，連接O1O2，交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=5，若將⊙O1繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)360°，則⊙O1與⊙O2共相切____次。

分析：此題考查了兩圓相切的位置關(guān)系：外切，則d=R+r；內(nèi)切，則d=R-r（d表示圓心距）。如圖，⊙O1與⊙O2共相切3次。

4.翻動(dòng)

例6如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使AB經(jīng)過圓心O，則∠OAB=____。

分析：本題考查的是垂徑定理及圖形的翻折變換的性質(zhì)。

過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，

∵將⊙O沿弦AB折疊，使弧AB經(jīng)過圓心O，

∴OD=■OC，∴OD=■OA，∵OC⊥AB，∴∠OAB=30°。

當(dāng)然，與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題還會(huì)以不同的形式呈現(xiàn)：如物體在傳送帶（或定滑輪）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)物體移動(dòng)（上升）的距離等于轉(zhuǎn)輪上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧線的長(zhǎng)度；再比如圓在運(yùn)動(dòng)過程中直徑會(huì)隨著時(shí)間和位置的變化而變化的一類問題也常在中考題中出現(xiàn)，在這就不一一列舉。無論動(dòng)態(tài)幾何問題以什么方式呈現(xiàn)，線動(dòng)、形動(dòng)實(shí)質(zhì)還是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會(huì)產(chǎn)生形動(dòng)，因而線動(dòng)型，形動(dòng)型問題常通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題求解。

解答與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是抓住運(yùn)動(dòng)變化中的不變性（動(dòng)中取靜），抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題（靜中求動(dòng)），要善于借助圖形分析，結(jié)合常用的數(shù)學(xué)方法，掌控動(dòng)態(tài)變化的“拐點(diǎn)”，挖掘運(yùn)動(dòng)過程中的某些變量之間存在一些清晰或者隱含的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而把問題解決。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，這類問題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，解決這類問題的關(guān)鍵要掌握?qǐng)D形在運(yùn)動(dòng)中伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)中考題型也在不斷創(chuàng)新，動(dòng)態(tài)幾何問題逐年增多，其中與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題占比較大，這類動(dòng)態(tài)幾何通常包含點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)等三類問題。

一、點(diǎn)動(dòng)型

點(diǎn)動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題型。解題時(shí)要根據(jù)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例1如圖，點(diǎn)A、B、C、D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿OC→弧CD→DO的路線做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∠APB的度數(shù)為y度，則下列圖象中表示y（度）與t（秒）之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵?）

分析：本題考查了函數(shù)圖象，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，根據(jù)三角形的外角大于與它不相鄰內(nèi)角的性質(zhì)，得∠APB逐漸減??；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DO上時(shí)，同理可得∠APB逐漸增大，當(dāng)動(dòng)P在CD上時(shí)，根據(jù)同弧所以圓周角相等性質(zhì)，得∠APB不變；故選C。

解決這類點(diǎn)動(dòng)問題的常常用的是“分段發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中“拐點(diǎn)”進(jìn)行探究，從動(dòng)態(tài)的角度去分析可能出現(xiàn)的變與不變的情況，以靜制動(dòng)。

二、線動(dòng)型

線動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中，設(shè)計(jì)一條或兩條線通過平移或旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，使其與已知幾何圖形產(chǎn)生交點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例2如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn).若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為____。

分析：本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，確定GH的位置是解題的關(guān)鍵。由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=■AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值.而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解決這類線動(dòng)問題的關(guān)鍵是要把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系及運(yùn)動(dòng)變化中圖形的特殊位置，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重要。

三、形動(dòng)型

形動(dòng)型是對(duì)給定的圖形（或其一部分）實(shí)行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考察學(xué)生動(dòng)手、觀察、探索與實(shí)踐能力。圓主要有移動(dòng)、滾動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及翻動(dòng)等四種常用基本運(yùn)動(dòng)。

1.移動(dòng)

例3如圖，點(diǎn)A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半徑分別為1和2，當(dāng)⊙A與⊙B相切時(shí)，應(yīng)將⊙A沿軸向右平移____個(gè)單位。

分析：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)相切的兩種情況分類討論即可，答案為：3或5或7或9。

2.滾動(dòng)

例4如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了____周。

分析：本題考查了該等邊三角形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系。當(dāng)⊙O在三邊運(yùn)動(dòng)時(shí)自轉(zhuǎn)周數(shù)：6π÷2π=3，當(dāng)⊙O繞過三角形外角時(shí)，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)為360°即一周，所以⊙O自轉(zhuǎn)了4周。

3.轉(zhuǎn)動(dòng)

例5如圖，⊙O1和⊙O2的半徑分別是1和2，連接O1O2，交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=5，若將⊙O1繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)360°，則⊙O1與⊙O2共相切____次。

分析：此題考查了兩圓相切的位置關(guān)系：外切，則d=R+r；內(nèi)切，則d=R-r（d表示圓心距）。如圖，⊙O1與⊙O2共相切3次。

4.翻動(dòng)

例6如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使AB經(jīng)過圓心O，則∠OAB=____。

分析：本題考查的是垂徑定理及圖形的翻折變換的性質(zhì)。

過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，

∵將⊙O沿弦AB折疊，使弧AB經(jīng)過圓心O，

∴OD=■OC，∴OD=■OA，∵OC⊥AB，∴∠OAB=30°。

當(dāng)然，與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題還會(huì)以不同的形式呈現(xiàn)：如物體在傳送帶（或定滑輪）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)物體移動(dòng)（上升）的距離等于轉(zhuǎn)輪上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧線的長(zhǎng)度；再比如圓在運(yùn)動(dòng)過程中直徑會(huì)隨著時(shí)間和位置的變化而變化的一類問題也常在中考題中出現(xiàn)，在這就不一一列舉。無論動(dòng)態(tài)幾何問題以什么方式呈現(xiàn)，線動(dòng)、形動(dòng)實(shí)質(zhì)還是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會(huì)產(chǎn)生形動(dòng)，因而線動(dòng)型，形動(dòng)型問題常通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題求解。

解答與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是抓住運(yùn)動(dòng)變化中的不變性（動(dòng)中取靜），抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題（靜中求動(dòng)），要善于借助圖形分析，結(jié)合常用的數(shù)學(xué)方法，掌控動(dòng)態(tài)變化的“拐點(diǎn)”，挖掘運(yùn)動(dòng)過程中的某些變量之間存在一些清晰或者隱含的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而把問題解決。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，這類問題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，解決這類問題的關(guān)鍵要掌握?qǐng)D形在運(yùn)動(dòng)中伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)中考題型也在不斷創(chuàng)新，動(dòng)態(tài)幾何問題逐年增多，其中與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題占比較大，這類動(dòng)態(tài)幾何通常包含點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)等三類問題。

一、點(diǎn)動(dòng)型

點(diǎn)動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題型。解題時(shí)要根據(jù)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例1如圖，點(diǎn)A、B、C、D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿OC→弧CD→DO的路線做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∠APB的度數(shù)為y度，則下列圖象中表示y（度）與t（秒）之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵?）

分析：本題考查了函數(shù)圖象，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，根據(jù)三角形的外角大于與它不相鄰內(nèi)角的性質(zhì)，得∠APB逐漸減??；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DO上時(shí)，同理可得∠APB逐漸增大，當(dāng)動(dòng)P在CD上時(shí)，根據(jù)同弧所以圓周角相等性質(zhì)，得∠APB不變；故選C。

解決這類點(diǎn)動(dòng)問題的常常用的是“分段發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中“拐點(diǎn)”進(jìn)行探究，從動(dòng)態(tài)的角度去分析可能出現(xiàn)的變與不變的情況，以靜制動(dòng)。

二、線動(dòng)型

線動(dòng)型就是指在題設(shè)圖形中，設(shè)計(jì)一條或兩條線通過平移或旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，使其與已知幾何圖形產(chǎn)生交點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。

例2如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn).若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為____。

分析：本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，確定GH的位置是解題的關(guān)鍵。由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=■AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值.而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解決這類線動(dòng)問題的關(guān)鍵是要把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系及運(yùn)動(dòng)變化中圖形的特殊位置，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重要。

三、形動(dòng)型

形動(dòng)型是對(duì)給定的圖形（或其一部分）實(shí)行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考察學(xué)生動(dòng)手、觀察、探索與實(shí)踐能力。圓主要有移動(dòng)、滾動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及翻動(dòng)等四種常用基本運(yùn)動(dòng)。

1.移動(dòng)

例3如圖，點(diǎn)A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半徑分別為1和2，當(dāng)⊙A與⊙B相切時(shí)，應(yīng)將⊙A沿軸向右平移____個(gè)單位。

分析：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)相切的兩種情況分類討論即可，答案為：3或5或7或9。

2.滾動(dòng)

例4如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了____周。

分析：本題考查了該等邊三角形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系。當(dāng)⊙O在三邊運(yùn)動(dòng)時(shí)自轉(zhuǎn)周數(shù)：6π÷2π=3，當(dāng)⊙O繞過三角形外角時(shí)，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)為360°即一周，所以⊙O自轉(zhuǎn)了4周。

3.轉(zhuǎn)動(dòng)

例5如圖，⊙O1和⊙O2的半徑分別是1和2，連接O1O2，交⊙O2于點(diǎn)P，O1O2=5，若將⊙O1繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)360°，則⊙O1與⊙O2共相切____次。

分析：此題考查了兩圓相切的位置關(guān)系：外切，則d=R+r；內(nèi)切，則d=R-r（d表示圓心距）。如圖，⊙O1與⊙O2共相切3次。

4.翻動(dòng)

例6如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使AB經(jīng)過圓心O，則∠OAB=____。

分析：本題考查的是垂徑定理及圖形的翻折變換的性質(zhì)。

過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，

∵將⊙O沿弦AB折疊，使弧AB經(jīng)過圓心O，

∴OD=■OC，∴OD=■OA，∵OC⊥AB，∴∠OAB=30°。

當(dāng)然，與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題還會(huì)以不同的形式呈現(xiàn)：如物體在傳送帶（或定滑輪）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)物體移動(dòng)（上升）的距離等于轉(zhuǎn)輪上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧線的長(zhǎng)度；再比如圓在運(yùn)動(dòng)過程中直徑會(huì)隨著時(shí)間和位置的變化而變化的一類問題也常在中考題中出現(xiàn)，在這就不一一列舉。無論動(dòng)態(tài)幾何問題以什么方式呈現(xiàn)，線動(dòng)、形動(dòng)實(shí)質(zhì)還是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會(huì)產(chǎn)生形動(dòng)，因而線動(dòng)型，形動(dòng)型問題常通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題求解。

解答與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是抓住運(yùn)動(dòng)變化中的不變性（動(dòng)中取靜），抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題（靜中求動(dòng)），要善于借助圖形分析，結(jié)合常用的數(shù)學(xué)方法，掌控動(dòng)態(tài)變化的“拐點(diǎn)”，挖掘運(yùn)動(dòng)過程中的某些變量之間存在一些清晰或者隱含的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而把問題解決。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）