加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，提高實(shí)際應(yīng)用能力

許建平

摘 要： 為增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高解決實(shí)際問題的能力，作者結(jié)合教學(xué)體會(huì)，從理論及實(shí)踐上分析了高中數(shù)學(xué)建模的必要性，并針對(duì)問題分析了高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本方法及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的途徑。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 建模意識(shí) 創(chuàng)新思維

我國普通高中新數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出“切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力”，要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，能初步應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索、猜測(cè)、判斷、證明、運(yùn)算、檢驗(yàn)使問題得到解決。”這些需求不僅契合數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需求，而且是社會(huì)發(fā)展的需要。

一、明確數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)建模意識(shí)

“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究”。（著名數(shù)學(xué)家懷特海語）什么是數(shù)學(xué)模型？即，對(duì)于某一特定研究對(duì)象，為了特定的目的，在一些必要而特定的簡化假定的前提下，應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并以數(shù)學(xué)語言的方式表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)公式、定理、方程式等，都是一些具體可感的數(shù)學(xué)模型。比如，二次函數(shù)即是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。通過轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模式，很多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際性問題能得以解決。如此，通過把問題數(shù)學(xué)化，借以模型構(gòu)建，進(jìn)而求解檢驗(yàn)，從而使問題得以解決的方法，被稱作數(shù)學(xué)模型方法。所以，說到底，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教給學(xué)生前人已知的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型及如何才能夠構(gòu)建模型的思想意識(shí)，以便讓學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題。

那么，具體地講，數(shù)學(xué)模型方法是怎樣操作的？如下所示：

由此可見，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方式解決實(shí)際問題的能力關(guān)鍵在于把實(shí)際性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這就必須先進(jìn)行觀察分析、提煉出實(shí)際問題的相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再把數(shù)學(xué)模型融入相關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)行相應(yīng)處理。這就要求學(xué)生必須有一定的抽象思維能力，還要有一定的觀察能力、分析能力、綜合能力及類比能力等。當(dāng)然這種能力并非一朝一夕就能夠輕而易舉地獲得，它需要教師始終把數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)之中，即應(yīng)該不斷誘導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)思維和觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析和把握各種關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從復(fù)雜繁瑣的實(shí)際問題中抽象化為熟知的數(shù)學(xué)模型，最終解決實(shí)際問題，并要能夠使數(shù)學(xué)建模意識(shí)潛化為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。

二、了解建模條件，掌握基本途徑

1.樹立學(xué)生的建模意識(shí)，應(yīng)先內(nèi)化自己的建模意識(shí)。這就意味著我們不僅在教學(xué)內(nèi)容和要求上力求變化，更飽含著教育思想及教學(xué)觀念的不斷更新。因而，我們除需要了解本學(xué)科的發(fā)展歷史進(jìn)程和發(fā)展動(dòng)態(tài)之外，還應(yīng)該不斷地學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力研究如何使之應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。如，我在大街上曾看到這樣的一則廣告：“本店承接A1型號(hào)影印?！盇1型號(hào)是什么？在弄清了諸多型號(hào)的比例關(guān)系之后，我就把這一材料引入到教學(xué)之中，獲得了較好的課堂教學(xué)效果。

2.數(shù)學(xué)建模教學(xué)立足于現(xiàn)行教材。在教學(xué)中，應(yīng)該向?qū)W生盡可能多地介紹一些常用的、典型的數(shù)學(xué)模型。比如，函數(shù)模型、解析幾何模型、數(shù)列模型、方程模型等。我們應(yīng)研討在各個(gè)教學(xué)章節(jié)中應(yīng)引入哪些模型問題，如儲(chǔ)蓄問題可結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中。在建模意識(shí)的滲透中，通過長期的潛移默化，學(xué)生就能夠從各種建模問題中慢慢感受到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而誘發(fā)學(xué)生研究的興趣，進(jìn)而提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力。

如，在教學(xué)二次函數(shù)的最值問題后，為促使學(xué)生懂得如何用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題，我通過下面的例子輔以講解。例：包間的定價(jià)問題。某個(gè)大酒店有150個(gè)包間，經(jīng)過一階段經(jīng)營實(shí)踐，得出：每間包間定價(jià)為160元時(shí)，下訂率為55%，每間包間定價(jià)為140元時(shí)，下訂率為65%，每間包間定價(jià)為120元時(shí)，下訂率為75%，每間包間定價(jià)為100元時(shí)，下訂率為85%。要使每天收入達(dá)最高值，每間包間應(yīng)怎樣定價(jià)？

[簡化假設(shè)]

因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡化假設(shè)，將很難轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個(gè)復(fù)雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗。所以作出假設(shè)時(shí)要充分利用與問題相關(guān)的學(xué)科知識(shí)，充分發(fā)揮想象力和觀察力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素。此外語言要準(zhǔn)確，就像做習(xí)題時(shí)寫出已知條件一樣。對(duì)例題來說，依前面的分析，我們可作如下假設(shè)：（1）每間包間最高定價(jià)為160元；（2）設(shè)隨著定價(jià)的下降，下訂率呈線性增長；（3）設(shè)大酒店每間包間定價(jià)相等。

[建立模型]

按照假設(shè)分析相關(guān)變量間關(guān)系，尋求等量（不等量）關(guān)系或其他關(guān)系以建立模型。這中間要盡量利用已知領(lǐng)域的已知模型或結(jié)果，通過類比等方法構(gòu)造模型。另外，建立模型時(shí)還要注意一個(gè)原則：能用初等工具絕不用高等工具，能用簡單方法絕不用復(fù)雜方法。按照上題我們建立其數(shù)學(xué)模型。

設(shè)y表示大酒店一天的總收入，與160元相比每間包間降低的定價(jià)為x元。由假設(shè)（2）可得，每降價(jià)1元，下訂率就增加10%÷20=0.005。因此，得出，y=150（160-x）×（0.55+0.005x）。由0.55+0.005x≤1，可知0≤x≤90。于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)0≤x≤90時(shí)，y的最大值是多少？

[求解模型]

依據(jù)所建立模型的特點(diǎn)，歸屬（哪個(gè)數(shù)學(xué)分支）尋求其求解方法。由此，可得到：

通過二次函數(shù)求最值，即可得：當(dāng)x=25時(shí)，包間定價(jià)為135元，y取最大值13668.75（元）。

[討論與驗(yàn)證]

所謂檢驗(yàn)是將數(shù)學(xué)上分析結(jié)果返回到實(shí)際問題中，并用實(shí)際現(xiàn)象或數(shù)據(jù)與模型計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。

（1）驗(yàn)證得出，此收入在各種已知定價(jià)對(duì)應(yīng)的收入中是最大的。如果為了便于管理，則定價(jià)為140元也是可以的，因?yàn)榇藭r(shí)它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價(jià)為180元，下訂率則為45%，其收入就只有12150元，所以假設(shè)（1）是合理的。

3.結(jié)合專題討論與建模法研究。我們可選取合適的建模專題，比如“代數(shù)法建模”、“圖解法建?！钡?，通過探討、剖析和研究，了解并掌握一些數(shù)學(xué)建模的重要思想及基本方法。還可以讓學(xué)生通過對(duì)平常生活的觀察選取實(shí)際問題進(jìn)行建模練習(xí)，從而嘗到數(shù)學(xué)建模成功的“成就感”和難于解決的“不易感”，進(jìn)而拓寬視野、增長知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)。

三、強(qiáng)化建模意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

在眾多的思維活動(dòng)之中，創(chuàng)新思維屬于最高層次的思維活動(dòng)。它具有開拓性、創(chuàng)造性的特點(diǎn)。因此，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的過程主要有三點(diǎn)基本要求。首先，積極對(duì)待周圍的事物；接著，勇于提出問題；然后，巧于聯(lián)想，善于理論聯(lián)系實(shí)際。因而，培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)，實(shí)際上是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，其不僅有一定的理論性，還有實(shí)質(zhì)性的實(shí)踐活動(dòng)。同時(shí)，在建?；顒?dòng)過程中，思維應(yīng)具有深刻性和靈活性。

1.以“建?！睘榛c(diǎn)，培養(yǎng)直覺思維。在數(shù)學(xué)史中，我們不難發(fā)現(xiàn)，直覺思維促使了不少的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，比如哥德巴赫猜想、歐拉定理等，這些都是在觀察、比較、領(lǐng)悟中發(fā)現(xiàn)的。而通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)，可以促使學(xué)生具有獨(dú)特的見解和不同一般的思考方法。當(dāng)然，這就要求在教學(xué)中盡量培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力和想象能力。

2.以“建?！睘榻橘|(zhì)，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力。數(shù)學(xué)建模，其實(shí)就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成為數(shù)學(xué)問題。所以，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠注重轉(zhuǎn)化，則對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性乃至提高解題速度都是有顯著作用的。對(duì)“建?！钡倪M(jìn)一步研究，無疑會(huì)激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，且能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，并養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題，獨(dú)立思考的習(xí)慣。

3.以“建模”為載體，培養(yǎng)創(chuàng)新能力?！敖！奔礃?gòu)造模型，這不是一件輕而易舉的事，必須具備較強(qiáng)的構(gòu)造能力。而構(gòu)造能力又制約著創(chuàng)造性思維及創(chuàng)造能力。可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力緊密相關(guān)。所以，在教學(xué)中，我們應(yīng)細(xì)心觀察，精巧設(shè)計(jì)，可以把一些看似繁雜抽象的問題，去偽存真，從而構(gòu)造出最基本的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

總之，要讓學(xué)生解析和解決問題的能力得到質(zhì)的飛躍，真正提高其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，學(xué)到確實(shí)有用的數(shù)學(xué)，就應(yīng)該堅(jiān)持以學(xué)生為主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，開展切合學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué)。

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