數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中恒成立問題及解題策略

陳小軍

【摘 要】新課標(biāo)下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質(zhì)和能力，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學(xué)就顯得十分必要，恒成立數(shù)學(xué)問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；高考復(fù)習(xí)；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數(shù)范圍的恒成立問題，常常把參數(shù)視為主元，把主元視為參數(shù)，把原題視為參數(shù)的函數(shù)，再從函數(shù)的角度來解決問題，利用一次函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，達到反客為主的目的。

對于一次函數(shù)f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數(shù)化為一次函數(shù)：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當(dāng)a∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g(shù)（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設(shè)f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當(dāng)m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數(shù)形結(jié)合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設(shè)C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規(guī)律可循，只要我們善于總結(jié)，找出解決這類問題的規(guī)律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數(shù)的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛(wèi)江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，2009.04

[3]梁家芬.含參數(shù)不等式恒成立解題策略.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數(shù)學(xué)的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節(jié)課的所思所想.《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，2009.05

[5]高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學(xué)）

【摘 要】新課標(biāo)下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質(zhì)和能力，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學(xué)就顯得十分必要，恒成立數(shù)學(xué)問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；高考復(fù)習(xí)；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數(shù)范圍的恒成立問題，常常把參數(shù)視為主元，把主元視為參數(shù)，把原題視為參數(shù)的函數(shù)，再從函數(shù)的角度來解決問題，利用一次函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，達到反客為主的目的。

對于一次函數(shù)f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數(shù)化為一次函數(shù)：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當(dāng)a∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g(shù)（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設(shè)f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當(dāng)m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數(shù)形結(jié)合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設(shè)C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規(guī)律可循，只要我們善于總結(jié)，找出解決這類問題的規(guī)律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數(shù)的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛(wèi)江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，2009.04

[3]梁家芬.含參數(shù)不等式恒成立解題策略.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數(shù)學(xué)的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節(jié)課的所思所想.《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，2009.05

[5]高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

（作者單位：江蘇省濱?？h明達中學(xué)）

【摘 要】新課標(biāo)下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質(zhì)和能力，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學(xué)就顯得十分必要，恒成立數(shù)學(xué)問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；高考復(fù)習(xí)；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現(xiàn)了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數(shù)范圍的恒成立問題，常常把參數(shù)視為主元，把主元視為參數(shù)，把原題視為參數(shù)的函數(shù)，再從函數(shù)的角度來解決問題，利用一次函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，達到反客為主的目的。

對于一次函數(shù)f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數(shù)化為一次函數(shù)：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當(dāng)a∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g(shù)（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設(shè)f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當(dāng)m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數(shù)形結(jié)合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設(shè)C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規(guī)律可循，只要我們善于總結(jié)，找出解決這類問題的規(guī)律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數(shù)的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛(wèi)江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，2009.04

[3]梁家芬.含參數(shù)不等式恒成立解題策略.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數(shù)學(xué)的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節(jié)課的所思所想.《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，2009.05

[5]高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

（作者單位：江蘇省濱?？h明達中學(xué)）