圓柱體的擬合與質(zhì)量檢測(cè)

王君剛，王解先,2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2. 現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

一、引 言

在工程測(cè)量中，經(jīng)常有涉及建筑物形變監(jiān)測(cè)的問(wèn)題，需要精確地確定建筑物的空間形態(tài)和位置，進(jìn)而分析建筑物的質(zhì)量狀況。實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)建筑物是由規(guī)則的幾何體(如長(zhǎng)方體、圓柱體等)構(gòu)成的。對(duì)圓柱體的擬合就是確定圓柱體軸線的位置和方向，以及圓柱體的半徑。

圓柱體的擬合方法有高斯圖法[1]、遺傳算法[2]、特征值算法[3]等。但是這幾種算法都有一定的缺陷：基于遺傳算法和高斯圖的圓柱體擬合在計(jì)算上比較繁瑣；基于特征值的圓柱體擬合存在一定的近似計(jì)算，并不是基于幾何距離的最小二乘算法。本文采用一種比較簡(jiǎn)單的算法，以觀測(cè)點(diǎn)到擬合圓柱面的距離平方和最小為原則，擬合出圓柱面的空間位置和形態(tài)參數(shù)。

由于在一個(gè)測(cè)站上不能均勻地觀測(cè)圓柱體表面的多個(gè)點(diǎn)位，因此需要在兩個(gè)測(cè)站從不同方向觀測(cè)圓柱體，然后將觀測(cè)的坐標(biāo)歸算到同一坐標(biāo)系。利用觀測(cè)的點(diǎn)位坐標(biāo)，擬合出圓柱體的空間位置和形態(tài)參數(shù)，然后計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)的圓度。為了更直觀地表示觀測(cè)點(diǎn)的圓度，可以將圓柱體側(cè)面展開，用等值線的方式表示整個(gè)圓柱體側(cè)面的凹凸性。

下面將詳細(xì)闡述坐標(biāo)測(cè)量與轉(zhuǎn)換、圓柱體擬合及圓柱體質(zhì)量檢測(cè)的原理與計(jì)算過(guò)程。

二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

在兩個(gè)測(cè)站上任意設(shè)站對(duì)圓柱體進(jìn)行觀測(cè)，獲得的點(diǎn)位坐標(biāo)分屬不同坐標(biāo)系，需要將其歸算到同一坐標(biāo)系。本文利用在兩個(gè)測(cè)站上觀測(cè)的公共點(diǎn)坐標(biāo)，獲取兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)。由于兩測(cè)站坐標(biāo)系之間不存在尺度變化，因此只有6個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)[4]。兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換公式為

(1)

式中，α、β、γ分別為繞X、Y、Z的旋轉(zhuǎn)角，以逆時(shí)針為正；ΔX、ΔY、ΔZ為3個(gè)平移量。將上式線性化，根據(jù)公共點(diǎn)的坐標(biāo)列立誤差方程構(gòu)成法方程，迭代計(jì)算至改正數(shù)符合限差即可[5]。

三、圓柱體擬合

利用上面計(jì)算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，將兩個(gè)測(cè)站觀測(cè)的圓柱體表面點(diǎn)位坐標(biāo)歸算到同一坐標(biāo)系下，然后進(jìn)行圓柱體的擬合。

圓柱體的幾何特征包括：軸線的單位方向向量(abc)，軸線上某一固定點(diǎn)P0(X0，Y0，Z0)及圓柱體的半徑R。由于軸線的方向在數(shù)學(xué)表示上不唯一[6]，同一軸線可以表示為相反的兩個(gè)向量，因此規(guī)定：a>0，若a=0則b>0，若a=0，b=0則c>0(由單位向量的定義可知此時(shí)c=1)。 由于固定點(diǎn)可以選取位于軸線上的任一點(diǎn)，因此該點(diǎn)只有兩個(gè)未知數(shù)，即固定點(diǎn)的某一分量為已知值。

圖1 觀測(cè)點(diǎn)與圓柱體關(guān)系示意圖

而

因此誤差方程為

di=

R

(4)

將誤差方程線性化，組成法方程。此外，根據(jù)單位向量的定義，還有條件式

a2+b2+c2=1

(5)

根據(jù)附有限制條件的間接平差計(jì)算圓柱的6個(gè)參數(shù)。

四、圓柱體質(zhì)量分析

1. 圓柱體的圓度

在擬合得到圓柱體的參數(shù)后，可以求得圓柱體的圓度。以觀測(cè)點(diǎn)到所擬合的圓柱體表面的距離di來(lái)表示圓度[7]，即式(4)中的殘差，在此稱為絕對(duì)圓度。由于圓柱體的半徑不同，絕對(duì)圓度并不能很合理地表示圓柱體的質(zhì)量狀況，因此引入相對(duì)圓度的概念，以絕對(duì)圓度與圓柱半徑之比作為相對(duì)圓度，這樣能更合理地表達(dá)觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)于圓柱體表面的偏離程度。相對(duì)圓度dri計(jì)算公式為

式中，R為圓柱體半徑。

2. 圓柱體傾斜率

由圓柱體軸線的方向向量(abc)，可以計(jì)算圓柱體軸線的垂直角δ為

δ=arccos|c|

(7)

3. 投影點(diǎn)坐標(biāo)

式中，R為擬合的圓柱體半徑。

4. 圓柱體側(cè)面的展開

將觀測(cè)點(diǎn)投影到圓柱體側(cè)面后，可以將圓柱側(cè)面展開，從而更直觀地表示投影點(diǎn)在圓柱體側(cè)面上的分布及殘差。將圓柱體側(cè)面展開需要建立圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系和圓柱展開面坐標(biāo)系，將投影點(diǎn)坐標(biāo)從測(cè)量坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，然后再轉(zhuǎn)換到圓柱展開面坐標(biāo)系。

(1) 圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系

以圓柱軸線上的固定點(diǎn)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以圓柱軸線方向(abc)為z軸方向，建立圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系oxyz。測(cè)量坐標(biāo)系與圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的關(guān)系如圖2所示。

第三階段是“It's Fun to Read”（趣味閱讀）。在這一階段，閱讀文本以不同的有趣情境和形式呈現(xiàn)出來(lái)，比如詩(shī)歌、音樂(lè)、謎語(yǔ)等（見圖8）。圖片、顏色、背景、文本和動(dòng)畫都會(huì)增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的互動(dòng)性。[5]學(xué)習(xí)者可以通過(guò)點(diǎn)擊或者移動(dòng)鼠標(biāo)來(lái)選擇去哪里，做什么。他們既可以關(guān)注電影，歌曲和視頻所表達(dá)的內(nèi)容也可以關(guān)注他們的表達(dá)方式，活動(dòng)和游戲讓學(xué)習(xí)者既有意識(shí)地也潛意識(shí)地使用他們學(xué)習(xí)系統(tǒng)中的規(guī)則。

z軸方向(ez1ez2ez3)=(abc)，x軸在測(cè)量坐標(biāo)系OXYZ中的方向定義為過(guò)o與圓柱軸線垂直的任意方向，設(shè)x的方向?yàn)?ex1ex2ex3)，且滿足

圖2 測(cè)量坐標(biāo)系與圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系

任意點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)(Xi，Yi，Zi)與其在圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)(xi，yi，zi)的關(guān)系為

根據(jù)式(13)可以將觀測(cè)點(diǎn)的測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)。

(2) 圓柱展開面坐標(biāo)系

式中，R為圓柱半徑；ωi為Pi點(diǎn)在xoy面上的投影與ox的夾角，以逆時(shí)針為正，ωi的取值范圍為[-π,π]。ωi的計(jì)算式為

根據(jù)式(14)與式(15)，可以將位于圓柱表面上的點(diǎn)位從圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圓柱展開面坐標(biāo)系。

圖3 圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系與圓柱展開面坐標(biāo)系

五、算例分析

本文以同濟(jì)大學(xué)校內(nèi)某圓柱體為例，利用索佳SET230R無(wú)反射電子全站儀，在兩個(gè)測(cè)站上各觀測(cè)了4個(gè)公共點(diǎn)及均勻分布在圓柱表面上的29個(gè)點(diǎn)。

根據(jù)上文中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用4個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)和式(1)，求得兩個(gè)測(cè)站坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)見表1，公共點(diǎn)的坐標(biāo)及坐標(biāo)殘差見表2。

表1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

表2 公共點(diǎn)坐標(biāo)及轉(zhuǎn)換殘差

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的單位權(quán)中誤差為5.6 mm。

利用表1中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，將在兩個(gè)測(cè)站上觀測(cè)的圓柱表面點(diǎn)位坐標(biāo)歸算到同一坐標(biāo)系下，按照式(4)列立誤差方程并組成法方程，附加限制條件式(5)，根據(jù)附有限制條件的間接平差進(jìn)行解算。本算例中固定點(diǎn)的已知分量為Z0，取各觀測(cè)點(diǎn)6.268 5 m。平差后固定點(diǎn)另兩個(gè)分量X0、Y0分別為：5 836.919 3 m、2 666.329 9 m，圓柱軸線的單位方向向量為(0.000 746 2 0.002 102 2 -0.999 997 5)，圓柱半徑為0.122 6 m。根據(jù)圓柱軸線方向和式(6)，軸線傾斜率δ=7′40.107 972″。各觀測(cè)點(diǎn)中誤差為1.7 mm，各觀測(cè)點(diǎn)的圓度與相對(duì)圓度見表3。

由式(7)將觀測(cè)點(diǎn)投影到圓柱體表面，然后以(5 836.919 3，2 666.329 9，6.268 5)為原點(diǎn)o建立圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，以圓柱軸線方向?yàn)閦軸，從原點(diǎn)o指向(-0.999 999 7 0 -0.000 746 2)方向?yàn)閤軸，則y軸指向(0.000 001 6 -0.999 997 8 -0.002 102 1)。將投影點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到圓柱標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，并建立圓柱展開面坐標(biāo)系，將圓柱側(cè)面展開，各投影點(diǎn)在圓柱展開面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)見表3。

表3 觀測(cè)點(diǎn)的圓度以及在圓柱展開面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

根據(jù)表3中觀測(cè)點(diǎn)的投影點(diǎn)在圓柱展開面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和觀測(cè)點(diǎn)的圓度，繪制展開面的等值線，如圖4所示。對(duì)觀測(cè)點(diǎn)的圓度進(jìn)行分析，繪制殘差分布如圖5所示，殘差分布圖可以直觀地表達(dá)殘差是否符合偶然誤差的規(guī)律。

通過(guò)表3、圖4和圖5可以看出，圓柱表面比較平整，觀測(cè)點(diǎn)殘差分布合理。對(duì)照?qǐng)D4與表3可以對(duì)圓柱體表面的凹凸性有直觀清晰的認(rèn)識(shí)。

圖4 圓柱面展開圖

圖5 觀測(cè)點(diǎn)誤差分布圖

六、結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了根據(jù)圓柱表面觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用最小二乘原理擬合圓柱體的空間位置和形態(tài)的方法與計(jì)算過(guò)程。該方法原理清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單、結(jié)果可靠，而且有實(shí)際的幾何意義，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該擬合算法的可靠性與準(zhǔn)確性。

擬合出圓柱體后，根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)與圓柱體參數(shù)可以計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)的圓度，本文引入了相對(duì)圓度的概念，以圓度與圓柱半徑的比值表示相對(duì)圓度，從而更加合理地表達(dá)觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)圓柱體表面的偏離度。利用圓柱體的參數(shù)計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)在圓柱體表面的投影點(diǎn)坐標(biāo)，然后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將圓柱側(cè)面展開為平面，能夠更加直觀地表示投影點(diǎn)的分布。本文詳細(xì)闡述了圓柱體側(cè)面展開的原理和計(jì)算過(guò)程，通過(guò)算例驗(yàn)證了算法的可行性。

作為一種基本的幾何體，圓柱體在建筑物、工業(yè)部件中很常見，因此圓柱體的擬合在工程測(cè)量、工業(yè)測(cè)量、逆向工程中都有著廣泛的應(yīng)用。本文介紹的圓柱體擬合方法與質(zhì)量檢測(cè)方法易于理解、便于計(jì)算，且精度可靠，在圓柱體的擬合和質(zhì)量檢測(cè)中是一種可靠的方法。

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