基于馬爾科夫鏈的體育教學(xué)評價研究

朱玉霞,李星祥

(1.南京信息工程大學(xué) 體育部，江蘇 南京 210044；2.南京信息工程大學(xué) 研究生院，江蘇 南京 210044)

本文通過改進馬爾科夫鏈教學(xué)評價模型，并將其應(yīng)用到體育教學(xué)評價中來，希望能更客觀地描述學(xué)生體育學(xué)習(xí)的進步幅度、發(fā)展情況，并能對體育教學(xué)效果進行客觀的評價。

1 馬爾科夫鏈在體育教學(xué)評價中的應(yīng)用步驟

馬爾科夫鏈在體育教學(xué)評價中的應(yīng)用是建立在兩次體育測試成績的結(jié)果上的，通過比較第一次測試與第二次測試處于不同成績等級上的學(xué)生人數(shù)的變化，構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣。假定保持體育教學(xué)效果穩(wěn)定的前提下，經(jīng)過多個階段的體育教學(xué)后，利用馬爾科夫鏈的穩(wěn)定分布狀態(tài)可以得到學(xué)生最終成績的分布狀態(tài)。具體步驟如下：

(1)將一個教學(xué)單位(班級或者學(xué)院)的第一次體育測試成績劃分為r個等級，設(shè)參加體育測試的學(xué)生總?cè)藬?shù)為n，處于第i個等級的學(xué)生有ni個(i=1,2,…,r)，計算第一次測驗后學(xué)生體育成績分布的初始向量，用A(0)表示：

(1)

(2)經(jīng)過一段時間的體育教學(xué)后對學(xué)生進行第二次體育測試，依據(jù)上述的方法，可以得到第二次測試中每個等級的學(xué)生數(shù)ni(i=1,2,…,r)，由此可以得到A(1)，還可以分別得到所有第i個等級轉(zhuǎn)移到第j個等級的學(xué)生數(shù)目nij(i,j=1,2,…,r)，由此可以構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：

(2)

2 馬爾科夫鏈在體育教學(xué)評價中的應(yīng)用

2.1 模型的改進

利用馬爾科夫鏈對體育教學(xué)進行評價時，通常利用前后兩次體育測試成績之間的聯(lián)系來刻畫轉(zhuǎn)移概率矩陣，并由此計算穩(wěn)定狀態(tài)A來刻畫體育教學(xué)成果。但是，通常大學(xué)體育教學(xué)中前后兩次測試的項目和季節(jié)環(huán)境會存在差異，這會造成前后兩次測試劃分的等級不具有可比性?，F(xiàn)以某高校一個班級前后兩次體育測試為例來說明以上情形，已知第一次體育測試的平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分，且在[90,100]的有10人，在[80,90)的有14人，在[70,80)的有13人，在[60,70)的有2人，在[0,60)的有1人。在第二次體育測試中，平均成績?yōu)?8分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。第一次體育測試成績在第二次體育測試成績中的分布情況見表1。

表1 兩次體育測試對比

第二次體測成績成績分布[90,100][80,90)[70,80)[60,70)[0,60)第二次體測成績 [90,100]631[80,90)5711[70,80)3361[60,70)11[0,60)01

若將兩次體育測試成績均轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)分”，“標(biāo)準(zhǔn)分”的轉(zhuǎn)化公式為：

(3)

表2 兩次體育測試“標(biāo)準(zhǔn)分”對比

第二次體測成績成績分布[0.2,1.2][-0.8,0.2)[-1.8,-0.8)[-2.8,-1.8)[-8.8,-2.8)第二次體測成績[1,3]631[-1,1)5711[-3,-1)3361[-5,-3)11[-17,-5)01

由表2可以看出，前后兩次體育測試成績分布是不等值的，第一次體育測試的5個等級與第二次體育測試的5個等級不具有可比性，而這一點可從兩次測試項目和季節(jié)環(huán)境的差異來得到解釋。所以傳統(tǒng)情況下根據(jù)體育測試得分[90,100]、[80,90)、[70,80)、[60,70)、[0,60)來劃分狀態(tài)在均值和方差不相等的狀態(tài)下是不夠合理的。

鑒于傳統(tǒng)劃分等級方法的不足，本文利用公式(3)將學(xué)生體育測試得分全部轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)分”，在此基礎(chǔ)上來劃分等級，構(gòu)造轉(zhuǎn)移矩陣。使用標(biāo)準(zhǔn)分的好處是模型有效避免了因體育測試項目和季節(jié)環(huán)境的不同而造成的分類等級不可比的問題。需要特別指出的是，當(dāng)進行多個班級體育教學(xué)質(zhì)量評比的時候，學(xué)生成績“標(biāo)準(zhǔn)分”公式為：

(4)

考試成績r個等級的合理劃分是構(gòu)造有效轉(zhuǎn)移矩陣的基礎(chǔ)，本文參考標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)點來確定等級劃分標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生體育測試得分大體上服從正態(tài)分布，故“標(biāo)準(zhǔn)分”大體上服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以考試成績r個等級劃分的標(biāo)準(zhǔn)可以參考標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)點。例如，若要選取前25%的學(xué)生為第一等級，那么第一等級學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)大于0.675，0.675為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的四分之三分位點；選取前25%～50%的學(xué)生作為第二等級，那么第二等級學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)處于0至 0.675之間，0為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分函數(shù)的二分之一分位點；選取前50%～90%的學(xué)生作為第三等級，那么第三等級學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)處于-1.28至0之間，-1.28為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的十分之一分位點；最后10%的學(xué)生處于第四等級，他們的標(biāo)準(zhǔn)分小于-1.28。

2.2 建立教學(xué)評比模型

在進行體育教學(xué)評比時，有兩件事情值得關(guān)注，一是最終學(xué)生體育成績的穩(wěn)定分布A，二是學(xué)生體育成績的進步幅度。假設(shè)以后的教學(xué)效果不發(fā)生改變，即轉(zhuǎn)移概率矩陣保持平穩(wěn)不變，那么通過解方程，可以計算出反映學(xué)生最終體育成績分布的穩(wěn)定狀態(tài)向量A=(a1,a2,…,ar)?；谌绱丝紤]，本文構(gòu)造了一個衡量學(xué)生體育成績進步幅度的評價函數(shù)：

2.3 實證分析

本文選取南京信息工程大學(xué)2012級兩個班級作為測試對象，以兩班學(xué)生在2012-2013年度兩個學(xué)期的體育測試成績進行體育教學(xué)評價，體育測試的項目和時間一樣，兩個班級分別記作甲和乙，每班30位學(xué)生。通過使用公式(4)將兩個班的學(xué)生體育測試成績轉(zhuǎn)換成“標(biāo)準(zhǔn)分”，然后按標(biāo)準(zhǔn)分的大小分成[0.675,∞)、[0,0.675)、[-1.28,0)、(-∞,-1.28)4個等級。

接著，計算兩個班級體育成績分布的轉(zhuǎn)移概率矩陣，分別記為P甲和P乙：

然后，計算兩個班級體育成績分布最終的平穩(wěn)狀態(tài)向量，分別記為A甲和A乙：

A甲=(0.44,0.24,0.32,0)
A乙=(0.42,0.42,0.14,0.02)

最后，為了鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉，本文設(shè)定wi=(50,30,10,5)，算出兩個班級的進步幅度，分別記為F甲和F乙：

F甲=5.87，F(xiàn)乙= 13.77

假設(shè)以后的教學(xué)效果保持不變，從學(xué)生體育成績的最終分布可以看出，班級甲將有44%的學(xué)生體育成績處于等級一，24%的學(xué)生體育成績處于等級二，低于處于等級三的有32%，等級四將趨于0；班級乙將有42%的學(xué)生體育成績處于等級一和等級二，等級三的學(xué)生比例降至14%，等級四趨于2%。從各個等級學(xué)生成績的分布來看，班級乙的體育成績分布將優(yōu)于班級甲。從體育成績的進步幅度上來看，班級乙的體育成績進步幅度大于班級甲。從兩個班級體育成績的初始分布來看，在初期班級甲體育成績分布優(yōu)于班級乙，但是隨著各班體育教學(xué)的深入，班級乙的體育成績進步明顯，且對班級甲實現(xiàn)了超越。最后可以得出結(jié)論，班級乙的學(xué)生體育學(xué)習(xí)效果優(yōu)于班級甲。

3 結(jié)論

通過對馬爾科夫鏈進行改進，本文提出了一種關(guān)于教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)效果比較評價的有效方法。經(jīng)過改進的馬爾科夫鏈體育教學(xué)評價模型，可有效避免因為體育測試項目和季節(jié)環(huán)境不同而造成的分類狀態(tài)不可比的問題，同時在教學(xué)評比時將所有學(xué)生的成績放在了同一個標(biāo)準(zhǔn)下進行評比，將更有利于得到公平客觀的評比結(jié)果。劃分等級時，本文參考了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)點來確定等級劃分標(biāo)準(zhǔn)，使等級劃分更加合理，將有利于構(gòu)造更加有效的轉(zhuǎn)移概率矩陣。用所構(gòu)建的體育成績進步幅度函數(shù)來評比不同班級的教學(xué)成果，量化了整個班級的體育成績進步幅度。在教學(xué)效果保持不變的情況下，改進的馬爾科夫模型可以預(yù)測班級體育成績將會達到的分布狀態(tài)以及進步幅度大小，這對于教師在現(xiàn)階段的教學(xué)有著很好的導(dǎo)向和提醒作用，有助于體育教學(xué)工作更加科學(xué)有效地發(fā)展。

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