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      三角函數(shù)中的拆角思想

      2014-08-12 08:30:15劉萍萍
      成才之路 2014年21期
      關(guān)鍵詞:個角進修學(xué)校銳角

      劉萍萍

      三角函數(shù)的計算是高中的一個重要考點。對于一些和角的計算問題,除了掌握和角(差角)及倍角公式之外,還要掌握一些必要的“拆角”技巧,這樣可以簡化運算。

      一、題中就1個角,此角可拆成2個特殊角的和或差

      例1 :不查表求值:①sin15°。②cos75°。③sin105°。④sin(-■ )。分析:對此類題,先將角化成銳角后,題中的非特殊角等于2個特殊角的和或差。①15°=45°-30°=60°-45°=135°-120°=…… ②75°=30°+45°。③105°=60°+45°。④原式=sin(-2π-■ )=sin(-■)=-sin15°=-sin(45°-30°)。

      二、題中有3個角時,這3個角有和差關(guān)系

      例2:求■的值。

      分析:原式=■=■=tan15°=tan(45°-30°)=2-■。

      三、題中有3個角時,結(jié)論角=2個條件角的和或差

      例3:已知■<β<α<■,cos(α-β)=■,sin(α+β)=-■,求cos2α與cos2β的值。分析:2α=(α-β)+(α+β),2β=(α+β)-(α-β)。解:∵■<β<α<■,∴0<α-β<■,π<α+β<■?!鄐in(α-β)=■=■=■,cos(α+β)=-■=-■=-■。∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-■×■+(-■)×■=-■。

      例4:已知α,β為銳角,且cosα=■,cos(α+β)=-■,求cosβ和sinβ的值。分析:cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα,由題意知,α為銳角,而α+β為鈍角。結(jié)果為sinβ=■,sinβ=■。

      例5:已知tanα=■,tan(α-β)=-■,則tan(β-2α)=( )。A.-■。B.■。C.■。D.-■。分析:tan(β-2α)=tan{-[α+(α-β)]}=-tan[α+(α-β)]=■。

      三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),故在具體的解題中需要注意分析角之間的關(guān)系,利用角的變換化異角為同角,解題的關(guān)鍵是角的合理拆分與拼湊?!安鸾恰斌w現(xiàn)了整體與局部之間的關(guān)系,是連接題設(shè)條件與待求結(jié)論的紐帶,是三角函數(shù)求值的一種常用方法。其實,具體的角也可以利用這種方法搭建非特殊角與特殊角之間的關(guān)系。例如:10°=30°-20°=70°-60°,15°=7°+8°。具體拆的方法,要根據(jù)題目而進行靈活選擇。

      (河南省唐河縣教師進修學(xué)校)

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