一道數(shù)學(xué)高考試題的多元透析

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(嘉興高級(jí)中學(xué) 浙江嘉興 314031)

1 問(wèn)題的提出

2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題，條件簡(jiǎn)潔,問(wèn)題清楚，但學(xué)生普遍感覺(jué)比較“難”，或無(wú)從下手，或因思路不清、計(jì)算困難等半途而廢.本文試圖從不同的視角出發(fā)，列舉學(xué)生采用的幾種常規(guī)解法進(jìn)行障礙診斷、評(píng)析與題源探究，同時(shí)，給出高觀點(diǎn)下的再審視，提出幾點(diǎn)教學(xué)反思與改進(jìn).

例1若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_(kāi)_____.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題)

2 常規(guī)解法

2.1 函數(shù)的視角

解法1由條件a+b+c=0，得

c=-(a+b)，

代入a2+b2+c2=1，整理得

(1)

由求根公式解得

2.2 方程的視角

解法2由解法1的分析，得

即

從方程的視角，此式可看作是關(guān)于b的一元二次方程，因方程有解，故Δ≥0，即

2.3 不等式的視角

結(jié)合不等式(b+c)2≤2(b2+c2)，得

a2≤2(1-a2)，

3 診斷、評(píng)析與探究

3.1 障礙診斷

因感覺(jué)離目標(biāo)很遙遠(yuǎn)而止步，殊不知，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用基本不等式，消去b和c，便有如下的解法：

將b+c=-a代入得

至于解法3，很多學(xué)生也會(huì)想到用基本不等式去解，但他們的經(jīng)驗(yàn)往往是會(huì)解決只含有“二元”、直接用基本不等式即可解決的問(wèn)題，如例2和例3.

例2若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值為_(kāi)_____.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題)

例3若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值為_(kāi)_____.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

從本質(zhì)上看，例2、例3和例1是相同的，均是已知2個(gè)或3個(gè)變量間的關(guān)系，求其中1個(gè)變量(或2個(gè)變量的組合)的最值.

可見(jiàn)，學(xué)生感到此題“難”，是因?yàn)樗o的條件a+b+c=0，a2+b2+c2=1中所含的變?cè)?個(gè)，而平時(shí)常見(jiàn)的變?cè)挥?個(gè).究其原因，還是沒(méi)有領(lǐng)會(huì)好“消元”這一最基本的思想方法.

3.2 評(píng)析

以上3種解法，都基于一種最自然、最樸素的思想方法，即消元，以達(dá)到減少變?cè)?、化繁為?jiǎn)、化多為少的目的.視角1通過(guò)消元，化“三元”為“二元”,化“二元”為“一元”，最終將問(wèn)題化歸為一元函數(shù)的最值問(wèn)題，雖道路曲折，但目標(biāo)明確.視角2通過(guò)消元，抓住方程的定義(即含有未知數(shù)的等式)，將問(wèn)題化歸為一元方程的有解問(wèn)題.視角3借助不等式，通過(guò)整體消元，將問(wèn)題化歸為一元不等式的求解問(wèn)題，簡(jiǎn)潔明了.可見(jiàn)，函數(shù)、方程、不等式等是解決此題的基礎(chǔ)知識(shí)，但要成功解決，還需理清題意，抓住本質(zhì)，運(yùn)用消元的思想方法.

3.3 題源探究

探究發(fā)現(xiàn)，消元的思想方法在浙江省歷年高考卷或模擬卷中屢見(jiàn)不鮮，在各大名校的自主招生考試中也時(shí)常出現(xiàn)，比如：

例4若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為

( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

解法1(“1”的代換)

由x+3y=5xy，得

故

展開(kāi)并結(jié)合基本不等式，得

教學(xué)時(shí)，教師常常局限于這種“高技巧”的展示，卻忽視了最基本的思想方法.其實(shí)，例4和例1有相似的地方，仍可用上面2個(gè)“樸素”的方法解決.

解法2(函數(shù)的視角)

從函數(shù)的視角，z=3x+4y為二元函數(shù)，通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).由x+3y=5xy，得

從而

解法3(方程的視角)

從方程的視角，x+3y=5xy為二元方程，通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元方程.令3x+4y=t,得

代入方程，化簡(jiǎn)整理得

15x2-(5+5t)x+3t=0.

此方程可看作是關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，故Δ≥0，即

(5+5t)2-180t≥0，

(3x+4y)min=5.

4 高觀點(diǎn)下的再審視

對(duì)于例1,還在如下的解法:

4.1 參數(shù)方程的視角

解法5由解法2的分析，知

解法6由a2+b2+c2=1，得

b2+c2=1-a2.

a=-(b+c)，

4.2 非線性規(guī)劃的視角

解法7由解法1的分析，知

令a=-x-y，b=x-y,代入得

2x2+6y2=1.

8x2+12ax+6a2-1=0，

令Δ=0，得 (12a)2-32(6a2-1)=0，

4.3 柯西不等式的視角

解法8由解法7的分析，知

2x2+6y2=1，

由二維柯西不等式，得

即

4.4 平面解析幾何的視角

解法9由解法3的分析，知

即

4.5 空間解析幾何的視角

代入化簡(jiǎn)得

2z2+2tz+2t2-1=0，

令Δ=0，得

4t2-8(2t2-1)=0，

5 教學(xué)反思與改進(jìn)

一道所謂的難題，經(jīng)過(guò)不同視角下的透析與再審視，其實(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)潔，解法自然，讓人回味，發(fā)人深省.同時(shí)也激勵(lì)我們反思自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，改進(jìn)教師的教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

5.1 重結(jié)果、更重過(guò)程

新課程理念強(qiáng)調(diào)“學(xué)生的積極參與，重視學(xué)生的體驗(yàn)，關(guān)注知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程”.如學(xué)生在學(xué)習(xí)“基本不等式”時(shí)，不僅要知道它的結(jié)論，更要理解它的推導(dǎo)過(guò)程，關(guān)注它所蘊(yùn)含的幾何意義、產(chǎn)生的背景以及簡(jiǎn)單應(yīng)用.又如在解題教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生解題結(jié)果的正確與否，還要關(guān)注他們的思維過(guò)程.特別是在那些學(xué)生易錯(cuò)、易漏、不嚴(yán)謹(jǐn)、欠規(guī)范或?qū)χR(shí)的理解出現(xiàn)偏差或錯(cuò)誤的要害處，更要讓學(xué)生去體驗(yàn)，引導(dǎo)他們?nèi)ソ涣?、討論，在思維的碰撞中，讓錯(cuò)誤充分暴露，甚至有時(shí)可以將錯(cuò)就錯(cuò)、以錯(cuò)糾錯(cuò)，自然地達(dá)到“示錯(cuò)、知錯(cuò)、改錯(cuò)”的目的.必要時(shí)，教師可以加以點(diǎn)撥或評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)各種思路的優(yōu)劣，解法的長(zhǎng)短，和學(xué)生一起探求最優(yōu)解.這樣，學(xué)生在“動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口”的積極參與中得到體驗(yàn)、感悟.

5.2 重知識(shí)、更重能力

新課程理念強(qiáng)調(diào)“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”.對(duì)學(xué)生而言，有用的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是數(shù)學(xué)思維能力.因此在教學(xué)中不僅要重視知識(shí)的形成過(guò)程，還要在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生時(shí)，重視挖掘它所蘊(yùn)含的思想方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.重知識(shí)，主要表現(xiàn)在重知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，如基本不等式與柯西不等式間的聯(lián)系，不等式與函數(shù)、方程的聯(lián)系等.這樣，通過(guò)內(nèi)部的聯(lián)系，把握知識(shí)的本質(zhì)，并從中培養(yǎng)學(xué)生類比、抽象、概括等思維能力.

5.3 輕技巧、重通性通法

高考是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程和水平的檢驗(yàn)，現(xiàn)行的高考試卷計(jì)算量較大，要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，對(duì)有些學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定困難的，掌握一定的解題技巧也是有必要的.但是，技巧往往有一定的局限性，有時(shí)難以想到，沒(méi)有普適性.因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，我們更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去分析思維的起點(diǎn)與突破口.注重知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，講“套路”，更講“套路”背后所蘊(yùn)含的最基本的數(shù)學(xué)思想方法(如本題中所涉及到的消元的方法、函數(shù)與方程的思想、化歸的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等)，讓通性通法成為學(xué)生解題的“家常菜”.

5.4 尊重差異、關(guān)注個(gè)性

新課程理念倡導(dǎo)“建立新型的師生關(guān)系，教師要尊重學(xué)生間的差異，關(guān)注學(xué)生個(gè)性的發(fā)展”.如果說(shuō)例1中的前4種是“大眾化”的常規(guī)解法，可以讓所有學(xué)生都“吃得飽”，那么，后6種“高觀點(diǎn)”下的解法，則可以讓優(yōu)秀學(xué)生“吃得好”.這些“高觀點(diǎn)”下的視角和解法，有些是必修內(nèi)容的拓展，有些是選修內(nèi)容，還有些涉及到高等數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)大多數(shù)學(xué)生可不作要求，但對(duì)于那些感興趣的學(xué)生可以適當(dāng)“加餐”，或根據(jù)他們自己的愛(ài)好和需求，鼓勵(lì)他們來(lái)點(diǎn)“自助餐”.

浙江省新一輪課改加強(qiáng)了選修課程的地位，也正是基于“提供多樣課程，適應(yīng)個(gè)性選擇”這一理念，我們何不借課改的春風(fēng)，讓必修課程校本化多一點(diǎn)，讓選修課程特色化多一點(diǎn)，讓必修、選修課程一體化多一點(diǎn)呢？例如，針對(duì)那些喜愛(ài)數(shù)學(xué)或者今后想在理工科有關(guān)專業(yè)發(fā)展的學(xué)生，是不是可以嘗試開(kāi)設(shè)“高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)”、“奇思妙想的數(shù)學(xué)世界”等選修課呢？這樣，學(xué)生的興趣才能得以提高，個(gè)性才能得以彰顯，思維能力才能得以發(fā)展，我們的教學(xué)才能為學(xué)生的“終身學(xué)習(xí)、終身發(fā)展”奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

6 結(jié)束語(yǔ)

羅增儒教授曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)解題無(wú)禁區(qū)，數(shù)學(xué)教學(xué)有講究”.我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，有意積累知識(shí)環(huán)、方法鏈，讓知識(shí)環(huán)環(huán)相扣、方法鏈鏈相連，學(xué)生才可以做到舉一反三、觸類旁通，唯有如此，我們的教學(xué)才能減負(fù).重知識(shí)的建構(gòu)，更重思維的提升和能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生積極參與，把握知識(shí)的本質(zhì)，體味其蘊(yùn)含的思想方法，唯有如此，我們的教學(xué)才能“增效”.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的水平，更關(guān)注他們?cè)诨顒?dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀的變化，唯有如此，新課程理念才能落到實(shí)處.筆者認(rèn)為，這正是新形勢(shì)下數(shù)學(xué)教師應(yīng)努力追求的.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 王劍明.方程思想與判別式法[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(3):9-12.

[2] 李金興.2013年數(shù)學(xué)模擬卷(二)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(2):46-47.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2001.