避免因錯失分 提升解題能力
——高中數(shù)學易錯問題分析及教學應(yīng)對策略探討

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(高淳高級中學 江蘇高淳 211300)

據(jù)羅增儒先生《數(shù)學解題學引論》認為，數(shù)學教學離不開解題，沒有解題的數(shù)學教學是不完整的．數(shù)學習題教學是以學生為主體，依照或模仿例題，將自己學過的數(shù)學知識應(yīng)用到解決數(shù)學問題的實踐性活動中．高中學生面臨著高考的升學壓力，可以說分分必爭，因此高中數(shù)學解題教學就顯得尤為重要．筆者發(fā)現(xiàn)，在日常的教學中，很多學生平時喜歡攻難題，覺得它能體現(xiàn)自己的數(shù)學學習能力，有成就感，而對中檔題、簡單題漠不關(guān)心，總覺得自己會做，沒有挑戰(zhàn)性．結(jié)果在考試中卻常常因為簡單題、中檔題失分，致使總分不能與自己的實力相匹配，產(chǎn)生懊惱情緒，想改變，又不知從何處著力．筆者整理學生平時易犯的錯誤，并作必要分析解讀，嘗試提出應(yīng)對策略，以期能引起同行重視，幫助學生減少中低檔題的失分．

1 學生解題錯誤原因分析

解題是對問題中所含信息的提取、組織、加工的過程，是對已有知識、經(jīng)驗的綜合應(yīng)用過程．總的來說，學生在解題中出現(xiàn)的主要錯誤是陳述性知識錯誤和程序性錯誤．

1．1 陳述性知識錯誤

陳述性知識，也叫“描述性知識”．它是指個人具有有意識地提取線索，而能直接加以回憶和陳述的知識．主要用來說明事物的性質(zhì)、特征和狀態(tài)，用于區(qū)別和辨別事物．這種知識具有靜態(tài)的性質(zhì)．陳述性知識要求的心理過程主要是記憶．陳述性知識錯誤主要表現(xiàn)為沒有正確理解題意即審題不清，對已有的知識(概況、定理、公式、法則等)沒有完全掌握．具體表現(xiàn)為：

(1)數(shù)學概念理解不到位.

例1已知α是第一象限角，那么3α是第幾象限角？

剖析缺少周期概念．

剖析不能區(qū)分象限角和軸線角的概念．

錯誤寫成“(-∞，1)∪(1，+∞)”的形式．

剖析單調(diào)性定義中要求單調(diào)區(qū)間必須是定義域中的某個區(qū)間，“某個區(qū)間”是單調(diào)性定義的核心要素之一，很多學生沒有認清．

(2)命題的等價性理解不到位.

錯誤b=-1，c=3或b=1，c=-1，很多學生不檢驗取舍．

剖析很多學生對于命題“若f(x)在x=x0處取得極值，則f′(x)=0”為真，其逆命題“若f′(x)=0，則f(x)在x=x0處取得極值”為假理解不到位，隨意認同原命題與逆命題同真假．

(3)定理條件易疏漏.

例4命題:(1)若l⊥β，且α⊥β，則l∥α；(2)若α∩β于直線l，且l∥m，則l∥α．

錯誤多數(shù)學生認為它們是正確的．

剖析忽視了證明線面平行的條件之一是線必須不在面內(nèi)．

(4)解方程時隨意約去字母.

剖析很多學生主元意識和因式分解意識不強，特別是因式分解意識極其淡薄.本題如能想到提取公因式解方程，錯誤就會避免．

(5)數(shù)學符號表達不規(guī)范.

例6終邊落在直線y=-x上的角的集合可以表示為______．

剖析對集合描述法各處符號意義理解不清，適用范圍掌握不到位．

1.2 程序性知識混亂

程序性知識是個人沒有有意識提取線索，只能借助某種作業(yè)形式間接推論其存在的知識．程序性知識是關(guān)于“怎么辦”的知識.學生程序性知識混亂具體表現(xiàn)為以下幾種狀況．

(1)端點意識不強.

例7若函數(shù)f(x)=loga(1-ax)在x∈(1，2)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．

剖析問題轉(zhuǎn)化為減函數(shù)t(x)=1-ax>0在x∈(1，2)上恒成立，很多學生寫成1-a·2>0，在端點上出錯，功虧一簣．如果在解題中對端點值進行檢驗，則可避免錯誤．

(2)分析角范圍的意識不強.

錯誤因為α，β均為銳角，所以α+β∈(0，π)，產(chǎn)生2個解．

剖析三角求值、求角中對于角范圍的分析十分重要，解題程序中就要根據(jù)已知角的函數(shù)值來估算角范圍的步驟，只不過多數(shù)學生沒有意識到．

(3)三角變形和代數(shù)變形不能相互利用.

例9求證：

錯誤多數(shù)學生三角變形為先，結(jié)果計算復雜，深陷其中．

剖析三角變形從屬于代數(shù)變形(提取公因式，因式分解等)，解題程序中應(yīng)互相利用，不能顧此失彼．

(4)分類討論混亂.

例10已知函數(shù)f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(其中a為常數(shù))．當a>0時，討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0，1)上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

錯誤很多學生不能理清問題實質(zhì)，從而導致分類討論不全或錯誤．

剖析很多學生不清楚求導后需要干什么，屬于對基本程序求導后轉(zhuǎn)化為分析方程f′(x)=0根的問題，根據(jù)根的有無、大小比較確定f′(x)的符號，對分類的標準認識不到位．

(5)方程思想理解不深.

例8已知直線y=kx是y=lnx的切線，則k=______．

剖析多數(shù)學生方程意識不強，對設(shè)出幾個未知量就需列幾個獨立方程的解題程序認識不清．

2 課堂解題教學策略

2.1 注重概念、定理、法則、公式的教學

高中數(shù)學課程標準要求：理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊含的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用．通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程．因此在平時學習過程中，教師對每一個概念、定理、法則、公式都要理清前因后果、內(nèi)在聯(lián)系，揭示其本質(zhì)和蘊含的數(shù)學思想方法．同時打破章節(jié)局限，對知識重新組合進行變式訓練，提升陳述性知識應(yīng)用上的活力．

2．2 注重提升數(shù)學思維能力的教學

數(shù)學是一門思維科學，思維能力是數(shù)學學科能力的核心．數(shù)學思維能力是以數(shù)學知識為素材，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明的模式建構(gòu)等，對客觀事物中的空間形式、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學模式進行思考與判斷，形成和發(fā)展理性思維，構(gòu)成數(shù)學能力的主體．提高數(shù)學思維能力的關(guān)鍵在于掌握數(shù)學思維方法．數(shù)學思維方法包括分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹、類比與猜想、一般化與特殊化等．因此在解題過程中，要充分暴露學生解題的思維過程，突出解題中的探索環(huán)節(jié)及解題方法被發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學生解題思維中的調(diào)控能力．這要求教師從學生的思維角度出發(fā)，將解題思路精心設(shè)計成符合學生認知結(jié)構(gòu)特點的帶有選擇的思維過程．注重學生解題的程序性知識構(gòu)建．

2.3 注重學生自主糾錯反思的教學

為了應(yīng)試，很多教師對學生不放心，凡題都講精、講細、講透，沒有給學生留下自由思考的空間．這樣就束縛了學生思維的發(fā)展，自主學習，合作探究就成了一句空話．因此對于學生的解題錯誤，教師可以先讓學生自查、自糾，并分析反思、討論講解錯誤的原因，然后引導其歸納總結(jié)．這樣就有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、分析及解決問題的能力，激發(fā)學生的學習熱情，最大限度地挖掘每個學生的潛能．

參 考 文 獻

[1] 羅增儒．數(shù)學解題學引論[M]．西安：陜西師范大學出版社，2004．

[2] 陳輝．考試力:高中數(shù)學[M]．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2008.