基本功顯內(nèi)力 創(chuàng)造力解新題
——例析導(dǎo)數(shù)背景下如何證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題

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(黃陂一中盤(pán)龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題背景下證明含有正整數(shù)的不等式問(wèn)題，一般都設(shè)置有幾個(gè)小題，最后證明不等式.這類問(wèn)題一般可以用數(shù)學(xué)歸納法或者不等式適當(dāng)放縮進(jìn)行證明.命題者通常還有一個(gè)重要意圖是利用前幾個(gè)小題中已經(jīng)得出的結(jié)論，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，把函數(shù)中的變量x用含有n的式子進(jìn)行替換，再通過(guò)適當(dāng)變形證明不等式.但是如何替換及變形對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，應(yīng)該怎樣突破呢？下面歸類分析,幫助學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題.

1 證明含有二元正整數(shù)的不等式

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

分析(1)a=1.

(2)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，(1,+∞)．

亦即

得

因?yàn)閙>n>1，由第(2)小題可知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以

g(m)>g(n)，

即

點(diǎn)評(píng)含2個(gè)變?cè)牟坏仁?，通過(guò)變形(2邊取對(duì)數(shù)、取倒數(shù)等)，把它變形為一個(gè)函數(shù)f(x)背景下2個(gè)函數(shù)值的大小f(m)≥f(n)(或f(m)≤f(n))形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.

2 證明含有一元正整數(shù)的不等式

2.1 直接替換，再求和

(1)當(dāng)a=2時(shí)，試比較f(x)與1的大??；

分析(1)當(dāng)a=2時(shí)，

①當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>1；

②當(dāng)0

③當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1．

(2)根據(jù)第(1)小題的結(jié)論，當(dāng)x>1時(shí)，

即

從而

又

于是

點(diǎn)評(píng)含有一元正整數(shù)不等式的證明，且是求和形式，可聯(lián)想

2.2 替換，放縮，再求和

分析(1)實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,2].

(2)由第(1)小題，當(dāng)x≥1時(shí)，

即

從而

將以上不等式2邊分別相加，得

但與所證結(jié)果有“距離”，再?gòu)挠疫呌^察推理，需將替換后的式子進(jìn)行一次放縮，即

再2邊求和，不等式得證.

2.3 “巧”替換，“活”變形，再求和

例4已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(其中a>0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)在第(2)小題的條件下，證明：

分析(1)f(x)的最小值為

f(lna)=elna-alna-1=a-lna-1.

(2)f(x)≥0對(duì)任意的x∈R恒成立,即在x∈R上，f(x)min≥0，易得a=1.

(3)由第(2)小題知，因?yàn)閍=1，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有

ex-x-1≥0，

即

1+x≤ex.

得

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1,

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1+1=

此時(shí)“順序顛倒”著出現(xiàn)結(jié)果，不等式得證.

2.4 替換，變形，添(減)項(xiàng)

(1)用a表示b，c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題)

解得

其中x≥1，當(dāng)x=1時(shí)取到等號(hào).當(dāng)x>1時(shí)，

即

依次令k=1,2，3,…，n,得

…

各式相加得

原不等式得證.

2邊求和得到不等式

2.5 執(zhí)果索因，恰當(dāng)替換，“活”變形，“巧”構(gòu)造

例6已知函數(shù)g(x)=x2-(2a+1)x+alnx.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(3)在第(1)小題的條件下，設(shè)f(x)=g(x)+4x-x2-2lnx，證明：

(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693 1.)

(2)函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增，則a≤1.

由x∈[2,+∞)，h′(x)<0,得

即

又

k-f(k)=lnk，

此時(shí)右邊如何得到是難點(diǎn).從要證明的結(jié)果分析，要“善”變形，如

也即

“巧”構(gòu)造函數(shù)

2.6 “靈活”變形，“恰當(dāng)”賦值，“疊加”求和

例7設(shè)n是正整數(shù)，r是正有理數(shù).

(1)求函數(shù)

f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1

(其中x>-1)的最小值；

(2)證明：

(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題)

分析(1)f′(x)= (r+1)(1+x)r-(r+1)=

(r+1)[(1+x)r-1],

從而f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得

f(x)min=f(0)=0.

(2)由第(1)小題知：當(dāng)x>-1時(shí)，

(1+x)r+1>(r+1)x+1(伯努利不等式),

所證不等式即為

若n≥2,則

nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1,

從而

(1)

因?yàn)?/p>

所以

故式(1)成立.

若n=1,則nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1顯然成立.由

nr+1+(r+1)nr<(n+1)r+1，

得

(2)

因?yàn)?/p>

所以

故式(2)成立.原不等式成立.

(3)由第(2)小題可知：當(dāng)k∈N*時(shí)，

210.225,

210.9,

于是

[S]=211.

再用疊加法求和.

在導(dǎo)數(shù)背景下含正整數(shù)的證明問(wèn)題，作為壓軸題其解答方法雖然很多，但是在高考中能新穎別致、頗具創(chuàng)意地完整解答的學(xué)生很少，大部分學(xué)生會(huì)采用通性通法.壓軸題的命題思路，往往是環(huán)環(huán)相扣，“遞進(jìn)”式設(shè)問(wèn)，既能考查學(xué)生的功力，又能考查學(xué)生的靈性,讓優(yōu)秀的學(xué)生能脫穎而出.但是在高考有限時(shí)間內(nèi)真正能做對(duì)做全的學(xué)生極少，學(xué)生常常在關(guān)鍵位置“迷路”.因此教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)壓軸題的研究，幫助學(xué)生逐步掌握解答壓軸題的策略，學(xué)生也就不會(huì)望而生畏，更不會(huì)果斷放棄.學(xué)生在平時(shí)的備考復(fù)習(xí)中要增強(qiáng)信心，多思考、多積累，從而提高壓軸題的得分率.