函數(shù)思想在解不等式中的應(yīng)用

葉昌輝

〓〓對(duì)于解不等式討論最多的是求最值問(wèn)題、含參數(shù)不等式恒成立等問(wèn)題，實(shí)際上求解含參數(shù)不等式里包括不少的求最值問(wèn)題，有不少的數(shù)學(xué)教學(xué)工作者結(jié)合實(shí)例總結(jié)了多種求解方法與技巧.對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立，確定參數(shù)取值范圍的這一類(lèi)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題涉及的知識(shí)面較廣，綜合性較強(qiáng)，同時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言比較抽象，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)思想的數(shù)學(xué)思想方法，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解，既能解決問(wèn)題又能減少運(yùn)算量.

〓〓因而，求含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問(wèn)題、二次函數(shù)問(wèn)題、求函數(shù)的最值問(wèn)題.

〓〓一、利用一次函數(shù)性質(zhì)解不等式

〓〓對(duì)于一些不等式，我們可以通過(guò)變形將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后再運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求解.一次函數(shù)fx=kx+bk≠0的性質(zhì)fx＞0在［a,b］上恒成立?圳fa＞0fb＞0.

〓〓例：對(duì)一切p∈［-2,2］，不等式log22x+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

〓〓分析：若直接解關(guān)于x的不等式，再利用p∈［-2,2］求x的取值范圍，顯然相當(dāng)復(fù)雜.但仔細(xì)觀察后，發(fā)現(xiàn)通過(guò)恒等變后，再利用一次函數(shù)性質(zhì)，問(wèn)題將得解.

〓〓解：令f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2，由題意知f(p)＞0，在p∈［-2,2］上恒成立，則有f(-2)=-2log■x-1+log■x-12＞0,f(2)=2log■x-1+log■x-12＞0,?圯log■x＞3或log■x＜-1，?圯x＞8或0＜x＜■,所以，x的取值范圍為（0，■）∪(8,+∞).

〓〓本題容易因思維定勢(shì)常把原不等式視為關(guān)于log■x的二次不等式，用分類(lèi)討論解答，過(guò)程相當(dāng)繁雜.如果能注意觀察log■x與p的關(guān)系，結(jié)合常量與變量的轉(zhuǎn)化思想，把p變?yōu)橹髟?，log■x變?yōu)閰?shù)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一元一次不等式問(wèn)題，通過(guò)函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)f(p)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題，簡(jiǎn)單易解.

〓〓二、利用二次函數(shù)性質(zhì)解不等式

〓〓例：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m+1)x+3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

〓〓分析：以上不等式恒成立，首先考慮利用不等式恒為正的充要條件，并對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類(lèi)討論.

〓〓解：（1）當(dāng)m2+4m-5=0時(shí)，解得m=1或m=-5. 顯然，m=1時(shí)，符合條件；m=-5不符合條件.

〓〓（2）當(dāng) m2+4m-5≠0時(shí)，由二次函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得

m2+4m-5>0,?駐=16m-12-12 m2+4m-5<0,解得1

〓〓在本題中往往會(huì)忽略二次系數(shù)為零的情況，直接當(dāng)作一元二次不等式來(lái)求解，從而導(dǎo)致失解、漏解的情況出現(xiàn)，應(yīng)引起重視.

〓〓三、利用函數(shù)最值解不等式

〓〓通過(guò)變形將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，我們常用的策略和方法有：分離參數(shù)法、變更主元法、分類(lèi)討論法、二次函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性法等.

〓〓例：若對(duì)于x∈［2，2］，mx2-mx-6+m<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

〓〓解析：若f(x)=mx2-mx-6+m<0，即m(x2-x+1)<6在x∈［2，2］時(shí)恒成立.又x∈［2，2］時(shí)，x2-x+1∈［■，7］，即x2-x+1>0，所以原不等式等價(jià)于m<■恒成立，即m<(■)min .又■≤■≤8， 所以(■)min=■，所以m<■. 所以m的取值范圍為（-∞，■）.

〓〓在含參數(shù)的不等式恒成立的問(wèn)題中，若能將所求參數(shù)與自變量分離出來(lái),則可以借助于求函數(shù)的最值,解出參數(shù)的范圍.

責(zé)任編輯〓羅〓峰