與三角形有關(guān)的競(jìng)賽題分類探究

● (鎮(zhèn)海蛟川書院 浙江寧波 315201)

三角形是最基本的幾何圖形之一，平面幾何中的許多問(wèn)題往往可歸結(jié)于三角形問(wèn)題進(jìn)行解決.三角形知識(shí)因其基礎(chǔ)性強(qiáng)、起點(diǎn)低、能夠靈活地融入到其他知識(shí)中去，一直受到命題者的青睞,因此熟練掌握三角形邊角關(guān)系、全等三角形與特殊三角形的性質(zhì)和判定及應(yīng)用，對(duì)于解決線角的相等、不等以及和差等數(shù)量關(guān)系，研究平行、垂直等位置關(guān)系很有必要.筆者以其在初中競(jìng)賽中的常見類型進(jìn)行分類，擬對(duì)這類問(wèn)題的常見解法作一些探討.

1 三角形邊角關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題

三角形的3條邊相互制約，3個(gè)內(nèi)角之和為定值，邊與角之間有密切的聯(lián)系，如三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，大角對(duì)大邊、大邊對(duì)大角等，它們?cè)诰€段與角度的計(jì)算、圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用．

1.1 借助于三角形角的關(guān)系解題

例1已知銳角△ABC的3個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足：A>B>C，用α表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，則α的最大值為______.

解因?yàn)棣?min{A-B,B-C,90°-A},所以

α≤A-B,α≤B-C,α≤90°-A,

從而 6α≤ 2(A-B)+(B-C)+3(90°-A)=

270°-(A+B+C)=90°,

于是

α≤15°.

當(dāng)且僅當(dāng)A=75°,B=60°,C=45°時(shí)滿足題設(shè)條件，此時(shí)α可取得最大值15°.

評(píng)注角是幾何中最活躍的元素，與角相關(guān)的知識(shí)十分豐富.在三角形中，內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理、等腰三角形2個(gè)底角相等，利用這些獨(dú)特的等量關(guān)系可以找到角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關(guān)系.

1.2 借助于三角形三邊關(guān)系解題

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解依題意得

由式(1)得

b>c-a，

化簡(jiǎn)得

a2-3ac+c2<0，

2邊同除以c2，得

從而

1.3 借助于邊角關(guān)系靈活解決綜合問(wèn)題

例3閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問(wèn)題：

老師：我們新定義一種三角形，2邊平方和等于第3條邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

小華：等邊三角形一定是奇異三角形！

(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題是真命題還是假命題？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a.若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c.

圖1

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

(2011年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

(1)真命題(過(guò)程略).

(3)①證明設(shè)⊙O的半經(jīng)為R，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以

∠ACB=∠ADB=90°.

從而

又因?yàn)锳C2+BC2=AB2，BC=CE,所以

圖2

故△ACE是奇異三角形.

②解如圖2，△ACE是直角三角形.

若∠ACE=90°，則點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意.

若∠AEC=90°，則AE2+CE2=AC2.

當(dāng)AC2+CE2=2AE2時(shí)，AE2=2CE2,從而

即

AB=2BC,

于是

∠BAC=30°，

因此

∠AOC=120°.

當(dāng)AC2+AE2=2CE2時(shí),CE2=2AE2,從而

即AB=BC，不合題意.

若∠CAE=90°，則AE2+AC2=CE2.

當(dāng)CE2+AC2=2AE2時(shí),AE2=2AC2,從而

即

AB=2AC，

于是

∠ABC=30°，

因此

∠AOC=60°.

當(dāng)CE2+AE2=2AC2時(shí),AC2=2AE2,從而

即AC=AB，不合題意.

綜上所述，∠AOC=120°或∠AOC=60°.

評(píng)注試題以新定義的“奇異三角形”為背景，成功地跳出勾股定理的局限.新穎活潑的對(duì)話情景將等邊三角形、直角三角形、圓等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容巧妙地融合起來(lái).問(wèn)題解決從三角形邊和角的關(guān)系入口，綜合運(yùn)用分類、代數(shù)的變形和銳角三角函數(shù)，起點(diǎn)低、落點(diǎn)高，學(xué)生經(jīng)歷了模仿、辨析、應(yīng)用3個(gè)環(huán)節(jié)，凸現(xiàn)了問(wèn)題解決的全過(guò)程.

2 三角形“四心”的相關(guān)問(wèn)題

三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡(jiǎn)稱“四心”)是新頒發(fā)的《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》特別加強(qiáng)的內(nèi)容，與四心有關(guān)的幾何問(wèn)題涉及知識(shí)面廣、難度大、應(yīng)用的技巧性強(qiáng)、方法靈活，是考查學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型.

2.1 借助于垂心的性質(zhì)解題

例4已知銳角△ABC的頂點(diǎn)A到垂心H的距離等于它的外接圓半徑，則∠A的度數(shù)是

( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

圖3

解如圖3，銳角△ABC的垂心H在三角形的內(nèi)部，設(shè)△ABC的外心為O，D為BC的中點(diǎn)，BO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)CE,AE,從而CE∥AH,AE∥CH，則

OB=AH=CE=2OD，

于是 ∠OBD=30°，∠BOD=60°，

因此

∠A=∠BOD=60°.

故選C.

評(píng)注三角形3條高線所在直線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.由于垂足位置的不確定性，遇到高線時(shí)常用的思想方法是分類討論、構(gòu)造相似三角形、四點(diǎn)共圓等.

2.2 借助于內(nèi)心的性質(zhì)解題

例5在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長(zhǎng)為______．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解答過(guò)程參見本刊2014年第7期第15頁(yè).

評(píng)注三角形3條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心.由于角平分線的軸對(duì)稱性，遇到內(nèi)心問(wèn)題時(shí)的解法有構(gòu)造對(duì)稱圖形、作高線、面積法等.

2.3 借助于重心性質(zhì)解題

例6我們知道，三角形的3條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質(zhì)，如有關(guān)線段比、面積比就有一些“漂亮”的結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題.請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題：

圖4 圖5

圖6

(2013年四川省綿陽(yáng)市數(shù)學(xué)中考試題)

(1)證明由△OPD∽△OCA，得

從而

即

(3)解如圖6，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O分別作AB,AC的平行線OM,ON，分別與AC,AB交于點(diǎn)M,N.因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，所以

在△ABE中，由OM∥AB知

即

同理可得

在△AGH中，由OM∥AG知

同理可得

從而

即

亦即

mn-1=(3-n)n-1=-n2+3n-1=

評(píng)注三角形3條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心.解題時(shí)涉及到中線、比例、面積等多種知識(shí)，往往入口寬、方法多、綜合能力要求很高，在各類競(jìng)賽中頻繁出現(xiàn).

2.4 借助于外心性質(zhì)解題

例7設(shè)△ABC的外心，垂心分別為O,H，若點(diǎn)B,C,H,O共圓，則對(duì)于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數(shù)．

解答過(guò)程參見本刊2014年第7期第14頁(yè).

評(píng)注三角形3條邊的垂直平分線(中垂線)的交點(diǎn)叫三角形的外心.外心問(wèn)題常與中點(diǎn)、垂直相聯(lián)系，由于外心的位置與三角形的形狀有關(guān)，因此分類討論是常用的思想方法.本例從外心過(guò)渡到重心，很是自然.

3 與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題

平面幾何學(xué)的產(chǎn)生起源于人們對(duì)土地面積的測(cè)量，面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念，聯(lián)系著幾何圖形中的重要元素——邊與角，而以三角形為載體的面積問(wèn)題尤為常見.計(jì)算圖形的面積是幾何中一種常見的問(wèn)題，求三角形面積的基本方法有：直接法、割補(bǔ)法、等積法、等比法等.

3.1 借助于方程模型直接解題

例8如圖7,△ABC的面積是1,AD=DE=EC,BG=GF=FC，求陰影四邊形MNFG的面積.

解(1)先求四邊形FNEC的面積.設(shè)S△FNC=x,S△ECN=y,則

S△BNC=3x,S△ANC=3y.

即

故

圖7 圖8

(2)再求△BGM的面積.如圖8，聯(lián)結(jié)MC.設(shè)S△BGM=u，S△MEC=v,則

S△CGM=2u，S△MAC=3v,

從而

式(5)×3-式(6)，得

即

故

評(píng)注通過(guò)方程模型解決面積問(wèn)題是一個(gè)銳利武器，一般思路為：設(shè)元，在圖形中找等量關(guān)系列方程并求解，從而使面積問(wèn)題迎刃而解.

圖9

3.2 借助于等積模型解題

例9如圖9，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖9中陰影部分的面積為

( )

A.3 B.4 C.6 D.8

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解聯(lián)結(jié)CE，因?yàn)镈E//CF，所以S△DEB=S△DEC，因此陰影部分的面積等于△ACE的面積．聯(lián)結(jié)AF，由EF∥CD，知S△ACE=S△ACF，又因?yàn)锽C=4CF，所以S△ABC=4S△ACF．故陰影部分的面積為6．

評(píng)注常見等積模型：(1)等底等高的2個(gè)三角形面積相等；(2)2個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比，2個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；(3)夾在一組平行線之間的等積變形，如圖10，若AB∥CD,則S△ACD=S△BCD，反之，若S△ACD=S△BCD，則AB∥CD．在利用等積模型時(shí)，如何選擇“中間橋梁”是關(guān)鍵.

圖10 圖11

3.3 借助于等比定理解題

例10如圖11，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP，CP，AP的延長(zhǎng)線分別與AC，AB，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，D.考慮下列3個(gè)等式：

其中正確的有

( )

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)

解(1)正確，理由：

(2)正確，理由：

(3)正確，理由：

故選D.

評(píng)注此例極為經(jīng)典，囊括了燕尾定理、梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡(jiǎn)稱梅氏定理)等的探究過(guò)程，因涉及到的等比定理等知識(shí)均屬于初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，適當(dāng)拓展，很是有趣.

4 構(gòu)造圖形解決三角形綜合性問(wèn)題

4.1 構(gòu)造全等三角形解題

例11如圖12，在△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，聯(lián)結(jié)AN,CM交于點(diǎn)P.試求∠APM的度數(shù)，并寫出推理證明的過(guò)程.

(2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

天津賽區(qū)試題)

證明過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線MD，使MD=CN，聯(lián)結(jié)DA,DN，則四邊形MDNC是平行四邊形，從而△DMA≌△MBC，于是DA=MC，而MC=DN，故DN=DA.因?yàn)椤螦DN=90°，所以∠AND=45°，利用MC∥DN，得∠APM=∠AND=45°.

評(píng)注當(dāng)現(xiàn)有圖形的任何2個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系時(shí)，則需要添置輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).常見策略有：已知角平分線，可利用軸對(duì)稱構(gòu)造全等三角形；已知中點(diǎn)，可利用中心對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形；已知特殊角度，可旋轉(zhuǎn)特殊角度構(gòu)造全等三角形.

圖12 圖13

4.2 構(gòu)造對(duì)稱圖形解題

例12在△ABC中，已知∠CAB=60°，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE,則∠DCB=

( )

A．15° B．20° C．25° D．30°

(2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解如圖13，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=ED，聯(lián)結(jié)CF，EF．因?yàn)椤螮AB=∠AED=60°，所以

∠EDA=60°,∠EDB=∠CED=120°.

由AD=AE=ED=BF,知

CE=ED+DB=DB+BF=DF，

于是

AC=AF，∠ACF=∠AFC=60°.

又因?yàn)椤螮DB=120°，∠CDB=2∠CDE，所以

∠CDE=40°,∠CDB=80°,

∠ECD=180°-∠CED-∠EDC=20°.

在△CDA和△CBF中，

CA=CF，∠CAD=∠CFB=60°，AD=BF，

從而

△CDA≌△CBF，

于是

∠FCB=∠ACD=20°．

故

∠DCB=60°-∠CDE-∠FCB=20°．

評(píng)注當(dāng)證明相等的2條線段或2個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則需根據(jù)圖形的軸對(duì)稱性或其他對(duì)稱性質(zhì)，先證明別的2個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.

圖14

4.3 構(gòu)造等邊三角形解題

例12如圖14，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則CD的長(zhǎng)為

( )．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解如圖14，以CD為邊作等邊△CDE，聯(lián)結(jié)AE，可得△BCD≌△ACE，從而BD=AE.因?yàn)椤螦DC=30°，所以∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AE=5,AD=3,故

所以

CD=DE=4.

評(píng)注對(duì)于某些幾何題，尤其是條件中出現(xiàn)或隱含著60°或120°的幾何題，利用構(gòu)造等邊三角形的方法，可找到簡(jiǎn)捷的解題途徑.

與三角形有關(guān)的競(jìng)賽題類型多、難度大、思維要求高，但只要我們夯實(shí)基礎(chǔ)，拓寬思路，關(guān)注知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，熟練運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化、化歸等思想和方法，必能有章可循.