一道德國(guó)奧林匹克賽題的再探究

● (雙林中學(xué)高三(7)班 浙江湖州 313012)

題目求最小的常數(shù)c,使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x,y，有

1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).(1)

(2008年德國(guó)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

文獻(xiàn)[1]中著重研討了式(1)解法的思維形成過(guò)程，與學(xué)生的思維有較大差距.下面是筆者的思路和想法，請(qǐng)廣大師生批評(píng)指正.

1 解法探究

筆者利用二次函數(shù)的恒等問(wèn)題嘗試求解這道賽題：

解式(1)? (1+x2)(1+y2)+2xy-(xy)2≤c(1+x2)(1+y2)?

2xy-(xy)2≤(c-1)(1+x2)(1+y2).

(2)

因?yàn)槭?2)的左邊可以取正值，所以c>1.注意到式(2)是關(guān)于x,y的對(duì)稱式，利用基本不等式

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時(shí),等號(hào)成立)，把式(2)右邊“縮小”為

(c-1)(1+x2)(1+y2)≥(c-1)(1+xy)2

(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立),于是式(2)恒成立只需

2xy-(xy)2≤(c-1)(1+xy)2(3)

恒成立(當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立)，即c(xy)2+2(c-2)xy+(c-1)≥0恒成立(當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立).于是

Δ=4(c-2)2-4c(c-1)≤0(其中c>1),

2 自然推廣

文獻(xiàn)[1]還建立了如下的推廣：

推廣1已知0

m+(x+y)2≤(n+x2)(n+y2).

筆者順應(yīng)“二次函數(shù)恒等問(wèn)題”的思維方式，順利獲得如下更一般的探究：

推廣2已知m>0,n>0,求最小常數(shù)c，使得對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,y，有

m+n(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).(4)

解將式(4)化為 (m+n)+2nxy-n(xy)2≤(c-n)(1+x2)(1+y2),

(5)

注意到式(5)的左邊=m-n(1-xy)2(其中m>0,n>0)可以取正值，知c>n.因此，要使式(5)恒成立只需

m-n+2nxy-n(xy)2≤(c-n)(1+xy)2(6)

恒成立(當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立)，即

c(xy)2+2(c-2n)xy+c-m≥0(7)

恒成立(當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立).于是

Δ=4(c-2n)2-4c(c-m)≤0(其中c>n)

解得

若m≥2n>0，則應(yīng)把思維退回到“原點(diǎn)”:在式(4)中，令極端值x=y=0，得c≥m.而當(dāng)c≥m(≥2n)時(shí)，式(4)的右邊≥m(1+x2+y2)=m+m(x2+y2)≥m+2n(x2+y2)≥m+n(x+y)2=式(4)的左邊,故所求的cmin=m.

由此，我們獲得了文獻(xiàn)[1]中“推廣”的推廣(即推廣2)與以下完備性結(jié)論：

定理已知m>0,n>0，且常數(shù)c使得對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,y，都有

m+n(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2)，

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 李歆.一道不等式題的探究[J].數(shù)學(xué)通訊：上半月，2013(11/12):108-110.