浙江省近6年高考數(shù)學(xué)試題的深度解讀與展望

● (余杭高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

在浙江、山東、廣東、江蘇、貴州等多地市就高考備考、課堂教學(xué)、教師專業(yè)發(fā)展等方面作學(xué)術(shù)講座、觀摩課幾十場(chǎng)次，在浙江電視臺(tái)教學(xué)相關(guān)欄目做2010年高考考前指導(dǎo).主編(編審)《優(yōu)化方案》、《三維設(shè)計(jì)》、《世紀(jì)金榜》等高三復(fù)習(xí)用書(shū)多本(部)，為多家雜志、報(bào)紙、一些地市的模擬考試編寫(xiě)試題上百套，兼任多家報(bào)紙、雜志的特約撰稿、特約編審等.

2009年浙江省開(kāi)始新課程下的高考，6年時(shí)間如白駒過(guò)隙，2015年起新一輪高考即將拉開(kāi)帷幕，回顧近6年浙江省數(shù)學(xué)高考試題，相信對(duì)認(rèn)識(shí)高考，特別是認(rèn)識(shí)浙江特色的高考，搞好以后的數(shù)學(xué)教與學(xué)將大有裨益.

1 近6年高考數(shù)學(xué)試題解讀

1.1 穩(wěn)中漸變，貼近學(xué)生實(shí)際

浙江省數(shù)學(xué)高考試題堅(jiān)持“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”，充分體現(xiàn)“以能力立意”的指導(dǎo)思想，符合《考試說(shuō)明》的各項(xiàng)要求，適合浙江省考生的實(shí)際水平，保持了命題的連續(xù)性、穩(wěn)定性和創(chuàng)新性.

1.1.1 題型結(jié)構(gòu)

從2007年始，浙江省數(shù)學(xué)高考試題在題型上一直保持“10+7+5”的形式，其中，解答題一般是一道題2個(gè)小題(以理科試題為例，只有2012年和2014年略有微調(diào)，其中，2012年第22題第(1)小題和2014年第19題第(2)小題都包含2個(gè)小題)，難度梯度遞進(jìn).經(jīng)過(guò)實(shí)踐證明題量是合適的，題型搭配比較合理，選擇題、填空題照顧知識(shí)覆蓋，解題靈活，解答題深度考查、全面檢測(cè)綜合素質(zhì)與能力.

1.1.2 難度結(jié)構(gòu)

試題總體難度相對(duì)穩(wěn)定，從表1可以看到，試題難度基本上穩(wěn)定在0.6左右，理論上，大型選拔性考試難度在0.55左右會(huì)有較好的區(qū)分度，但是，考慮到現(xiàn)在的招生規(guī)模、學(xué)生減負(fù)、社會(huì)現(xiàn)實(shí)等因素，0.6左右是各方面都可以接受的一個(gè)難度水平；理科試卷的難度相對(duì)文科要大，這是文科、理科數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀以及繼續(xù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)需要決定的.試題難度構(gòu)成上大致按照3∶5∶2的比例，個(gè)別年份有些波動(dòng)，一般在下一年會(huì)加以調(diào)整，如2009年理科試卷中容易題比例偏大(50%)，中檔題、難題比例偏低，在2010年的試卷中明顯得以調(diào)整.在試卷基本穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，上一年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也往往是下一年試卷難度調(diào)整的風(fēng)向標(biāo).

整張?jiān)嚲戆凑者x擇題、填空題、解答題呈現(xiàn)3個(gè)難度層次，在每種題型內(nèi)又各有難度臺(tái)階，整張?jiān)嚲沓尸F(xiàn)“分題把關(guān)”模式，一般在選擇題的第9，10題，試題難度會(huì)提升一個(gè)層次；填空題第16，17題，有一部分考生會(huì)感覺(jué)比較難上手，特別是第17題；解答題最后2個(gè)題目基本在一個(gè)“難度平臺(tái)”上，共同起到“壓軸題”的作用.

表1 2009～2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷難度情況統(tǒng)計(jì)一覽表

表1中μ表示試題所占分?jǐn)?shù)百分比.

1.2 全面考查，凸顯主干知識(shí)

從表2(為節(jié)省版面，此處只列出理科卷的考查內(nèi)容分布)中可以看出，近幾年的高考試卷在《考試說(shuō)明》要求的各個(gè)模塊上基本都有試題，具有較廣的覆蓋率，如復(fù)數(shù)、算法初步等內(nèi)容每年都會(huì)有1道試題，體現(xiàn)出“學(xué)什么考什么”的導(dǎo)向；同時(shí)，對(duì)支撐高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容突出考查，凸顯主干知識(shí)，為考生將來(lái)的發(fā)展奠定良好的學(xué)科基礎(chǔ)，如理科的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、立體幾何、解析幾何、概率等.文科中數(shù)列代替理科的概率內(nèi)容占有較大比重.

表2 2009～2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷考查內(nèi)容分布

1.3 立足課本，倡導(dǎo)通性通法

( )

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

( )

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析首先本案例是現(xiàn)行人教A版《必修4》第147頁(yè)復(fù)習(xí)題B組第8題的變式，“題在書(shū)外，根在書(shū)中”，顯示出高考命題規(guī)避復(fù)習(xí)資料、規(guī)避題型的命題導(dǎo)向，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更好地利用課本，在“減負(fù)增效”上下功夫，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).同時(shí)，立足通性通法是浙江省數(shù)學(xué)高考命題一直延續(xù)的特點(diǎn)，引導(dǎo)“題不在多，理解則靈”，體現(xiàn)反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)的意圖.本案例都可以求解的方法有回歸定義、“齊次化”、等差代換、合一變形等，這些都是解決此類問(wèn)題的“通法”.其中第2題還可以利用求導(dǎo)簡(jiǎn)潔求解，顯示了“特技”的效果.造成這種區(qū)別的原因是“形同質(zhì)異”，對(duì)于acosα+bsinα=c下求值，當(dāng)a2+b2=c2時(shí),“特技”就一定能使用，也就是說(shuō)“特技”是一定條件下的“通法”，是問(wèn)題“通性”下“個(gè)性”的充分挖掘、利用，是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的把握.所謂“通法”與“特技”是相對(duì)的，“通法”與“特技”不存在“鴻溝”，只是使用條件的差異、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的程度不同.

1.4 體現(xiàn)方法，全面檢測(cè)能力

數(shù)學(xué)思想方法屬于數(shù)學(xué)知識(shí)范圍，是程序性知識(shí)，是“怎么做”的問(wèn)題，較之事實(shí)性、概念性知識(shí)有更高的層次.數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況既是數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)的體現(xiàn)，又是能力強(qiáng)弱的表現(xiàn)之一，是中國(guó)數(shù)學(xué)教育特色之一.浙江省數(shù)學(xué)高考試題呈現(xiàn)以基礎(chǔ)為抓手，以思想方法為依托，全面考查數(shù)學(xué)能力的命題格調(diào)，命題手段不斷改進(jìn)，體現(xiàn)出鮮明的浙江特色.主要考查的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，這里選取2012年數(shù)學(xué)高考理科試題為例加以分析.

案例2設(shè)a∈R，若x>0時(shí)，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=______．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖1

表3 2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題對(duì)數(shù)學(xué)思想方法考查的量化分析

由表3可以看出：(1)按出現(xiàn)頻數(shù)從高到低依次是化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等.(2)高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查貫穿全卷.客觀題注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，同時(shí)又著眼于數(shù)學(xué)思想方法的考查;解答題在對(duì)數(shù)學(xué)思想方法考查的廣度與深度上都比客觀題更加突出.不同題型、不同位置的試題在考查思想方法類型與層次上明顯有層次、有梯度.(3)數(shù)學(xué)思想方法的考查以基礎(chǔ)知識(shí)為依托、以能力考查為目的.思想方法的考查和基礎(chǔ)知識(shí)的考查相結(jié)合，以思想方法指導(dǎo)知識(shí)的運(yùn)用，解題的思路在思想方法的指引下明晰、完整，解題的過(guò)程在思想方法的引導(dǎo)下優(yōu)化、流暢，或者簡(jiǎn)化運(yùn)算，或者明晰思路，或者化難為易、化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題得到更快、更簡(jiǎn)潔、更優(yōu)美的解決.基礎(chǔ)題靠知識(shí)，中檔題靠思想，難題靠能力，數(shù)學(xué)思想方法掌握情況可以反映出考生對(duì)數(shù)學(xué)的理解程度，體現(xiàn)考生的能力層次.

1.5 關(guān)注本質(zhì)，考查深度理解

數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，是高考數(shù)學(xué)命題的出發(fā)點(diǎn)之一.一般意義上，數(shù)學(xué)本質(zhì)包含數(shù)學(xué)基本概念、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)特有的理性思維方法以及數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)精神等.浙江省自主命題一直關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，不少試題注重從一個(gè)小問(wèn)題出發(fā)，力求說(shuō)明一個(gè)大觀點(diǎn)，體現(xiàn)一個(gè)大意境，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

案例3已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)k(其中k=1,2)，則

( )

A．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值 B．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

C．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值 D．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

分析數(shù)學(xué)是由概念、命題組成的邏輯系統(tǒng)，數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其屬性在思維中的反映，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的思想精華，它蘊(yùn)含了豐富的創(chuàng)新素材，是數(shù)學(xué)抽象性的基礎(chǔ)，是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的奠基石.正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式和掌握數(shù)學(xué)方法、提高解題能力的基礎(chǔ).考題年年新，概念是其根，變的是形式，不變的一定有對(duì)概念的考查.

本題考查函數(shù)極值、極值點(diǎn)、零點(diǎn)的概念以及指數(shù)、一次、二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，意在考查考生對(duì)概念的理解、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=(ex-1)(x-1)，明顯地，x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)01時(shí)，f(x)>0，根據(jù)極值的概念，x=1處取不到極值，排除選項(xiàng)A,B；當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=(ex-1)(x-1)2的一個(gè)零點(diǎn)是x=1，當(dāng)01時(shí)，都有f(x)>0，由極小值概念知在x=1處取到極小值.故選C.

涉及極值的問(wèn)題，有些學(xué)生習(xí)慣性地利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，心中只有“數(shù)”，目中不見(jiàn)“形”，盲目運(yùn)算的根源在于沒(méi)有概念指引，不能利用概念解題，其結(jié)果就是舍本逐末、事倍功半.掌握一個(gè)數(shù)學(xué)概念,不僅意味著文字、符號(hào)的記憶，更要理解概念的內(nèi)涵、外延，理解概念發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，要把握它的數(shù)量特征,又要把握它的幾何特征,“豐滿的”概念才能優(yōu)化解題思路,保證解題正確、快速.

1.6 關(guān)注差異，體現(xiàn)人文關(guān)懷

根據(jù)文、理科學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)水平，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)、發(fā)展的需求，文、理科數(shù)學(xué)考試一直存在著差異.如解答題通常：“姊妹題”選材，難度差異也很大，相同試題的素材主要集中在思維層次較低的知識(shí)上，如集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)運(yùn)算、三視圖、程序框圖；不同題，一方面是取自知識(shí)要求差異部分，比如理科的排列組合、二項(xiàng)式定理、隨機(jī)變量及其分布、空間向量與立體幾何等，另一方面是在相同知識(shí)載體上，設(shè)計(jì)不同思維層次、不同能力要求的試題，如圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等.

2 2015年高考展望

2.1 穩(wěn)定、創(chuàng)新是常態(tài)

從2004年浙江省開(kāi)始自主命題，命題思路、指導(dǎo)思想、命題技術(shù)至今都已相當(dāng)成熟，2015年的高考將遵循《(2012版)浙江省普通高中學(xué)科指導(dǎo)意見(jiàn)(數(shù)學(xué))》的各項(xiàng)規(guī)定，依照《考試說(shuō)明》實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡，當(dāng)然，有更多地創(chuàng)新值得期待，如壓軸題的命制，自選模塊中導(dǎo)數(shù)、概率等內(nèi)容的重新定位與命制等.

2.2 調(diào)整各板塊分?jǐn)?shù)，更加突出主干知識(shí)

各知識(shí)板塊所占分?jǐn)?shù)是大家高度關(guān)注的問(wèn)題之一.高考在各個(gè)知識(shí)板塊的分?jǐn)?shù)分配有一個(gè)基本原則，就是該知識(shí)板塊所占的課時(shí)百分比，然后在合理的范圍內(nèi)加以調(diào)整.根據(jù)2012版《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)》，相對(duì)2009～2014年的高考，各個(gè)知識(shí)板塊所占課時(shí)比都有較大變化，詳見(jiàn)表4、表5(※為選考或者選學(xué)不進(jìn)入高考內(nèi)容).

表4 2015年高考各知識(shí)板塊課時(shí)數(shù)、課時(shí)比情況對(duì)照(理科)

表5 2015年高考各知識(shí)板塊課時(shí)數(shù)、課時(shí)比情況對(duì)照(文科)

可以看出，調(diào)整后的考試內(nèi)容更加集中，主干知識(shí)的考查會(huì)更加突出，如理科的函數(shù)、立體幾何、解析幾何(直線與圓、圓錐曲線)、三角函數(shù)部分，分?jǐn)?shù)都應(yīng)該在25分以上，再考慮到這些內(nèi)容與其他知識(shí)的綜合，這些內(nèi)容的掌握情況在很大程度上會(huì)決定數(shù)學(xué)學(xué)科的考試情況；而文科由于課時(shí)相對(duì)更少，函數(shù)、解析幾何(直線與圓、圓錐曲線)、三角函數(shù)部分的分?jǐn)?shù)都可能會(huì)接近30分，立體幾何約占16分，掌握主干知識(shí)的重要性更加顯而易見(jiàn).相信新的高考試題依然堅(jiān)持“全面考查”的特色，主干知識(shí)考查的地位更加顯著.由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的退出，涉及函數(shù)部分的考查會(huì)更加強(qiáng)調(diào)函數(shù)的本質(zhì)，在考查的形式及難度把握上相信會(huì)遵循考試說(shuō)明要求，作為命題研究的一個(gè)重中之重，體現(xiàn)出新的特點(diǎn).

2.3 淡化特殊技巧，提倡通性通法

在社會(huì)一直關(guān)注“減負(fù)”的大背景以及中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的指引下，高考肯定會(huì)更加注重“通性通法”，引導(dǎo)扎實(shí)基礎(chǔ)、熟練通法，充分發(fā)揮課本的效能，不出偏、難、怪的試題，引導(dǎo)規(guī)避“題?！?、“題型”，給考生營(yíng)造公平的競(jìng)爭(zhēng)情境.

2.4 更加注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，體現(xiàn)思想方法的重要性，突出能力考查

近幾年的數(shù)學(xué)高考試題以基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查為載體，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)能力立意，重在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，反“題?！?、反“套路”，為考生提供公平情境是浙江卷一貫的風(fēng)格；試題具有較高的信度，既能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、心理品質(zhì)，也能對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生正確的導(dǎo)向．倡導(dǎo)數(shù)學(xué)理解，倡導(dǎo)教與學(xué)的方式改進(jìn)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的引導(dǎo)作用.教“題型”、授“套路”，可以“短、平、快”，在平時(shí)應(yīng)試中也可能屢試不爽，不過(guò)在規(guī)避題型的高考中就會(huì)“失效”.

2.5 注重試題的切合性、科學(xué)性

高考數(shù)學(xué)試卷穩(wěn)中求變是常態(tài)，試題變中求新理所當(dāng)然，只有新才能更好地發(fā)揮選拔作用.不過(guò)，試題在求新的同時(shí)，也會(huì)更加注意到考生的現(xiàn)實(shí)可能.在2014年的試卷中有諸如以上特點(diǎn)的試題達(dá)6～7題，對(duì)學(xué)生的閱讀理解、運(yùn)算求解勢(shì)必帶來(lái)極大障礙，影響不少考生的正常發(fā)揮；另如在2013年高考試題中出現(xiàn)的關(guān)于“線段”的爭(zhēng)議，在以后的命題中相信也會(huì)很好的規(guī)避.

2.6 增加應(yīng)用性考查

2014年填空題最后一題出現(xiàn)了一道“準(zhǔn)應(yīng)用題”，追溯上一次考查應(yīng)用題還是在2009年的填空題(峰谷電(分段函數(shù))問(wèn)題)，隨著課程改革的逐步深入，考查方式的靈活多變，必修內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)的減少，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，應(yīng)用題的考查也勢(shì)在必行.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐[M].北京：高等教育出版社，2005.2.

[2] 浙江省高考命題咨詢委員會(huì).2009浙江省高考命題解析(理(文)科數(shù)學(xué))[M].杭州：浙江攝影出版社，2009.12.

[3] 浙江省高考命題咨詢委員會(huì).2010浙江省高考命題解析(理(文)科數(shù)學(xué))[M].杭州：浙江攝影出版社，2010.12.

[4] 浙江省高考命題咨詢委員會(huì).2011浙江省高考命題解析(理(文)科數(shù)學(xué))[M].杭州：浙江攝影出版社，2011.12.

[5] 浙江省高考命題咨詢委員會(huì).2012浙江省高考命題解析(理(文)科數(shù)學(xué))[M].杭州：浙江攝影出版社，2012.12.

[6] “浙江省高考命題解析”叢書(shū)編委會(huì).2013浙江省高考命題解析(理(文)科數(shù)學(xué))[M].杭州：浙江攝影出版社，2014.1.

[7] 中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2003.4.

[8] 浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專業(yè)指導(dǎo)委員會(huì).浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)：數(shù)學(xué)，2012版[M].杭州：浙江教育出版社，2012.8.