2014年“北約”自主招生壓軸題的證明與推廣

● (常熟市中學(xué) 江蘇常熟 215500)

時(shí)光飛逝，轉(zhuǎn)眼間一年一度的高校自主招生選拔考試已落下帷幕.縱觀2014年“北約、華約、卓越”三大聯(lián)盟的自主招生考試數(shù)學(xué)試題，無(wú)論是在知識(shí)方法，還是在試卷難度與解題技巧上都在向數(shù)學(xué)高考的模式理性回歸.另外，在試題的命制上，三大聯(lián)盟所推出的數(shù)學(xué)選拔試題都同高考試題一樣，均遵循源于教材而高于教材的命題原則，且大大減少了高考以外的內(nèi)容，從而使2014年的自主招生試題更貼近考生，更能公正、公平、有效地選拔優(yōu)秀學(xué)生.正因如此，2014年三大聯(lián)盟的自主招生數(shù)學(xué)考試很接地氣，獲得了社會(huì)各界和廣大師生的一致好評(píng).同時(shí)，也為以后高校自主招生選拔考試引領(lǐng)了全新的方向.2014年“北約”自主招生數(shù)學(xué)考試的壓軸題就是一個(gè)源于教材而高于教材的不等式證明題.它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、內(nèi)涵豐富，對(duì)學(xué)生的思維能力和代數(shù)推理能力提出了較高的要求，很好地起到了“北約”試題的選拔功效.以下筆者將給出該優(yōu)美試題的7種證法并作推廣，供讀者在學(xué)習(xí)和研究時(shí)參考.

試題呈現(xiàn)若n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1，求證：

(2014年“北約”聯(lián)盟理科試題第10題)

因此當(dāng)n=2時(shí)，命題也成立.

(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)x1,x2,…,xk滿足x1x2…xk=1，則

當(dāng)n=k+1時(shí)，由xi>0(i=1,2,…,k+1)且x1x2…xkxk+1=1可知這k+1個(gè)正數(shù)中至少有1個(gè)不小于1，至少有1個(gè)不大于1.不妨設(shè)0

又因?yàn)?/p>

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.

由數(shù)學(xué)歸納法原理可知原命題成立.

評(píng)注本題是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，并注意到二元時(shí)是一個(gè)簡(jiǎn)單的柯西不等式，故采用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)該是學(xué)生解答本題的首選.不過(guò)要順利完成證明，還需具有較高的變形能力和歸納技巧.

證法2結(jié)合條件和應(yīng)用n元均值不等式，分別可得

評(píng)注采用n元均值不等式證明此題，流暢飄逸，給人以美的享受.但需要學(xué)生具有敏銳的觀察力和熟練的代數(shù)變形能力.

證法3利用柯西不等式的推廣，得

評(píng)注證法3運(yùn)用了柯西不等式的一個(gè)n次推廣：若ai>0,bi>0，則

但因教材沒(méi)有介紹，考綱中也未列入這個(gè)不等式，若采用此法來(lái)證明,應(yīng)先證明這一結(jié)論才能得滿分.

證法4由赫爾德不等式，得

評(píng)注由證法4可看出此不等式的本質(zhì)是赫爾德不等式的一個(gè)應(yīng)用，同時(shí)也說(shuō)明柯西不等式的推廣其本質(zhì)就是赫爾德不等式.

證法5由xi>0(i=1,2,…,n)，利用加權(quán)均值不等式，得

將這n個(gè)不等式相乘并注意到條件x1x2…xn=1，即證.

證法7考慮取對(duì)數(shù)，原命題等價(jià)于：若n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1，則

故原不等式成立.

現(xiàn)行的高中教材上有一個(gè)經(jīng)典的不等式(1+a2)(1+b2)≥(1+ab)2，命題者匠心獨(dú)運(yùn)、深謀遠(yuǎn)慮，對(duì)這個(gè)熟知的不等式進(jìn)行了n次推廣.學(xué)生普遍感覺(jué)似曾相識(shí)，但要完成它的證明還是相當(dāng)不易.它入口較寬，解法多樣，能有效地檢測(cè)和區(qū)分出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，起到了全套試題的壓軸功效.本題是一個(gè)源于教材而高于教材的典范,畫(huà)出了2014年自主招生數(shù)學(xué)試題的一道靚麗風(fēng)景.

最后，筆者受命題者思路的啟發(fā)，給出這個(gè)優(yōu)美試題的一個(gè)推廣.