“定論問(wèn)題”的類型與求解策略

● (海門中學(xué)初中部 江蘇海門 226100)

在近幾年各地的數(shù)學(xué)中考中，常常出現(xiàn)這樣一類問(wèn)題：某些代數(shù)式、函數(shù)式、方程、坐標(biāo)或幾何問(wèn)題等，無(wú)論其中的字母或待定系數(shù)如何取值、圖形位置如何變化、動(dòng)點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)等，問(wèn)題始終保持原有的性質(zhì)、結(jié)論不變(即問(wèn)題的性質(zhì)、結(jié)論與字母或待定系數(shù)的取值、圖形位置變化無(wú)關(guān))，不妨稱之為“定論問(wèn)題”.本文以中考試題為例，對(duì)其類型與求解策略作一闡述.

1 “定論問(wèn)題”的類型

“定論問(wèn)題”一般有：求代數(shù)式的值、特定條件下待定系數(shù)的值(范圍亦或系數(shù)間關(guān)系式)、定點(diǎn)坐標(biāo)、定直線解析式、特設(shè)條件下的一般函數(shù)解析式；證明圖像恒過(guò)定點(diǎn)、點(diǎn)恒在定直線上；判斷數(shù)學(xué)概念是非問(wèn)題；探究說(shuō)明某幾何量為定值、圖形恒有某確定的位置關(guān)系、某特定的性質(zhì)等類型.

2 “定論問(wèn)題”求解策略

2.1 利用主元與無(wú)關(guān)思想

把多元代數(shù)式按某個(gè)字母(即取值與之無(wú)關(guān)的字母)為主元整理，按無(wú)關(guān)思想令主元的各系數(shù)為0，求出待定系數(shù)的值，則問(wèn)題獲解.

例1若代數(shù)式(x2+ax-2y+5)-(bx2-2x+6y-1)的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，求(a+b)2 013的值．

分析這是確定系數(shù)值,進(jìn)而求代數(shù)式值的問(wèn)題.把原式化簡(jiǎn)整理為以x為主元的代數(shù)式,得

原式=(1-b)x2+(a+2)x-8y+6.

因?yàn)樵饺≈蹬cx無(wú)關(guān)，所以上式中不含x，從而

1-b=0且a+2=0，

解得

a=-2，b=1，

故

(a+b)2 013=-1．

2.2 配方

通過(guò)配方，以其“以偏概全”包羅取值的任意性、無(wú)限性之功能，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)使定論問(wèn)題獲解.

例2已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2.

(1)證明：不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)Q總在x軸的下方；

(2)略.

(2002年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析證明拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)即可．易得拋物線的頂點(diǎn)為

其縱坐標(biāo)配方得

因此，不論a取何值，拋物線的頂點(diǎn)總在x軸的下方．

說(shuō)明本題還可以用下面所述的“方程理論”求解(因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，所以只需結(jié)合配方法證明判別式Δ>0即可).

2.3 取特殊值

通過(guò)取特殊值(雖具有任意性,但一般取簡(jiǎn)單且易于求解的值)推理運(yùn)算，根據(jù)“一般與特殊”的關(guān)系化抽象為具體、化繁雜為簡(jiǎn)單，從而使定論問(wèn)題獲解.

例3無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(a-1,2a-3)都在直線l上，點(diǎn)Q(m，n)是直線l上的點(diǎn)，則(2m-n+3)2的值等于______.

(2012年江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題)

分析這是求值類問(wèn)題.既然點(diǎn)P在直線l上，與a取值無(wú)關(guān)，不妨取a=0,得P1(-1，-3)；取a=1,得P2(0，-1).由此得直線l的解析式為

y=2x-1.

因?yàn)镼(m,n)在直線l上，所以

2m-n=1，

故

(2m-n+3)2=16.

說(shuō)明本例還可用主元與無(wú)關(guān)思想及下面所述的消元法、方程理論、多項(xiàng)式相等理論求解.

2.4 消元

構(gòu)造聯(lián)立函數(shù)式，通過(guò)消元確定定論問(wèn)題所求的解析式.消元法對(duì)于求定直線等函數(shù)式類定論問(wèn)題十分簡(jiǎn)捷.

例4拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，其頂點(diǎn)都在某直線l上,求直線l的解析式.

(2003年山東省濟(jì)南市數(shù)學(xué)中考試題)

說(shuō)明本例也可以用特殊值法求解，但沒(méi)有消元法簡(jiǎn)捷.

2.5 利用方程理論

(1)關(guān)于x的一元一次方程ax=b有無(wú)數(shù)個(gè)解?a=b=0.

(2)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(或二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a≠0)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(或二次函數(shù)與x軸有2個(gè)交點(diǎn))?Δ>0；有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(或二次函數(shù)與x軸有且只有1個(gè)交點(diǎn))?Δ=0；沒(méi)有實(shí)數(shù)根(或二次函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn))?Δ<0.

運(yùn)用上述方程理論求解某些定論問(wèn)題十分便利，但運(yùn)用一元二次方程判別式時(shí)常常需要用到配方法，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì).

例5使函數(shù)值為0的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．己知函數(shù)y=x2-2mx-2(m+3)(m為常數(shù)).

(1)略；

(2)證明：無(wú)論m取何值，該函數(shù)總有2個(gè)零點(diǎn)．

(2011年湖南省長(zhǎng)沙市數(shù)學(xué)中考試題)

分析函數(shù)總有2個(gè)零點(diǎn)即方程x2-2mx-2(m+3)=0總有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，把判別式配方得Δ=4(m+1)2+20>0,由方程理論(2)知，無(wú)論m取何值,函數(shù)y=x2-2mx-2(m+3)總有2個(gè)零點(diǎn)．

2.6 利用多項(xiàng)式理論

有些定論問(wèn)題可以運(yùn)用這2個(gè)多項(xiàng)式相等理論來(lái)求解.關(guān)于x的多項(xiàng)式：

(1)anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0?an=an-1=…=a1=a0=0；

(2)anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0?an=bn，an-1=bn-1，…，a1=b1，a0=b0.

例6對(duì)于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)(t≠0)稱為這2個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其圖像記作拋物線E．

(1)略.

(2)二次函數(shù)y=-3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2012年江蘇省鎮(zhèn)江市數(shù)學(xué)中考試題)

分析這是探索概念是非的問(wèn)題.函數(shù)

y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)

可化為

y=tx2-(t+2)x-2t+4.

若y=-3x2+5x+2是“再生二次函數(shù)”，則

tx2-(t+2)x-2t+4=-3x2+5x+2.

根據(jù)多項(xiàng)式相等理論,得

t=-3,-(t+2)=5,-2t+4=2

應(yīng)同時(shí)成立,顯然這是不可能的.故y=-3x2+5x+2不是“再生二次函數(shù)”.

2.7 利用函數(shù)性質(zhì)

有些定論問(wèn)題可以運(yùn)用這些函數(shù)性質(zhì)來(lái)求解.

(1)對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c(或代數(shù)式ax2+bx+c，其中a≠0):

①若a>0,Δ<0,則y>0(或ax2+bx+c>0)；

②若a<0,Δ<0,則y<0(或ax2+bx+c<0).

(2)若2個(gè)函數(shù)y1,y2的圖像有2個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、0個(gè)交點(diǎn)，則這2個(gè)函數(shù)式聯(lián)立組成的方程組有2個(gè)解、1個(gè)解、沒(méi)有解，即消元后所得的一元二次方程的判別式Δ>0，Δ=0，Δ<0，反之亦然.

例7a,b,c為三角形的3條邊長(zhǎng)，證明：不論x為何實(shí)數(shù)，總有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.

證明因?yàn)閎2>0，且

Δ= (b2+c2-a2)2-4b2c2=

(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=

(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,

由函數(shù)性質(zhì)(1),得

b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.

2.8 運(yùn)用幾何原理

幾何定論問(wèn)題一般運(yùn)用幾何原理來(lái)求解.

圖1

例8如圖1，⊙O的直徑AB=2,射線AM,BN為半圓的切線，在AM上取一點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BD交半圓于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，交BN于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)D作DP切半圓O于點(diǎn)P，交BN于點(diǎn)Q．

(1)(2)略；

(3)求證：當(dāng)點(diǎn)D在AM上移動(dòng)時(shí)(點(diǎn)A除外)，點(diǎn)Q始終是線段BF的中點(diǎn)．

(2011年山東省濰坊市數(shù)學(xué)中考試題)

分析這是幾何定論問(wèn)題.易得△ABD∽△BFO，從而

于是AD·BF=2.

(1)

由切線長(zhǎng)定理,得

DA=DP，QB=QP.

過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥AM于點(diǎn)K，在Rt△DQK中，

DQ2=KQ2+DK2，

即

(AD+BQ)2=22+(AD-BQ)2,

得AD·BQ=1.

(2)

由式(1)和式(2)，得

BF=2BQ，

故點(diǎn)Q為BF的中點(diǎn)．

2.9 綜合法

有的定論問(wèn)題需要綜合運(yùn)用多種方法求解才能奏效.

分析拋物線解析式可化為關(guān)于a的方程

2(2x+1)a=4y-4x2-4x-1.

因?yàn)閍可任意取值，即方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，所以

于是

消去a，得所求拋物線的解析式為

說(shuō)明本題運(yùn)用了方程理論(1)、消元法，當(dāng)然求定點(diǎn)也可用主元與無(wú)關(guān)思想、特殊值法等.

(2012年廣西壯族自治區(qū)南寧市數(shù)學(xué)中考試題)

分析這是求值(進(jìn)一步確定函數(shù)解析式)問(wèn)題.聯(lián)立2個(gè)函數(shù)，消去y，整理得

4ax2+4(b-k)x+k2+4k+4=0.

因?yàn)?個(gè)函數(shù)圖像對(duì)任意的實(shí)數(shù)k都只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以由函數(shù)性質(zhì)(2)得上述方程的判別式Δ=0，即

(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4a=0.

由于此式對(duì)任意的實(shí)數(shù)k都成立，根據(jù)主元與無(wú)關(guān)思想或多項(xiàng)式相等理論有

1-a=0，2a+b=0，b2-4a=0，

故a=1，b=-2(函數(shù)解析式為y=x2-2x+1)．

說(shuō)明本題運(yùn)用了主元法、函數(shù)性質(zhì)、多項(xiàng)式相等理論等.

求解定論問(wèn)題要通過(guò)相應(yīng)策略在變中尋不變，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，抓住不變情形應(yīng)對(duì).需要指出的是，同一題目有時(shí)有多種策略求解(如例3有5種策略)，有的題目又需要綜合運(yùn)用多種策略協(xié)同作用才能奏效.因此，具體解題時(shí)要針對(duì)題型選用最優(yōu)的方法應(yīng)對(duì).