好一道令人深思的奇函數(shù)試題
——對一道高三教學(xué)調(diào)研試題的研究

●袁智斌

(深圳外國語學(xué)校 廣東深圳 518083)

函數(shù)、奇函數(shù)等知識，既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，又是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)．如何把握這些重點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)并幫助學(xué)生突破這些難點(diǎn)？筆者認(rèn)為既要開展“開口動腦記公式、悟其結(jié)構(gòu)巧解題”[1]的數(shù)學(xué)知識和方法發(fā)生、發(fā)展的過程教學(xué)；又要在“以問題為中心”的解題分析過程中有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的深入學(xué)習(xí)和深刻理解．

本文通過筆者所任教學(xué)校高三數(shù)學(xué)調(diào)研卷上的一道奇函數(shù)填空試題的研究，指出該題的參考答案存在的錯誤，并結(jié)合此題的分析與解答來解析奇函數(shù)的定義，促進(jìn)學(xué)生理解奇函數(shù)的本質(zhì)．

1 答案對嗎

原參考答案為：{0}或{-1,1}．

題目中“求函數(shù)定義域”的提法對嗎？另外，此題給出的原參考答案對嗎？首先，來看一下教材給出的函數(shù)定義：

一般地，設(shè)A,B是2個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為y=f(x),x∈A.其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域．給定函數(shù)時要指明函數(shù)的定義域．

從此定義出發(fā)，函數(shù)的先決條件之一就是必須先有“A,B這2個非空數(shù)集”以及某種確定的對應(yīng)法則f，并且只有在它們滿足了“如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)”的條件下，“這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)”． 由此得出，函數(shù)的定義域是和函數(shù)“與生俱來”的，從而不能籠統(tǒng)地說對函數(shù)求定義域．也就是說在廣義的情況下，泛泛地來談“求函數(shù)的定義域”是一個偽命題．

華南師范大學(xué)的沈文淮教授多年前在講課中提出過類似的觀點(diǎn)[2]．筆者重提此點(diǎn)，主要是呼吁大家重新來審視平時教學(xué)中一些習(xí)以為常但又存在不足或不當(dāng)之處的教學(xué)觀點(diǎn)、提法和做法，以便進(jìn)行改進(jìn)，從而更好地發(fā)揚(yáng)其優(yōu)點(diǎn)．

其次，在默認(rèn)“對于解析式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合”的情況下，此題的原參考答案完整嗎？

2 分析與解答

我們首先明確奇函數(shù)的定義：

一般地，如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)．

1-x2≥0，

解得

-1≤x≤1，

因此，f(x)的定義域D必須滿足D?[-1,1]，下面對D進(jìn)行分類討論：

(其中常數(shù)a=1，定義域為D1?[-1,1))．

?x∈D1,由0=f(-x)+f(x)得

解得

x=0∈[-1,1).

奇函數(shù)的定義蘊(yùn)含著一個函數(shù)是奇函數(shù)的先決條件：函數(shù)的定義域D(φ?D)非空且關(guān)于原點(diǎn)對稱，即：若?x∈D，則-x∈D.因此，在任意取定x1∈D2?[-1,0)∪(0,1]后，該函數(shù)的定義域D2?[-1,0)∪(0,1]中將對應(yīng)地存在一個-x1∈D2?[-1,0)∪(0,1].由題設(shè)條件知

0=f(-x1)+f(x1),

從而

(?x1∈[-1,0)∪(0,1]且x1≠±a).

(其中a=0,定義域D2?[-1,0)∪(0,1]).

從而

(?x1∈(-1,0)∪(0,1)且x1≠±a).

由此可知，原參考答案的解答過程與結(jié)論不完整，遺漏了滿足題意的定義域

同時，原參考答案在表述上未準(zhǔn)確反映出相應(yīng)a的值，應(yīng)在已求出的2個定義域“{0}或{-1,1}”的表述中及時補(bǔ)充相應(yīng)參數(shù)a的值．

3 追問

在此，筆者提出以下問題進(jìn)一步探尋：

答案也是否定的．原因在于：若假設(shè)D中存在2k+1(k∈N*)個元素，則由奇函數(shù)定義域的對稱性，可知0∈D.當(dāng)0∈D時的情形前面已討論，得到D1={0}(其中a=1)，這與假設(shè)矛盾．因此，當(dāng)D為有限集時，D中元素的個數(shù)不能為大于1的奇數(shù)．

問題3和問題4留給有興趣的讀者研究．

若a≤-1，則g(0)>0，g(1)>0，且g′(t)=3t2+a2-1≥0 (t∈[0，1])，從而g(t)在[0，1]上無零點(diǎn)，即所求定義域為空集,這與函數(shù)的定義域非空矛盾．

4 建議

其一，該題原參考答案的解答不完整從一個側(cè)面折射出奇函數(shù)等重點(diǎn)、難點(diǎn)知識在教與學(xué)的方式、方法上有待于改進(jìn)與深化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注重探尋數(shù)學(xué)知識、方法的教學(xué)與數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系與關(guān)系，并通過科學(xué)地開展數(shù)學(xué)知識方法的深入教學(xué)來更加科學(xué)、高效地促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高．

其二，建議在今后新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗稿)》、新版教材和試卷等，可將“求函數(shù)的定義域”修改為：求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍．

其三，建議教師在平時教學(xué)中要注意自覺遵循波利亞在《怎樣解題》中提出的“回到定義上去”的諄諄教導(dǎo)，從而更加科學(xué)、有效、自如地開展教學(xué)、啟迪學(xué)生．

其四，該題不宜編排在高三教學(xué)調(diào)研卷的填空題處，更不宜編排在文科數(shù)學(xué)調(diào)研卷上的填空題處．若安排在高三文、理科數(shù)學(xué)卷的解答題部分，則將會更加彰顯此題的價值和功能．

[1] 陳都，王玉清，舒敬華，等.數(shù)學(xué)娛樂圈[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2004(17)：49．

[2] 袁智斌．系統(tǒng)扎實(shí)的研究生教育令我們受益終生[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007(4)：15-17.

[3] 謝邦杰．抽象代數(shù)學(xué)[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982．

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(下冊)[M]．北京：高等教育出版社，1981．