字母系數(shù)方程與高次方程的拓展

●章才岔

(溫州外國語學校 浙江溫州 325000)

方程是一種重要的數(shù)學模型，也是一種重要的數(shù)學思想.在初中數(shù)學競賽中，含字母系數(shù)的方程及高次方程的應用與拓展始終是學生學習上的熱點與難點.解決此類問題，常常涉及分類討論、數(shù)形結合等數(shù)學思想，用到因式分解、整除和不定方程的解法等有關知識，具有較強的綜合性和技巧性.現(xiàn)選競賽試題為例，談談此類方程在競賽中的拓展應用.

1 變更主元法在解高次方程中的應用

在初中數(shù)學競賽中，對于三次及以上的方程(組)，常常伴隨著多個未知數(shù)出現(xiàn).一般情況下，并非每一個字母的最高次都會大于或等于三次，當所求未知數(shù)高于三次，而系數(shù)字母次數(shù)小于或等于二次時，常?？梢杂米兏髟姆椒ㄈソ獯祟惙匠?

例1 已知a≥-6，解關于x的方程

x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a+6)x+a2+2a=0.

分析 本題若直接以x為主元解這個方程，次數(shù)較高，無從下手．但注意到系數(shù)字母a的最高次冪僅為二次，因此可以改變策略，采用變更主元的方法，視a為主變量，x為字母系數(shù)，則原方程可化為關于a的一元二次方程，方便求解．此方法將高次方程中的元進行巧妙互換，從而使高次轉化為低次，此即轉化思想在解題中的應用之一．

解 原方程變形為

a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3+22x2+12x)=0,

從而Δ= 4(x2-5x-1)2-

4(x4-10x3+22x2+12x)=

4(x2-2x+1),

于是

解得

a=x2-6x或a=x2-4x-2,

即

x2-6x-a=0或x2-4x-a-2=0,

故

注 這是一個典型的變更主元解高次方程的試題，主要運用于轉化變量與參數(shù)或常數(shù)的位置關系，以達到化繁為簡的目的，此種解法可以說是一種逆向思維法.

當然，例1中元的變更比較容易，在平時的習題中，同樣存在著元用具體數(shù)字形式給出的變更方法.

分析 這個方程僅含有一個未知數(shù)x，但要求解方程，卻非常不易.觀察此方程的系數(shù)“11”多次出現(xiàn)，故可以將常值11看作一個“未知數(shù)”，即通過“常值代換”，進行逆向轉換，然后轉化成二次方程求解.此題在應用轉化思想時，雖然與例1異曲同工，但要將一個常數(shù)看作一個新的元時，需要學生們有敏銳的數(shù)感，在平時的解題中多觀察數(shù)式的結構特征，才能觸類旁通.

xt2+(2x2+1)t+(x3+1)=0,

解得

即

注 高次方程求解的基本思路也是“降次”，因此求解的關鍵是如何降次及降次的方法.除了常見的配方法、因式分解法、換元法之外，例1和例2給我們提供了解高次方程新的拓展思路.

2 整數(shù)解在整系數(shù)高次方程中的拓展應用

數(shù)學競賽中的高次多項式或高次方程，很多是在整系數(shù)范圍內(nèi)進行研究拓展.對于此類多項式和方程，首先要了解高次方程整數(shù)解存在的可能情況，在整數(shù)根驗證的過程中尋求解題的突破口.

現(xiàn)以首項為1的整系數(shù)三次方程為例，探討在何時會有整數(shù)解：對于三次方程x3+px2+qx+m=0，其中p,q,m為整數(shù)，若存在整數(shù)解c，則c只可能是m的因數(shù).

證明 將c代入原方程得

c3+pc2+qc+m=0，

移項得

m=-c3-pc2-qc，

即

m=c(-c2-pc-q).

因為-c2-pc-q與c及m都是整數(shù)，所以c是m的因數(shù)．

上述過程說明：整數(shù)系數(shù)方程x3+px2+qx+m=0的整數(shù)解只可能是m的因數(shù)．

例3 解方程x3-2x2-4x+3=0.

分析 高次方程的求解，突破口在于降次，本題對于配方、換元等方法顯然不適合.而方程左邊這種整系數(shù)的多項式，讓我們聯(lián)想到是否可以用因式分解進行降次，于是問題可轉化為如何尋求多項式的一個因式，而這種因式的尋找，首先從整系數(shù)因式開始，即聯(lián)想方程的整數(shù)解.

解 方程x3-2x2-4x+3=0的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1,-1,3,-3.將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進行驗證,得x=3是該方程的整數(shù)解,從而x-3是x3-2x2-4x+3的一個因式,于是

x3- 2x2-4x+3=

x3-3x2+x2-3x-x+3=

x2(x-3)+x(x-3)-(x-3)=

(x-3)(x2+x-1)=0,

例4 已知a是正整數(shù)，如果關于x的方程

x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0

的根都是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根.

(2007年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

分析 作為高次方程，同時含有字母系數(shù)，直接求解不容易.根據(jù)已知條件，a是正整數(shù)，且方程的根都是整數(shù)：一方面可以通過整數(shù)根將方程左邊因式分解，以達到降次的目的；另一方面，可以通過判別式必須為完全平方數(shù)進行因數(shù)分解，討論可能的情況.

解 將方程左邊因式分解得

(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0,

由題意可知，方程x2+(a+18)x+56=0的根都是整數(shù),從而Δ=(a+18)2-224應為完全平方數(shù).令(a+18)2-224=k2(k是正整數(shù))，則

(a+18+k)(a+18-k)=224.

當a=39時，原方程有3個根為1，-1，-56；當a=12時，原方程有3個根為1，-2，-28.

3 整除性在高次方程(組)中的應用

通常關于方程整數(shù)解的討論用到整除知識與分解變形技巧，是初中數(shù)學競賽常考的內(nèi)容之一.對于整系數(shù)高次方程(組)，若已知解為整數(shù)，則已經(jīng)為待定系數(shù)增加了一個隱含條件，如何去探求字母系數(shù)的關系或求解方程(組)，運用整除性就是常用的有效手段之一.

分析 當遇到高次方程組時，解題的突破口同樣在于消元，但如何消元與方程組的形式特征有著極其重要的關系.如本例中，若消去y，則余下就是一個關于x的三次方程，且同時含有3個字母，顯然不易求解.第1個方程進行部分因式分解，得y=x3-x(ax+b)，觀察第2個方程，通過整體代換可消去a，b這2個待定系數(shù)，以下只要根據(jù)(x，y)為整數(shù)解進行整除性方面的討論即可.

解 第1個方程可化為

y=x3-x(ax+b)=x3-xy，

即

(1+x)y=x3，

顯然方程中x≠-1，因此

因為x,y是整數(shù),所以1+x=±1，即x=0或x=-2.

當x=0時，y=0，此時a,b滿足的關系式是b=0(a為任意實數(shù))；當x=-2時，y=8，此時a,b滿足的關系式2a-b+8=0.

例6 求使關于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0的根均為整數(shù)的所有整數(shù)a.

分析 本題所給方程既是關于x的方程，又是關于a的高次方程.顯然題目中以x為主元有利于解題，但同時又隱含著一次方程與二次方程的討論，解題的基本思路是：

(1)討論二次項系數(shù)的情況:若二次項系數(shù)為0，則直接求解判斷；若二次項系數(shù)不為0，則由韋達定理表示出2個根的和與積.

(2)將2個根之和與積的表示式寫成整式與分式和的形式，并且分式的分子一定為整數(shù).

(3)根據(jù)整除的性質(zhì)，可知分式的分母一定是分子的約數(shù)，從而求出字母的可能取值.

(4)將字母的可能值分別代入原方程檢驗,從而確定結果.

解 當a=-1時，原方程變?yōu)?2x-8=0，得x=-4，符合要求；當a≠-1時，設方程的2個整數(shù)根為x1,x2，則由韋達定理，得

當a=0時，原方程為x2-x-6=0，解得x1=3,x2=-2；當a=1時，原方程為2x2-2x-4=0，解得x3=2,x4=-1；當a=-2時，原方程為-x2-5x-22=0，無實根；當a=-3時，原方程為-x2-10x-60=0，無實根.

綜上所述，當a=-1時，方程的整數(shù)根為x=-4；當a=0時，方程的整數(shù)根為x=3或x=-2;當x=1時，方程的整數(shù)根為x=2或x=-1.

4 其他特殊方法在高次方程中的拓展應用

4.1 試根分解

前面，我們了解了在整系數(shù)范圍下整數(shù)根的驗根方法，更進一步，在整系數(shù)范圍下有理根的驗根方法如何呢？

試根法即猜根法，是用來試探性地求解一元高次方程的方法，一些比較復雜的因式分解也可以利用試根法來解決(試根法一般適用于整系數(shù)多項式的因式分解).具體方法如下：

例7 求一實數(shù)p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的3個根均為自然數(shù).

分析 對比例4，本題中字母系數(shù)不明確是否為整數(shù)，試根的方法也與例4中整數(shù)根的驗證有所區(qū)別.觀察方程的特點，當x=1時，方程2邊相等，故66p移到方程左邊分解后含有因式(x-1)，進而通過待定系數(shù)或綜合除法可得

(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0

的解為自然數(shù)，然后根據(jù)韋達定理可知p為方程2根之和，即p是自然數(shù)，進而求出p的值.

解 原方程可化為

5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=0.

觀察知當x=1時，方程左邊為0，于是

(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0,

因此只要方程5x2-5px+66p-1=0的2個根為自然數(shù)即可.因為p是方程5x2-5px+66p-1=0的2個根之和,所以p是自然數(shù).設

Δ=(5p-132)2-17 404=n2(n∈N*),

則

(5p- 132+n)(5p-132-n)=17 404=

22×19×229.

又因為5p-132+n，5p-132-n同奇偶,所以

解得

p=76.

4.2 公式變形

變形法主要是對方程中具有特殊形式的式子，通過公式變形轉化為具有同一形式或相同特點的式子，進而采用整體或換元的方法使方程降次，再求解的方法.常用的變形式有：

(x+y)2=(x-y)2+4xy；

x2+y2=(x+y)2-2xy=(x-y)2+2xy；

a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]；

a3+b3+c3=3abc,其中a+b+c=0.

例8 關于x的方程x4+(k-1)x3+kx2+(k-1)x+1=0沒有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.

即可采用換元的方法使原方程降次.

解 原方程2邊同除以x2，得

y2+(k-1)y+k-2=0，

即

(y+1)[y+(k-2)]=0,

從而y=2-k或y=-1(舍去).要使原方程無解，則

-2

即

-2<2-k<2,

故k的取值范圍是0

4.3 零點判斷

零點法，就是根據(jù)零點存在性定理，當函數(shù)在某一閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，2個端點值符號相反說明圖像必穿過x軸，因此在(a,b)上必有一個零點.

例9 三次方程x3+x2-2x-1=0的根不可能在的區(qū)間為

( )

A．(-2,-1) B．(-1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

分析 本題屬于函數(shù)零點存在性定理的簡單應用.若去求方程的解，顯然不容易也不必要，可令f(x)=x3+x2-2x-1，則函數(shù)f(x)在R上連續(xù)，然后結合零點存在性定理即可求解.

解 設f(x)=x3+x2-2x-1，則f(x)在R上連續(xù).因為f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)存在零點，即方程x3+x2-2x-1=0有一個根在區(qū)間(-2,-1)內(nèi).

同理可得f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0,因此原方程的3個根分別在區(qū)間(-2,-1)，(-1,0)，(1,2)內(nèi).

當然，字母系數(shù)方程與高次方程作為初中數(shù)學競賽內(nèi)容的一個部分，其可拓展的寬度與深度方面還有很多.本文僅選取較為常見的一些試題，通過對問題的剖析求解，幫助讀者在梳理歸納的過程中，進一步拓展探究，總結方法，達到把握初中數(shù)學競賽試題的脈絡.