加權(quán)Besov嵌入中的線性隨機(jī)寬度*

王晶晶, 錢李新

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

令X,Y是賦范空間(或擬范空間),T是X|→Y的連續(xù)線性算子,用

Tn=φ°N,N:X|→Rn,φ:Rn|→Y

隨著離散化技巧[3]的廣泛應(yīng)用,一些經(jīng)典函數(shù)空間(如Besov空間)在一致框架下的各種經(jīng)典寬度,如線性寬度、KoLmogorov寬度和GeLfand寬度等已經(jīng)有了比較完整的結(jié)果[4].而對(duì)于Besov空間中的平均寬度、隨機(jī)寬度和概率寬度的結(jié)果則不是很多[5-8].近年來(lái),隨著函數(shù)空間理論的進(jìn)一步發(fā)展,開始在經(jīng)典的函數(shù)空間中引入適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù),并研究加權(quán)函數(shù)空間中的寬度問(wèn)題,取得了一些成果,如加權(quán)Besov空間中的熵?cái)?shù)、逼近數(shù)、GeLfand寬度和KoLmogorov寬度等[9-12].本文主要對(duì)加權(quán)Besov空間嵌入中的線性隨機(jī)寬度的漸進(jìn)階進(jìn)行了估計(jì).

1 預(yù)備知識(shí)及引理

則可以定義如下的加權(quán)Besov空間:

其中,S′(Rd)表示所有定義在Rd空間內(nèi)所有緩増廣義函數(shù)的集合.

φj,k(x)=2jd/2φ(2jx-k),ψi, j,k(x)=2jd/2ψi(2jx-k).

其中: j∈N0:=N∪{0};k∈Zd.

由引理1知,當(dāng)1≤p,q≤∞時(shí),可以定義下面的加權(quán)序列空間:

Lq(2jsLp(α)):=

當(dāng)p,q=∞時(shí),取通常意義下的范數(shù).

在加權(quán)Besov空間中有如下經(jīng)典的嵌入定理:

定理1在加權(quán)序列空間中也成立.

在有限維Lp空間中,Mathé[2,5]給出了相應(yīng)線性隨機(jī)寬度的漸進(jìn)階.

令0

(1)

2 主要結(jié)果

受引理3與文獻(xiàn)[9]的啟發(fā),可以得到在加權(quán)序列空間中線性隨機(jī)寬度的漸進(jìn)階.

其中:B1=Lq1(2jδLp1(α));B2=Lq2(Lp2).

證明 令Λ:={λ=(λj,k):λj,k∈C, j∈N0,k∈Zd},Ij,i?N0×Zd,使得

Ij,0:={(j,k):|k|≤2j},j∈N0;

(2)

Ij,i:={(j,k):2j+i-1<|k|≤2j+i},i∈N, j∈N0.

(3)

令Pj,i:Λ|→Λ是Ij,i內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)投影算子,對(duì)任意的λ∈Λ,記

其中:u∈N0;v∈Zd;i≥0.則

Mj,i:=|Ij,i|～2d(j+i);

(4)

(5)

ωj,k=ωα(2-jk)～2iα,(j,k)∈Ij,i,i≥0.

(6)

根據(jù)線性隨機(jī)寬度的基本性質(zhì)[2],有

(7)

1)當(dāng)1≤p1≤p2≤2時(shí),先給出上方估計(jì).對(duì)任意的r>0,由式(1)與式(7)得

(8)

對(duì)任意的M∈N0,令

(9)

對(duì)于1≤p1≤p2≤2,由引理3得

(10)

從而

(11)

因此,

(12)

由式(11)和式(12),令μ=min(δ,α),就有

(13)

考慮下方估計(jì):由圖表

及線性隨機(jī)寬度的基本性質(zhì)[2]得

(14)

式(14)中,S和T在不同的情形下由下面的定義給出.

(T(λ))i=λL,φ(i),1≤i≤N.

因此,由式(4)和式(6)可得

‖T‖=1,‖S‖≤c2Lδ.

(T(λ))i=λ0,φ(i),1≤i≤N.

因此,由式(4)和式(6)可得

‖T‖=1,‖S‖≤c2Lα.

(15)

再根據(jù)式(13)和式(15)可得

(16)

(17)

因此,只需將式(10)換作

再重復(fù)1)中的方法,就可得

(18)

3)當(dāng)p1≤2≤p2< ∞時(shí),只需將式(17)換作

(19)

即可證得

(20)

綜上,由式(16)、式(18)和式(20),即可證得定理2.

注1當(dāng)α=0,即μ=0時(shí),定理2得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[2]中不加權(quán)序列空間的結(jié)果一致.

由引理1、定理1及離散化技巧,可以將加權(quán)序列空間得到的定理2自然地轉(zhuǎn)化為加權(quán)Besov空間中的線性隨機(jī)寬度,從而得到本文的主要結(jié)果:

注2當(dāng)μ=δ時(shí),定理3得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中在Lipschitz有界域上得到的結(jié)果一致.

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