多圓柱上從加權(quán)Bergman空間到Bloch型空間的加權(quán)復合算子*

吳瑋瑋， 徐輝明

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設Dn={z=(z1,z2,…,zn)∈Cn:|zk|<1,1≤k≤n}?Cn是單位多圓柱,?Dn表示 Dn的拓撲邊界,D={z∈C:|z|<1}?C是單位圓盤.用H(Dn)表示Dn上的全純函數(shù)全體,H(Dn,Dn)表示Dn的全純自映射,把Dn上的Bloch型空間Bβ(Dn)(0<β<∞)簡記為Bβ,定義為

設φ(z)=(φ1(z),φ2(z),…,φn(z))∈H(Dn,Dn), ψ(z)∈H(Dn),定義H(Dn)上的加權(quán)復合算子為(ψCφf)(z)=ψ(z) f(φ(z)),z∈Dn, f∈H(Dn).顯然,ψCφ是線性算子,當ψ=1時,Cφ即為通常的復合算子.

本文均假定α=(α1,α2,…,αn),αj>-1, j=1,2,…,n,符號C代表正的常數(shù),且在不同的地方可以是不相同的值.

1 引 理

為了證明本文主要結(jié)果,先給出幾個引理.

取w=0,則

證明 取定k∈{1,2,…,n},固定z1,…,zk-1,zk+1,…,zn,由引理1知,

結(jié)合引理1得

2 主要結(jié)果

(2)

(N+CM)‖f‖p,α=C‖f‖p,α.

另外,由引理1知, |ψ(0)|5 |f(φ(0))|≤C‖f‖p,α.因此，ψCφ是有界的.

因此，

下證式(2)成立.作函數(shù)

由ψCφ的有界性和式(1)得

因此,

定理1證畢.

ψ∈Bβ,ψφl∈Bβ,l=1,2,…,n;

(3)

(5)

由定理2的條件知,?ε>0,?δ∈(0,1),使得當dist(φ(z),?Dn)<δ時,

因此,結(jié)合引理1和引理2,當dist(φ(z),?Dn)<δ時,

(1+C)ε.

必要性 因緊算子一定是有界算子,易知式(3)成立.下面用反證法證明式(4)和式(5)成立.

假設式(4)不成立,那么存在ε0>0和一個點列{wi}?Dn,當i→∞時,φ(wi)→?Dn,使得

(6)

由式(6)知,一定存在l0(1≤l0≤n)和{wi}的子列,不妨設就是{wi}本身,使得

由φ(wi)→?Dn(i→∞)知,至少存在一個j0(1≤j0≤n),使得當i→∞時,|φj0(wi)|→1.作函數(shù)

即當i→∞時,‖ψCφfi‖β不收斂于0,這與ψCφ是緊算子矛盾,故式(4)成立.

下面證明式(5)成立.假設式(5)不成立,類似于上面的討論,存在ε0>0和一個點列{wi}?Dn及j0(1≤j0≤n),當i→∞時,φ(wi)→?Dn,|φj0(wi)|→1,使得

作函數(shù)

(7)

由式(4)知,當i→∞時,式(7)的第2項趨于0.因此,當i→∞時,‖ψCφgi‖β不收斂于0,這與ψCφ是緊算子矛盾,故式(5)成立.定理2證畢.

參考文獻：

[1]Li Songxiao,Stevic S.Weighted composition operators from Bergman-type spaces into Bloch spaces[J].Proc Indian Acad Sci,2007,117(3): 371-385.

[2]王雄亮.多圓柱上Bergman空間到Bloch空間的復合算子[J].數(shù)學研究,2010,43(2):141-150.

[3]羅羅,史濟懷.Cn中有界對稱域上不同加權(quán)Bergman空間之間的復合算子[J].數(shù)學年刊,2000,21A(1):45-52.

[4]ZhangXuejun.CompositiontypeoperatorsfromBergmanspacetoμ-BlochtypespaceinCn[J].JMathAnalAppl,2004,298(2):710-721.

[5]SmithW.CompositionoperatorsbetweenBergmanandHardyspaces[J].TransAmerMathSoc,1996,348(6):2331-2348.

[6]LiuJC,ZhangXJ,LiJX.WeightedcompositionoperatorsbetweenBergman-typespaces[J].JMathReseExpo,2009,29(2):848-856.

[7]徐輝明,劉太順.多圓柱上不同Bloch型空間之間的加權(quán)復合算子[J].數(shù)學年刊,2005,24A(1):61-72.

[8]KooH,SmithW.CompositionoperatorsbetweenBergmanspacesoffunctionsofseveralvariables[J].ContempMath,2006,393(1):123-131.

[9]Montes-RodriguezA.WeightedcompositionoperatorsonweightedBanachspacesofanalyticfunctions[J].JLondMathSoc,2000,61(2):872-884.

[10]ContrerasM,Hernandez-DiazA.WeightedcompositionoperatorsinweightedBanachspacesofanalyticfunctions[J].JAustMathSoc,2000,69(1):41-60.

[11]HuZhangjian.CompositionoperatorsbetweenBloch-typespacesinthepolydisc[J].ScienceinChina:SerA,2005,48(1):268-282.

[12]YeShanli,HuQingxiao.WeightedcompositionoperatorsontheZygmundspace[J/OL].[2013-06-16].http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.aaa/1355495746.

[13]ZhouZehua,LiangYuxia,ZengHonggang.EssentialnormsofweightedcompositionoperatorsfromweightedBergmanspacetomixed-normspaceontheunitball[J].ActaMathSin:EnglSer,2013,29(3):547-556.

[14]ZhuKehe.SpacesofHolomorphicfunctionsintheunitball[M].NewYork:Springer-verlag,2004.