3+1維Burgers方程的Painlevé性質和B?cklund變換及嚴格解*

金 艷, 賈 曼

(1.寧波教育學院,浙江 寧波 315010;2.寧波大學 理學院，浙江 寧波 315211)

0 引 論

在非線性科學領域，1+1維的Burgers方程

ut=2uux+uxx

(1)

是最重要的數(shù)學物理模型之一,它被廣泛地應用于物理學和其他自然科學的各個領域，如流體力學、大氣動力學和交通流,等等[1].Burgers方程(1)的各種性質及其嚴格解已經(jīng)被許多學者研究.如文獻[2]利用重復對稱性約化的方法給出了式(1)的無窮多的嚴格解；文獻[3]發(fā)展了一個一般的tanh函數(shù)展開法求解Burgers方程(1)，得到了大量的新的嚴格解；文獻[4]利用非局域對稱相關的對稱性約化得到了很多具有實際意義的嚴格解.

本文中,筆者研究方程(1)的3+1維的推廣形式[5]:

ut=2uux+2vvx+2wwx+uxx+vxy+wxz;

(2)

uy=vx;

(3)

uz=wx.

(4)

和1+1維的Burgers方程(1)一樣，3+1維Burgers方程(2)～方程(4)在物理學中同樣具有非常重要的地位.如作變換

u=φx,v=φy,w=φz

(5)

后，式(2)成為著名的沒有白噪聲項的KPZ(Kardar-Parisi-Zhang) 方程[6-8 ]

φt=(φ)

(6)

KPZ方程可以很好地描述各種界面的生長[6].具有隨機項的KPZ方程也可以從粒子系統(tǒng)中導出[7].

奇性分析方法是研究非線性方程的最有效方法之一.在研究非線性方程奇性的同時，可以得到很多其他有意義的重要結果，如B?cklund變換和嚴格解等.

本文運用奇性方法研究(3+1)維Burgers方程的Painlevé性質;運用截斷Painlevé展開給出3+1維的Burgers方程的B?cklund變換；運用B?cklund變換來給出一些嚴格解.

1 3+1維Burgers方程的Painlevé性質

一個非線性方程的Painlevé性質被定義為：若一個非線性方程的所有解的所有奇性都是極點型的，則稱該方程具有Painlevé性質.

對于3+1維的Burgers方程(2)～方程(4),若它具有Painlevé性質，則有下述表達式：

為了保證所有的奇性，展開式(7)中的f～0必須為任意函數(shù)；由于方程(2)～方程(4)是2階微分方程，式(5)和式(6)是一階微分方程，因此,為保證解是所有解，式(7)中必須包含4個任意函數(shù)，除了f外，展開系數(shù)中還必須包含3個任意函數(shù).展開式中求和從零開始，排除了本性奇點的存在，為保證沒有奇點的存在，式(7)中的α1,α2和α3必須為整數(shù).

驗證模型的Painlevé性質,標準的步驟分3步：領頭項分析、確定共振點和驗證共振條件.領頭項分析驗證α1,α2和α3是否為整數(shù)，確定共振點和驗證共振條件以保證有足夠多的任意函數(shù).

1)領頭項分析:將式(7)的領頭項

(8)

代入3+1維Burgers方程(2)～方程(4)得

(9)

由式(9)可得

(10)

2)共振點確定.為了確定共振點，即可能的任意函數(shù)對應的展開指標，筆者將

(11)

代入3+1維Burgers方程(2)～方程(4)可得

(12)

式(12)的右邊僅僅依賴于u0,u1,…,uj-1.由式(12)的uj,vj,wj的系數(shù)行列式

(13)

為零可知，共振點為

j=-1,1,1,2.

(14)

若在這些共振點的共振條件自動滿足，則uj,vj,wj可由式(12)遞推算出.

3)共振條件驗證.j=-1的共振點意味著奇性流形f的任意性.對于j=0，式(12)等價于式(10).對于j=1,式(12)等價于

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf;

(15)

u0y=v0x;

(16)

u0z=w0x.

(17)

顯然，由于式(10)，共振條件(15)和(17)是自動滿足的,所以，對于j=2,式(12)可以簡化為:

(ft-2u1fx-2v1fy-2w1fz-Δf)x=0;

(18)

u2fy-v2fx-v1x+u1y=0;

(19)

u2fz-w2fx-w1x+u1z=0.

(20)

顯然，由于式(15)，共振條件(18)自動滿足，故所有共振條件驗證完畢，所以，(3+1)維Burgers方程(2)～(4)具有Painlevé性質,是Painlevé可積的.

2 3+1維Burgers方程的B?cklund變換

B?cklund變換是非線性系統(tǒng)研究中的又一重要研究課題.利用Painlevé分析可以很方便地得到非線性系統(tǒng)的B?cklund變換.對于3+1維Burgers方程,其截斷展開為

(21)

式(21)中，u1,v1,w1和f滿足的方程為：

u1t=2u1u1x+2v1v1x+2w1w1x+u1xx+v1xy+w1xz;

(22)

u1y=v1x;

(23)

u1z=w1x;

(24)

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf.

(25)

由方程(22)～方程(24)可知,截斷Painlevé展開給出了下述3+1維Burgers方程(2)～(4)的B?cklund變換定理.

定理1 若u1,v1,w1是3+1維Burgers方程(2)～(4)的一個解，f滿足式(25)，則由式(21)給定的u,v,w也是3+1維Burgers方程(2)～(4)的解.

利用B?cklund變換(定理1)及任意給定的種子解u1,v1,w1，只需要求解線性方程(25),即可求得Burgers方程(2)～(4)的無窮多新解.下面就一個特定的種子解，利用B?cklund變換來尋求新的解.

3 3+1維Burgers方程的嚴格解

顯然,式(23)和式(24)有下述嚴格解:

(26)

式(26)中：p=p(x,t),q=q(y,z,t),r=r(y,z,t)都是所示變量的函數(shù).將式(26)代入式(22)可得，p=p(x,t)滿足1+1維的Burgers方程

pt=2ppx+pxx.

(27)

將式(26)和式(27)代入式(25)得

ft=2pfx+2qfy+2rfz+Δf.

(28)

式(28)可以用分離變量法求解

(29)

式(29)中，變量分離解Pi=Pi(x,t)和Qi=Qi(y,z,t)滿足的方程為：

Pit=2pPix+Pixx;

(30)

Qit=2qQiy+2rQiz+Δ2Qi,Δ2≡?yy+?zz.

(31)

由于p滿足1+1維Burgers方程(27),式(30)可以進一步用分離變量法求解

(32)

而Pik=Pik(x)和Tik(t)由下式給定:

(33)

顯然,式(33)的解可以表述為

(34)

對于Qi,可把方程(31)分3種情況求解.

情況1M=1.對于M=1,方程(31)可以很方便地求解，只要把Q1=Q當作任意函數(shù)，求出r為

(35)

情況2M=2.對于M=2,方程(31)也可以很方便地求解，只要把Q1和Q2當作任意函數(shù)，求出q和r為

(36)

情況3M>2.對于M>2，q和r 滿足

qt=2qqy+qyy;

(37)

rt=2rry+ryy.

(38)

在這種情況下，式(31)可分解為

(39)

式(39)的解可以表示為

(40)

式(40)中：Cik,θik,kik是z的任意函數(shù);Dij,φij,κij是y的任意函數(shù).由于大量的任意函數(shù)的進入，3+1維Burgers方程的解具有非常豐富的結構.

4 結 論

利用奇性分析證明了3+1維Burgers方程具有Painlevé性質.利用截斷Painlevé展開可得到3+1維Burgers方程的B?cklund變換.利用3+1維Burgers方程的任意一個已知特解，可以得到無窮多的新的嚴格解.本文從一個1+1維的Burgers方程的特解出發(fā)，得到了具有大量任意函數(shù)的相當一般的解，充分揭示了3+1維Burgers方程解的豐富的結構.

利用Painlevé分析方法還可以得到大量的其他有意義的信息，如非局域對稱等[9].限于篇幅，本文不再繼續(xù)深入.

致謝:作者感謝樓森岳教授的有益指導、討論及鼓勵.

參考文獻：

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