一類非線性Choquard 方程解的存在性*

周慶翡, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

本文研究一類非線性Choquard 方程

(1)

當(dāng)a(x)=1,a(y)=1,p=2,μ=1時(shí),方程(1)即為

(2)

方程(2)是由物理學(xué)家Choquard在等離子體的Hartree-Fock理論中首先提出的.文獻(xiàn)[1]利用臨界點(diǎn)理論證明了方程(2)非平凡解的存在性;文獻(xiàn)[2]證明了方程(2)在V(x)=1時(shí)方程

(3)

基態(tài)解的存在性,且該基態(tài)解具有非退化性;文獻(xiàn)[3]利用極大極小值方法證明了方程

(4)

(5)

解的存在性;文獻(xiàn)[5]利用變分方法證明了方程

(6)

在H1(RN)中存在正的孤立解.

本文在R3中假設(shè)連續(xù)位勢(shì)函數(shù)V(x)和連續(xù)有界函數(shù)a(x),a(y)滿足如下條件:

本文的主要結(jié)論是:

▽u|2+V0|u|2)dx.

Hilbert空間D1,2(R3)={u∈L2*(R3):|▽u|∈L2(R3)}中的范數(shù)被定義為

Ls(R3)空間中的范數(shù)是指

1 引 理

為了證明定理1,首先考慮方程(1)的極限形式

(7)

解的存在性,為此需要下面引理:

引理1[6]若V(x)滿足條件(f1),則Hilbert空間E到H1(R3)空間的嵌入是連續(xù)的.

方程(7)的能量泛函為

且方程(7)的弱解u即為泛函J∞(u)在H1(R3)上的臨界點(diǎn).而方程(1)相應(yīng)的變分泛函為

顯然,J(u)∈C1(E,R).

定義1對(duì)于泛函J(u)∈C1(E,R),稱E中的序列{un}n≥1滿足(PS)C條件,如果存在常數(shù)C,使得當(dāng)J(un)→C, J′(un)→0時(shí),{un}n≥1存在一子序列{unk}k≥1在E中強(qiáng)收斂.

證明 首先證明:若滿足(PS)C條件的序列{un}存在,則序列{un}在H1(R3)上有界.事實(shí)上,由假設(shè)有

所以序列{un}在H1(R3)上有界,且C>0.

下面證明滿足(PS)C條件的序列{un}的存在性.事實(shí)上,由于序列{un}在H1(R3)中有界,從而存在收斂子列,不妨仍記為{un},當(dāng)n→∞時(shí),有

(8)

由(PS)C條件的定義可知,要證明序列{un}為泛函J∞(u)的滿足(PS)C條件的序列,只需要證明J∞(un-u)→C-J∞(u),J∞′(un-u)→ 0成立.事實(shí)上,由計(jì)算可得

J∞(un)-J∞(u)+Sn+o(1).

(9)

式(9)中,

(10)

從而由非局部的Brezis-Lieb引理[8]可得Sn→0.因此,J∞(un-u)→ C-J∞(u).

又對(duì)任意的φ∈H1(R3),當(dāng)‖φ‖≤1時(shí),有

(11)

式(11)中,

(12)

即

由于J∞′(wn)→ 0,利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式有

(13)

又由H?lder不等式可得

(14)

即

引理4[7]在Hilbert空間H1(R3)上恒有

下面證明 J∞滿足山路引理的幾何條件.

1)J∞(0)=0,且存在α,ρ>0,使得對(duì)于‖u‖=ρ,有J∞(u)≥α;

2)存在e>0,使得當(dāng)‖e‖>ρ時(shí),有J∞(u)<0.

證明 1)顯然,J∞(0)=0成立.由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可得

(15)

又因?yàn)閜>1,所以存在‖u‖=ρ,使得J∞(u)≥α成立.

2)由引理4可得

取e=φδ,可得

(16)

為了證明定理1,還需要下面的引理.

其中,Bk={x∈R3| |x|≤k}.

證明 因?yàn)椤瑄n-u‖→0,所以由Sobolev嵌入的局部緊性可知,對(duì)于任意的 r>0,

(17)

關(guān)于‖φ‖≤1一致成立.由引理6可知,對(duì)任意的ε>0,存在γε>0,當(dāng)r≥γε時(shí),有

且序列{un}在H1(R3)上有界.

又由H?lder不等式和a(y)的有界性可知

(18)

而由引理6和式(18)有

(19)

由ε的任意性可知結(jié)論成立.引理7證畢.

記

(22)

因而有下面的引理:

證明 由S∞,S′的定義和條件(f1),(f2)可知S′≤S∞.

由引理1可知,E到H1(R3)的嵌入是連續(xù)的,且序列{un}在H1(R3)上有界,從而存在一個(gè)收斂子列,不妨仍記為{un},當(dāng)n→∞時(shí),有

因此,在E上有un?u , 且

(23)

由假設(shè)有

(24)

而當(dāng)

時(shí),式(24)與引理7矛盾.因此,存在u∈E{0},有S(u)=S′.引理8證畢.

2 定理的證明

由引理1～5可知,Choquard方程(1)的極限形式(7)存在弱解u.由引理6～8有

S(u)=inf{S(v):v∈E{0}},

即存在u∈E{0},使得

也即方程(1)存在非平凡弱解.定理1證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1]Lions P L.The Choquard equation and related questions[J].Nonlinear Anal,1980,4(6):1063-1072.

[2]Wei Juncheng,Winter M.Strongly interacting bumps for the Schr?dinger-Newton equations[J].J Math Phys,2009,50(1):1-22.

[3]Zhang Zhengjie.Existence of a nontrivial solution for Choquard′s equation[J].Acta Mathematica Scientia,2006,26B(3):460-468.

[4]Yang Minbo,Ding Yanheng.Existence of solutions for singularly perturbed Schr?dinger equations with nonlocal part[J].Communications on Pure and Applied Analysis,2013,12(2):771-783.

[5]Moroz V,Schaftingen J V.Groundstates of nonlinear Choquard equations:existence,qualitative properties and decay asymptotics[J].J Funct Anal,2013,265(2):153-184.

[6]Ding Yanheng,Lin Fanghua.Solutions of perturbed Schr?dinger equation with critical nonlinearity[J].Calculus of Variations and Partial Differential Equations,2007,30(2):231-249.

[7]Lieb E,Loss M.Analysis(Graduate studies in mathematics)[M].2nd ed.Rhode Island:AMS,2001:346.

[8]Ackermann N.On a periodic Schr?dinger equation with nonlocal superlinear part[J].Math Z,2004,248(2):423-443.

[9]Ding Yanheng,Wei Juncheng.Semiclassical states for nonlinear Schr?dinger equations with sign-changing potentials[J].J Funct Anal,2007,251(2):546-572.