壓縮驅(qū)動單元中聲波本征值問題的解析解*

貢玉昌， 張志良

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 金華 321004)

0 引 言

號筒揚聲器因其能量轉(zhuǎn)換效率遠(yuǎn)高于直接輻射式揚聲器而獲得廣泛應(yīng)用.為改善聲學(xué)性能，需在號筒揚聲器的壓縮驅(qū)動單元中設(shè)置相位塞.相位塞和球冠形振膜同軸，兩者之間形成等厚度的空腔.空腔中空氣在振膜驅(qū)動下形成聲波，經(jīng)相位塞的同軸環(huán)形通道傳播至號筒的喉口.若相位塞設(shè)計不當(dāng)，該空腔中空氣的固有模態(tài)將會引起揚聲器聲輻射頻率響應(yīng)的不均勻[1].迄今為止尚未有該固有模態(tài)和頻率的解析解.本文首先給出該問題的冪級數(shù)形式的解析解，然后給出近似解.

1 冪級數(shù)解析解

采用球坐標(biāo)系，徑向距離r，天頂角θ，周向方位角φ.由于球冠形振膜和相位塞間的空腔厚度很薄(通常小于1 mm)，因此，徑向模態(tài)的本征頻率遠(yuǎn)高于音頻范圍，音頻范圍內(nèi)其他方向的模態(tài)在徑向可近似認(rèn)為作均勻振動.另外，振膜和相位塞旋轉(zhuǎn)對稱，周向不均勻的模態(tài)不會被激發(fā).在此近似和假設(shè)下，空腔中空氣的聲波本征值問題可簡化為θ方向的勒讓德方程[1-2]

(1)

和邊界條件[1]

(2)

式(2)中,θ0為空腔邊緣處的張角.且有固有頻率和本征值l的關(guān)系式[1-2]

(3)

式(3)中:r0為空腔半徑；c0為空氣聲速.

在一般的波動問題中，波沿徑向傳播，勒讓德方程的本征值由θ=0和π時p值有限的自然邊界條件得到，即l為正整數(shù)[2].本問題中，聲波沿垂直于徑向的θ方向傳播，并要求在空腔邊緣處滿足剛性邊界條件，勒讓德函數(shù)一般不滿足該邊界條件.因此，勒讓德函數(shù)不是本問題的本征函數(shù)，本征值l不是整數(shù).當(dāng)l不是整數(shù)時，傳統(tǒng)問題的勒讓德方程的解在θ=0時發(fā)散.筆者的任務(wù)是尋找非整數(shù)l本征值，同時在θ =0收斂的冪級數(shù)解.為此，將展開中心由傳統(tǒng)的常點θ=π/2改為奇點θ=0，即對方程作自變量變換

x=cosθ-1,

(4)

并對所得方程

x(x+2)p″+2(x+1)p′-l(l+1)p=0

(5)

在x=0處展開其解.容易證明該點為正則奇點，且奇點性質(zhì)判定方程的根為重根0.故方程存在1個收斂的冪級數(shù)解

(6)

其系數(shù)遞推公式為

(7)

對足夠大的n，有an～-2-n.因此，解的收斂半徑為|x|<2，且收斂較快，計算中取30項已足夠精確.

方程的另一個解在展開中心θ=0處具有對數(shù)奇異性，因而在本問題中舍去.邊界條件(2)可表為

(8)

這是一個關(guān)于本征值l的非線性代數(shù)方程，可由數(shù)值方法確定，例如二分法或牛頓迭代法[3].l一旦確定，由式(6)計算模態(tài)，由式(3)得與第n個l值對應(yīng)的固有頻率

(9)

2 近似解

文獻(xiàn)[4]發(fā)現(xiàn)了勒讓德函數(shù)和零階貝塞爾函數(shù)間的近似變換關(guān)系，本文利用該關(guān)系將勒讓德方程化為近似的貝塞爾方程，從而得到近似解.

勒讓德方程和零階貝塞爾方程分別對應(yīng)從極點沿球面均勻傳播和從圓心向四周平面上均勻傳播的波.聲波從單位半徑的球面北極出發(fā)經(jīng)過弧長θ后，緯圈周長為2πsinθ，從聲能量流角度可知，該處聲波振幅平方應(yīng)反比于sinθ.而如果在平面上，經(jīng)過同樣距離后，圓周長將是2πθ，該處振幅平方應(yīng)反比于θ.按照以上物理分析，對勒讓德方程(11)作因變量變換[4]

(10)

得到

(11)

式(11)中，

(12)

由于Δl不是常數(shù)，所以，方程(11)不是嚴(yán)格的零階貝塞爾方程.但容易驗證，當(dāng)θ在一般的實際號筒揚聲器的區(qū)間[0，π/3]內(nèi)時，Δl的數(shù)值為0.333～0.355，變化幅度很小.對Δl取平均得

(13)

(14)

(15)

舍去在θ=0發(fā)散的諾埃曼函數(shù)，其解為零階貝塞爾函數(shù)

y=J0(λθ).

(16)

(17)

其不同h值的根已列表可查[2].由上述方程的一系列根xn，得本征值

λn=xn/θ0.

(18)

(19)

最終，模態(tài)由合并式(10)、式(16)和式(18)得到

(20)

而對應(yīng)的固有頻率由合并式(9)、式(15)、式(13)和式(18)得到

(21)

表1 方程(17)的根的精確值和由式(9)計算的近似值比較

3 比較和結(jié)論

為了驗證近似解的精確程度，表2列出了2種解法計算得到的ln值，精確值根據(jù)式(8)計算，近似值由綜合了式(15)、式(18)和式(19)的下式

(22)

計算.結(jié)果表明，2種結(jié)果極為吻合.其原因如前所述：方程(11)中,Δl的最大0.015的變動幅度相對于l(l+1)最小13.41的值相比，其變動影響微不足道，在此情形下，方程已成為近似度極高的零階貝塞爾方程了.結(jié)果還表明ln值確實不是整數(shù).

表2 2種解法得到的ln值比較

模態(tài)的比較顯示在圖1中，同樣原因，2種方法得到的結(jié)果幾乎完全重合.隨著模態(tài)序數(shù)的增大，節(jié)圓數(shù)目增加，兩者數(shù)值相同.由邊界條件知，模態(tài)在邊緣處斜率為零.

圖1 前3個模態(tài)精確解與近似解完全重合

由于2種解所得結(jié)果極為吻合，實際數(shù)值計算中可綜合應(yīng)用.例如由式(22)可方便得到本征值l(l+1)，進(jìn)而由式(6)和式(9)計算模態(tài)和相應(yīng)固有頻率.

通過在奇點展開冪級數(shù)，給出了號筒揚聲器壓縮驅(qū)動單元中振膜和相位塞間空腔內(nèi)空氣本征振動的非整數(shù)階勒讓德方程的解析解，進(jìn)一步將該方程轉(zhuǎn)換為零階貝塞爾方程，巧妙解決了本征超越方程的求根問題，由此得到的近似解結(jié)果與精確解結(jié)果極為吻合.本文結(jié)果可直接應(yīng)用于號筒揚聲器相位塞的優(yōu)化設(shè)計和聲輻射頻響分析，同時對沿球面?zhèn)鞑ゲ▌訂栴}的研究和非整數(shù)階勒讓德方程的求解有借鑒作用.

參考文獻(xiàn)：

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[4] 劉峰,唐香蓮,朱江.從振動波形研究貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)的漸近關(guān)系[J].大學(xué)物理,2009,28(8):11-14.