濾子Vs.格值濾子

張 輝,李令強(qiáng),孟廣武,湯建鋼

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059;2.伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

1 預(yù)備知識(shí)

濾子是研究拓?fù)涞幕竟ぞ咧籟1]. 類(lèi)似的,格值濾子在格值拓?fù)涞难芯恐幸财鸬搅酥陵P(guān)重要的作用. 近年來(lái),以強(qiáng)化的預(yù)幺半群L作為基本格結(jié)構(gòu)的格值(或者多值)拓?fù)淅碚撘云渑c多值邏輯的密切聯(lián)系而受到越來(lái)越多的關(guān)注[2-10]. 本文詳細(xì)討論了濾子與L-濾子之間的關(guān)系.這對(duì)研究拓?fù)渑c多值拓?fù)浼捌涫諗恐g的關(guān)系具有重要的意義.

稱(chēng)三元組(L,≤,*)為一個(gè)GL-幺半群,其中(L,≤)是一個(gè)完備格,1和0分別為其最大元和最小元,*是L上的二元運(yùn)算滿(mǎn)足如下性質(zhì)[2,5]:

(GL1)?α∈L,α*1=α;

(GL2)?α,β∈L,α*β=β*α;

(GL3)?α,β,γ∈L,α*(β*γ)=(α*β)*γ;

(GL4)若α≤β則存在γ∈L使得α=β*γ(可除性);

(GL5)α*∨j∈Jβj=∨j∈J(α*βj).

由于*對(duì)任意并是分配的,那么映射α*(-):L→L必有一個(gè)右伴隨映射α→(-):L→L,α→β=∨{γ∈L|α*γ≤β}.

運(yùn)算→稱(chēng)為*的剩余運(yùn)算. 下面的引理歸納了*與→的一些常見(jiàn)性質(zhì).

引理1 設(shè)(L,≤,*)為GL-幺半群,則

(I1)0*α=0,1→α=α;

(I2)α→β=1?α≤β;

(I3)α*(α→β)≤β,(α→β)*(β→γ)≤α→γ;

(I4)α→(β→γ)=(α*β)→γ=β→(α→γ);

(I5)α≤(α→β)→β;

(I6)(∨j∈Jαj)→β=∧j∈J(αj→β);

(I7)α→(∧j∈Jβj)=∧j∈J(α→βj);

(I8)α≤β?α→γ≥β→γ,γ→α≤γ→β.

引理2[5]設(shè)(L,≤,*)為GL-幺半群,?α∈L,B?L有α∧(∨B)=∨β∈B(α∧β).

即,完備格L是一個(gè)frame.

稱(chēng)三元組(L,≤,?)是一個(gè)預(yù)幺半群,其中(L,≤)是完備格,?是L上的一個(gè)二元運(yùn)算滿(mǎn)足如下公理[2]: (CL1)α≤α?1,α≤1?α;(CL2)α≤β,γ≤δ?α?γ≤β?δ;(CL3)對(duì)任意非空集族{βj|j∈J},α?∨j∈Jβj=∨j∈J(α?β),(∨j∈Jβj)?α=∨j∈J(βj?α).

注意到二元運(yùn)算?不一定是可交換的,可結(jié)合的.(CL3)中的分配性也只針對(duì)非空并.顯然,GL-幺半群一定是預(yù)幺半群,反之則不一定成立.

稱(chēng)四元組(L,≤,?,*)為強(qiáng)化的預(yù)幺半群,其中(L,≤,?)為預(yù)幺半群,(L,≤,*)為GL-幺半群且滿(mǎn)足如下公理:

(ECL)對(duì)?α1,α2,β1,β2∈L, (α1?β1)*(α2?β2)≤(α1*α2)?(β1*β2).

若(L,≤,∧)是一個(gè)frame,(L,≤,*)是GL-幺半群,那么(L,≤,*,*)和(L,≤,∧,*)都是強(qiáng)化的預(yù)幺半群. 更多的例子請(qǐng)參考文獻(xiàn)[2].

設(shè)X是一個(gè)集合,(L,≤,?,*)是強(qiáng)化的預(yù)幺半群.記X上的所有L-集子集為L(zhǎng)X,則L上的運(yùn)算*,→,∧,∨,?可以以逐點(diǎn)的方式傳遞到LX上:任取λ,μ∈LX,R?LX,

(λ*μ)(x)=λ(x)*μ(x);(λ→μ)(x)=λ(x)→μ(x);(λ?μ)(x)=λ(x)?μ(x);(∨R)(x)=∨μ∈Rμ(x);(∧R)(x)=∧μ∈Rμ(x).

2 濾子與L-濾子

定義1[2,5]稱(chēng)映射F:LX→L為集合X上滿(mǎn)層的L-濾子,若?λ,μ∈LX,α∈L:

(LF1)F(0X)=0X,F(1X)=1X; (LF2)λ≤μ?F(λ)≤F(μ);(LF3)F(λ)?F(μ)≤F(λ?μ); (LF4)?α∈L,α*F(λ)≤F(αX*λ).

例(1) 對(duì)集合X上的每一個(gè)點(diǎn)x,映射[x]:LX→L,[x](λ)=λ(x)為X上滿(mǎn)層的L-濾子,稱(chēng)為由x生成的主L-濾子.

接下來(lái)考慮Γ(X)與FLs(X)之間的2個(gè)對(duì)應(yīng).

對(duì)F∈FLs(X),規(guī)定ΦF={A?X|F(1A)=1}.

對(duì)F∈Γ(X),規(guī)定FF(λ)=∨{α|λα∈F},其中λα={x|λ(x)≥α}.

證明(1)由(LF1)可知X∈ΦF且??ΦF.若A∈ΦF,A?B則由(LF2)我們有F(1B)≥F(1A)=1,也就是說(shuō),B∈ΦF.設(shè)A,B∈ΦF,由于1是(L,≤,?)的單位元,故F(1A∩B)=F(1A?1B).又由(LF3)得F(1A∩B)=F(1A?1B)≥F(1A)?F(1B)=1,即A∩B∈ΦF.從而得證ΦF∈Γ(X).

(3) 設(shè)A∈ΦF,F≤H,則H(1A)≥F(1A)=1從而A∈ΦH.

(4) 由下面的等價(jià)立得:A∈ΦF∧H?(F∧ H)(1A)=1?F(1A)∧H(1A)=1?A∈ΦF∧ΦH.

(5) 設(shè)A∈Φf(F),則F(1A°f)=f(F)(1A)=1. 注意到1A°f=f-1(A)∈ΦF,又因?yàn)閒(f-1(A))?A,故A∈f(ΦF).相反地,設(shè)A∈f(ΦF),則必存在一個(gè)B∈ΦF使得f(B)?A.這意味著B(niǎo)?f-1(A)=1A°f∈ΦF,換言之,F(1A°f)=f(F)(1A)=1,因此A∈Φf(F).

在下文中,當(dāng)涉及ΦF時(shí),總假設(shè)1是(L,≤,?)的單位元.

命題2 設(shè)F,S∈Γ(X),x∈X,f:X→Y.則

證明(1)(LF1):?α∈L,由于(1X)α=X∈F,(0X)α=??F,故FF(1X)=1且FF(0X)=0.

(LF2): 當(dāng)λ≤μ時(shí),λα?μα.因此若λα∈F則μα∈F.故FF(λ)=∨{α|λα∈F}≤∨{β|μβ∈F}=FF(μ).

(LF3):設(shè)λα,μβ∈F,那么由(λ?μ)α?β?λα?β∩μα?β∈F得(λ?μ)α?β∈F. 故

FF(λ)?FF(μ)=∨{α|λα∈F}?∨{β|μβ∈F}=∨{α?β|λα∈F,μβ∈F}≤∨{α?β|(λ?μ)α?β∈F}≤∨{γ|(λ?μ)γ∈F}=FF(λ?μ).

(LFs): 由λβ?(αX*λ)α*β得λβ∈F?(αX*λ)α*β∈F成立. 從而

α*FF(λ)=α*∨{β|λβ∈F}=∨{α*β|λβ∈F}≤∨{α*β|(αX*λ)α*β∈F}≤∨{γ|(αX*λ)γ∈F}=FF(αX*λ).

(3) 任取λ∈LX,有FF(λ)=∨{α|λα∈F≤S}≤∨{α|λα∈S}≤FS(λ).

(4) 任取λ∈LX,由引理2得,

FF(λ)∧FS(λ)=∨{α|λα∈F}∧∨{β|λβ∈S}=∨{α∧β|λα∈F,λβ∈S}≤∨{α∧β|λα∧β∈F∧S}≤∨{γ|λγ∈F∧S}=FF∧S(λ).

由式(3)得FF∧FS(λ)≥F(F∧S)(λ).從而結(jié)論得證.

(5) 任取μ∈LY,有f(FF)(μ)=FF(μ°f)=∨{β|(μ°f)β∈F}=∨{β|μβ∈f(F)}=Ff(F)(μ).

接下來(lái),給出上述構(gòu)造與H?hle[2]的構(gòu)造FF之間的關(guān)系:設(shè)F∈Γ(X),定義FF如下

定理1 若F∈Γ(X),則FF=FF.

證明(1) 任取λ∈LX,易見(jiàn)λ=∨β∈L(βX*1λβ). 從而FΦH(λ)=∨{β|λβ∈ΦH}=∨{β|H(1λβ)=1}.對(duì)任意α∈L,若H(1λα)=1則H(λ)=H(∨β∈L(βX*1λβ))≥H(αX*1λα)≥α*H(1λα)=α*1=α.

又由α的任意性得FΦH(λ)≤H(λ).

(2) 由下面的等價(jià)立得:

A∈ΦFF?∨{α|(1A)α=A∈F}=1?A∈F.

下面的定理說(shuō)明了ΦF是含在F中的最大的濾子.

證明由上面的定理得FΦF≤F,從而ΦF≤∨{S|FS≤F }.另一方面,對(duì)每一個(gè)S滿(mǎn)足FS≤F且A∈S我們有F(1A)≥FS(1A)=1,于是,A∈ΦF.因此由S的任意性,ΦF≥∨{S|FS≤F }.

3 對(duì)角濾子與對(duì)角L-濾子

對(duì)角(L-)濾子在(模糊)拓?fù)鋵W(xué)中的作用十分重要.一方面,它可以用來(lái)刻畫(huà)收斂結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫訹10],另一方面它也可以用來(lái)刻畫(huà)正則性[4]. 本節(jié)我們將研究對(duì)角濾子與對(duì)角(滿(mǎn)層的)L-濾子之間的關(guān)系.

設(shè)L是完備格,x,y∈L.如果對(duì)所有的定向子集D?L,總有y≤supD蘊(yùn)含著d∈D使得x≤d,則稱(chēng)x-waybelowy,記作x?y.記x={y∈L|y?x},若對(duì)所有x∈L都有x=supx,則稱(chēng)完備格L是連續(xù)的.連續(xù)格L上的?關(guān)系滿(mǎn)足如下性質(zhì):對(duì)于任意定向子集D,若x?z≤supD,則存在d∈D使得x?d[12].

kLFφFF(λ)≤{α|λα∈kφF}=FkφF(λ).

4 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了經(jīng)典濾子與多值濾子之間的聯(lián)系,這為進(jìn)一步研究經(jīng)典拓?fù)渑c多值拓?fù)鋄2,6]關(guān)系奠定了基礎(chǔ). 在將來(lái)的工作中,我們將通過(guò)(多值)濾子的收斂來(lái)研究經(jīng)典拓?fù)湫再|(zhì)(比如緊、分離、連通、正則)與多值拓?fù)湫再|(zhì)之間的聯(lián)系.

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