級數逼近法求解一類R-L分數階積分方程

張盼盼,張 倩,韓惠麗

(寧夏大學數學計算機學院,寧夏 銀川 750021)

分數階微積分是一個古老而又新鮮的概念.早在整數階微積分創(chuàng)立的初期,就有像L’Hospital, Leibniz等這樣的數學家開始考慮分數階微積分的定義. 一般地, 具有分形幾何特性的函數均存在分數階導數, 所以說分數階微積分是描述反常物理現象的一種強有力工具. 近年來分數階微積分被廣泛地應用于流體力學、粘彈性阻尼器、混沌現象等反常問題[1-2], 這些問題經過建模后得到的方程大多數都是分數階積分方程甚至是分數階積分微分方程[3-4]. 但由于分數階微積分具有歷史依賴性與全域相關性的特點,增加了分數階方程的求解難度, 分數階積分方程的求解更是眾多學者所關注的問題.

泰勒級數是求解積分方程及積分微分方程的有力工具, 文獻[5-7]分別利用泰勒級數求解Volterra、Fredholm及非線性的Volterra-Fredholm積分方程; 文獻[8]利用泰勒級數求解一類分數階積分微分方程. 然而, 迄今為止分數階積分方程數值理論研究還處于萌芽狀態(tài),文獻[9]利用R-L分數階積分定義特點, 將分數階積分算子離散化,并求得一類方程的數值解; 文獻[10]利用Haar小波方法求得分數階Volterra積分方程的數值解. 受上述文獻的啟發(fā), 本文給出分數階積分方程的另一種數值解法, 即利用泰勒級數將分數階積分方程轉化為線性方程組,利用Cramaer法則求得原方程的數值解,并以數值算例驗證該算法有效性.

1 預備知識

定義[1]設f(x)∈L[a,b],α>0. 則稱

(1)

為Riemann-Liouville分數階積分, 其中t∈[a,b],Γ(α)為Gamma函數.

引理[6]u(x)在[a,b]上可導, 若u(k)(a)=0,k=0,1,…,n-1, 且m≤u(n)(a)≤M, 則

(2)

定理若函數u(x)在[a,b]上n+1階連續(xù)可導, 則對于任意x,x0∈[a,b], 有

(3)

其中:Rn(x)→0(x→x0,n→∞)

證明由條件知u(x)具有n+1階連續(xù)導數, 所以u(n+1)(x)在[a,b]上連續(xù). 此時, 必存在常數A,B, 使得A≤u(n+1)(x)≤B, 令

易見,Rn(x)→0(x→x0,n→∞).

2 主要結果

對分數階積分方程

(4)

經變形有

(5)

由上述定理知,

(6)

即

(7)

將式(7)代入方程(5), 得

整理得

令

則有

a00(x)u(x)+a01(x)u'(x)+…+a0n(x)u(n)(x)=f(x).

(8)

式(8)是關于未知函數u(x)的沒有初始條件的n階線性常微分方程, 所以解微分方程求u(x)的辦法不可行. 我們試圖構造另外n個關于u(x)的n階線性常微分方程, 然后解方程組求解未知函數. 為此, 利用Leibniz求導公式對方程(5)兩端關于變量x求導,

(9)

將式(6)代入式(9)并整理得

則有

a10(x)u(x)+a11(x)u'(x)+…+a1n(x)u(n)(x)=f'(x).

(10)

重復上面的步驟, 可得

ai0(x)u(x)+ai1(x)u'(x)+…+ain(x)u(n)(x)=f(i)(x).

(11)

其中

i=1,2,…,n；j=0,1,…,n.

由此, 得到關于u(x),u'(x),…,u(n)(x)的方程組

AU=F,

其中

只要矩陣A可逆, 利用Cramer法則, 就可求解未知函數u(x). 為此, 我們對矩陣A進行可逆性分析.

經驗證, 上式右端的行列式的值不為0. 因此, 當x≠a時,|A|≠0, 即矩陣A可逆. 由Cramer法則得

u(x)=det(M)/det(A),

其中:

圖1 數值解與解析解的比較

3 數值算例

求解分數階積分方程

(12)

為了檢驗本文逼近算法的有效性及優(yōu)越性,表1給出方程(12)的解析解及對應的絕對誤差.

表1 方程(12)的誤差估計

若采用文獻[9]的數值逼近算法，方程(12)數值解的絕對誤差大致在1×10-3左右，而本文給出的算法雖然簡單，但當n取到很小的值時就能獲得很好的逼近效果.

參考文獻:

[1]陳文,孫洪文,李西成. 力學與工程問題的分數階導數建模[M]. 北京: 科學出版社, 2010.

[2]郭柏靈,蒲學科,黃鳳輝. 分數階偏微分方程及其數值解[M]. 北京: 科學出版社, 2011.

[3]Podlubny I. Fractional Differential Equation[M]. New York: Academic Press, 1999.

[4]Almeida R, Torres D F M. Calculus of variations with fractional ferivatives and fractional Integrals[J]. Appl Math Lett,2009,22(12): 1816-1820.

[5]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of Volterra integral equations of the second kind with convolution kernel by using Taylor series expansion method[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,161(3): 915-922.

[6]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using a Taylor series expansion method [J]. Applied Mathematics and Computation,2006,175(2): 1229-1234.

[7]Yalcinbas S. Taylor polynomial solutions of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations[J]. Applied Mathematics and Computation,2002,127(3): 195-206.

[8]Huang Li, Li Xianfang. Approximate solution of fracional integro-differential equations by Taylor expansion method[J]. Computer Math Appl, 2011,24(62): 1127-1134.

[9]Shakoor P, Ricardo A, Delfim F M T. Approximation of fractional integrals by means of derivatives[J]. Computer Math Appl,2012,64(13): 3090-3100.

[10]朱雙云,苗福生,韓惠麗. 分數階第一類Volterra積分方程小波解法[J]. 寧夏大學學報: 自然科學版,2012,33(2): 130-134.