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    基于圖論模型的快遞員最優(yōu)投遞路線設計

    2014-08-02 01:21時文俊
    商場現(xiàn)代化 2014年14期
    關鍵詞:權數(shù)

    時文俊

    摘 要:隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)購”的流行,導致快遞員派送快件的工作量增大。本文根據(jù)快遞員投遞快件的實際問題建立圖論模型,利用圖論中求歐拉回路的算法,為快遞員設計最優(yōu)投遞路線,從而節(jié)約快遞員的工作時間,減少其勞動強度,提高勞動效率。

    關鍵詞:歐拉圖;歐拉回路;權數(shù)

    圖論是以圖為研究對象的數(shù)學分支,近年來發(fā)展迅速,應用非常廣泛. 它已經(jīng)廣泛地應用在物理學、化學、控制論、信息科學、科學管理、電子計算機等各個領域. 在實際生活、生產(chǎn)和科學研究中,有很多問題都可以用圖論的理論和方法來解決。

    隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)上購物”成為時下比較流行的一種購物方式,它有著價格比實體店優(yōu)惠、購物不受時間限制、方便、快捷的優(yōu)點,還可以送過貨上門,足不出戶就能買到所需要的物品. 網(wǎng)上購物的流行,促使了快遞行業(yè)的快速發(fā)展,“快遞”成了婦孺皆知的詞語了,但這也無疑加大了快遞員的工作量. 本文根據(jù)實際問題建立圖論模型,利用圖論的理論和方法設計合理的投遞路線,以減少快遞員的工作時間和勞動強度,提高其勞動效率。

    一、圖論概念介紹

    定義1. 1稱數(shù)學結(jié)構■為一有向圖,其中V(G)是非空集合,■是從集合E(G)到V(G)×V(G)的一個映射。稱V(G)和E(G)分別為圖G的頂點集合和邊集合,■為G的關聯(lián)函數(shù). 若■,則簡寫成e=uv,稱u是有向邊e的尾,v為有向邊e的頭。 若圖G為無向圖,e=uv時,稱頂點u與v是邊e的端點。 若■,稱e1與e2是重邊。

    定義1. 2在頂邊交錯鏈■中,■■■且■,則稱W是圖G的一條道路,其中允許vi=vj或ei=ej,i≠j,稱Vo是W的起點,Vk是W的終點,K為路長,■稱為W的內(nèi)點。 各邊相異的道路稱為行跡,各頂相異的道路稱為軌道,記成P(Vo,Vk),起點與終點重合的道路稱為回路,起點與終點重合的軌道叫圈,長K的圈稱為K階圈;u,v兩頂?shù)木嚯x是指u與v為起止點的最短軌道的長度,記成d(u,v),若存在道路以u,v為起止頂,則稱u與v在圖G中連通,G中任二頂皆連通時,稱G為連通圖。

    定義1. 3 設G是連通的無向圖,在圖G中包含一切邊的行跡叫做歐拉行跡,包含一切邊的閉行跡叫做歐拉回路。若G中存在歐拉回路,則稱G為歐拉圖。

    定理1. 1連通圖G是歐拉圖的充分必要條件是對任意的V∈V(G),d(v)是偶數(shù),其中d(v)表示v的次數(shù),即與v相關聯(lián)的邊數(shù)。

    定義1. 4圖G中的橋是指G中的一邊e∈E(G),使得G-e的連通分支數(shù)增加。

    二、模型的建立

    這個問題的實際模型為:快遞員從快遞公司選好快件去投遞,然后返回快遞公司,他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,為這位快遞員設計一條投遞線路,使其行走的路程最短,耗時最少。

    該問題的圖論模型為:把快遞員所負責的投遞區(qū)域看成一個加權的連通圖G,其頂點為街道的交叉口,邊為每條街道,權為每條街道的長度(正數(shù))??爝f員的最優(yōu)投遞路線即為求G的一個包含一切邊(至少一次)的回路W,使這條回路W的總權數(shù)最小. 若對G中對每條邊e∈E(G),用一非負實數(shù)w(e)表示其權,求G的包含一切邊的回路W,使得W的總權數(shù)■。

    三、問題的解決

    1.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是歐拉圖若快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊DG是歐拉圖,根據(jù)定義1. 3,G中必含有歐拉回路,即包含G的一切邊的閉行跡. 那么所求的最優(yōu)投遞路線就是G的一條歐拉回路。

    根據(jù)定理1. 1,如果某快遞員所負責的投遞區(qū)域的街道圖中沒有奇頂點(頂點的次數(shù)是奇數(shù)),那么他就可以從快遞公司出發(fā),經(jīng)過每個街道一次,且僅一次,最后回到快遞公司。

    盡管由定理1. 1可以很輕松地判定給定的街道圖是否為歐拉圖,但如果沿著一條隨意的路線走,也是無法找到歐拉回路的. 假如街道圖如圖1,如果按照圖中箭頭所示的方向從頂點V6出發(fā)走了3步以后,就無法再進行下去了。其失敗的原因是用了V6V5邊之后,在未用過的邊的導出子圖中V5V7是橋,提前過橋的后果是斷了去左側(cè)的5-圈的后路。

    因此,非必要時,不要通過未用過的邊的導出子圖的橋,根據(jù)這一思路,1921年,F(xiàn)leury設計了一個求歐拉回路的有效算法,簡記為FE算法:

    (1)任取■,令Wo=Vo,

    (2)設路■已選定,則從E(G)-E(W)中選一條邊ei+1,使得ei+1與vi相關聯(lián),且非必要時,ei+1不要選G-E(W)的橋。

    (3)反復執(zhí)行(2),直至每邊皆入選為止。

    FE算法是有效算法,其時間復雜度為■

    用FE算法在圖1中可選得一條符合條件的最優(yōu)路,即歐拉回路:■。但符合條件的歐拉回路并不唯一,■也是滿足條件的一條歐拉回路。

    2.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是非歐拉圖

    因為所對應的街道圖是非歐拉圖,而快遞員要從快遞公司出發(fā),他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,并回到快遞公司,因此有些街道要走不止一次。重復走某條街道相當于在街道圖中為該街道添加一條重邊。問題轉(zhuǎn)化為在圖中添加一些重邊,構造成一個歐拉圖并且要求添加的重邊的權數(shù)之和最小。

    把一個非歐拉圖通過添加重邊變成歐拉圖,也就是通過添加重邊把圖中每個頂點的度數(shù)均變?yōu)榕紨?shù)。因此,在添加重邊時,很明顯應該選擇某個奇度頂點為端點添加重邊,如果重邊的另一端點也是奇度頂點,那么這條重邊將這兩個奇度頂點均變?yōu)榕级软旤c;如果重邊的另一端點是偶度頂點,則添加重邊后,還必須從偶度頂點出發(fā)再添加一條重邊與其他一個奇度頂點相連,因為原來的偶度頂點又變成了奇度頂點。

    添加重邊時還要注意兩個原則:(1)不能重復添加重邊,重復的重邊應成對去掉,這樣并不改變每一個頂點的奇偶性;(2)每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,否則應將此圈上添加的重邊去掉,改在此圈上原來沒有添加重邊的路線上添加重邊,這樣也不改變每一個頂點的奇偶性。

    以上兩個原則既保證了添加重邊后每個頂點都是偶度頂點,又保證了添加重邊的總長最短。因此,添加重邊后的街道圖必存在歐拉回路。根據(jù)FE算法,即可找到滿足條件的最優(yōu)線路。下面看一具體的例子。

    假設某快遞公司的某快遞員負責的投遞范圍為鄭州市二七區(qū)的中原路以南、隴海路以北、大學路以西、嵩山路以東的范圍. 以街道的交叉口為頂點,街道為邊,街道的長度(單位:百米)為權數(shù)建立一個加權圖,如圖2所示。

    在這個圖中,街道的交叉點共有16個,但三次點有12個,因此要想構造出歐拉圖,需要添加的重邊至少有6條。根據(jù)添加重邊的原則,每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,根據(jù)街道圖的特點,圖中包含的圈比較多,但很明顯,大圈之中包含著小圈,故只要每個小圈中添加的重邊的權數(shù)不超過圈長的一半,那么在大圈中必然也滿足添加重邊的權數(shù)不超過圈長的一半。因此,我們?nèi)菀椎玫綀D3、圖4兩種添加重邊的方案,

    圖3的方案是從N 點出發(fā)增加3條重邊,最終將街道圖的每個頂點均為偶度頂點,圖4的方案是添加重邊IJ ,把頂點J 變成了奇度頂點,再添加重邊JK 將J,K 均變?yōu)榕级软旤c。根據(jù)各邊的權數(shù)大小,可知這兩種方案添加的重邊的權數(shù)之和是相等的,也是最小的。 假設快遞公司在N 點,從圖3、圖4中,可分別找到一條歐拉回路:

    (1)NQFEDPBCDEONMLKABPONMHILKJIHON

    (2)NOPBCDEFQHIJKABPDEONMLIJKLMHQN

    快遞員沿著這兩條路線派送快件,即是最優(yōu)路線。 由于FE算法中,歐拉回路不唯一,所以快遞員派送快件的最優(yōu)路線也不唯一。

    參考文獻:

    [1]王樹禾.圖論[M].北京:科學出版社,2009.

    [2]王桂平,王衍,任嘉辰.圖論算法理論、實現(xiàn)及應用[M].北京:北京大學出版社,2011.

    [3]徐俊明.圖論及其應用[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2010.endprint

    摘 要:隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)購”的流行,導致快遞員派送快件的工作量增大。本文根據(jù)快遞員投遞快件的實際問題建立圖論模型,利用圖論中求歐拉回路的算法,為快遞員設計最優(yōu)投遞路線,從而節(jié)約快遞員的工作時間,減少其勞動強度,提高勞動效率。

    關鍵詞:歐拉圖;歐拉回路;權數(shù)

    圖論是以圖為研究對象的數(shù)學分支,近年來發(fā)展迅速,應用非常廣泛. 它已經(jīng)廣泛地應用在物理學、化學、控制論、信息科學、科學管理、電子計算機等各個領域. 在實際生活、生產(chǎn)和科學研究中,有很多問題都可以用圖論的理論和方法來解決。

    隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)上購物”成為時下比較流行的一種購物方式,它有著價格比實體店優(yōu)惠、購物不受時間限制、方便、快捷的優(yōu)點,還可以送過貨上門,足不出戶就能買到所需要的物品. 網(wǎng)上購物的流行,促使了快遞行業(yè)的快速發(fā)展,“快遞”成了婦孺皆知的詞語了,但這也無疑加大了快遞員的工作量. 本文根據(jù)實際問題建立圖論模型,利用圖論的理論和方法設計合理的投遞路線,以減少快遞員的工作時間和勞動強度,提高其勞動效率。

    一、圖論概念介紹

    定義1. 1稱數(shù)學結(jié)構■為一有向圖,其中V(G)是非空集合,■是從集合E(G)到V(G)×V(G)的一個映射。稱V(G)和E(G)分別為圖G的頂點集合和邊集合,■為G的關聯(lián)函數(shù). 若■,則簡寫成e=uv,稱u是有向邊e的尾,v為有向邊e的頭。 若圖G為無向圖,e=uv時,稱頂點u與v是邊e的端點。 若■,稱e1與e2是重邊。

    定義1. 2在頂邊交錯鏈■中,■■■且■,則稱W是圖G的一條道路,其中允許vi=vj或ei=ej,i≠j,稱Vo是W的起點,Vk是W的終點,K為路長,■稱為W的內(nèi)點。 各邊相異的道路稱為行跡,各頂相異的道路稱為軌道,記成P(Vo,Vk),起點與終點重合的道路稱為回路,起點與終點重合的軌道叫圈,長K的圈稱為K階圈;u,v兩頂?shù)木嚯x是指u與v為起止點的最短軌道的長度,記成d(u,v),若存在道路以u,v為起止頂,則稱u與v在圖G中連通,G中任二頂皆連通時,稱G為連通圖。

    定義1. 3 設G是連通的無向圖,在圖G中包含一切邊的行跡叫做歐拉行跡,包含一切邊的閉行跡叫做歐拉回路。若G中存在歐拉回路,則稱G為歐拉圖。

    定理1. 1連通圖G是歐拉圖的充分必要條件是對任意的V∈V(G),d(v)是偶數(shù),其中d(v)表示v的次數(shù),即與v相關聯(lián)的邊數(shù)。

    定義1. 4圖G中的橋是指G中的一邊e∈E(G),使得G-e的連通分支數(shù)增加。

    二、模型的建立

    這個問題的實際模型為:快遞員從快遞公司選好快件去投遞,然后返回快遞公司,他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,為這位快遞員設計一條投遞線路,使其行走的路程最短,耗時最少。

    該問題的圖論模型為:把快遞員所負責的投遞區(qū)域看成一個加權的連通圖G,其頂點為街道的交叉口,邊為每條街道,權為每條街道的長度(正數(shù))??爝f員的最優(yōu)投遞路線即為求G的一個包含一切邊(至少一次)的回路W,使這條回路W的總權數(shù)最小. 若對G中對每條邊e∈E(G),用一非負實數(shù)w(e)表示其權,求G的包含一切邊的回路W,使得W的總權數(shù)■。

    三、問題的解決

    1.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是歐拉圖若快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊DG是歐拉圖,根據(jù)定義1. 3,G中必含有歐拉回路,即包含G的一切邊的閉行跡. 那么所求的最優(yōu)投遞路線就是G的一條歐拉回路。

    根據(jù)定理1. 1,如果某快遞員所負責的投遞區(qū)域的街道圖中沒有奇頂點(頂點的次數(shù)是奇數(shù)),那么他就可以從快遞公司出發(fā),經(jīng)過每個街道一次,且僅一次,最后回到快遞公司。

    盡管由定理1. 1可以很輕松地判定給定的街道圖是否為歐拉圖,但如果沿著一條隨意的路線走,也是無法找到歐拉回路的. 假如街道圖如圖1,如果按照圖中箭頭所示的方向從頂點V6出發(fā)走了3步以后,就無法再進行下去了。其失敗的原因是用了V6V5邊之后,在未用過的邊的導出子圖中V5V7是橋,提前過橋的后果是斷了去左側(cè)的5-圈的后路。

    因此,非必要時,不要通過未用過的邊的導出子圖的橋,根據(jù)這一思路,1921年,F(xiàn)leury設計了一個求歐拉回路的有效算法,簡記為FE算法:

    (1)任取■,令Wo=Vo,

    (2)設路■已選定,則從E(G)-E(W)中選一條邊ei+1,使得ei+1與vi相關聯(lián),且非必要時,ei+1不要選G-E(W)的橋。

    (3)反復執(zhí)行(2),直至每邊皆入選為止。

    FE算法是有效算法,其時間復雜度為■

    用FE算法在圖1中可選得一條符合條件的最優(yōu)路,即歐拉回路:■。但符合條件的歐拉回路并不唯一,■也是滿足條件的一條歐拉回路。

    2.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是非歐拉圖

    因為所對應的街道圖是非歐拉圖,而快遞員要從快遞公司出發(fā),他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,并回到快遞公司,因此有些街道要走不止一次。重復走某條街道相當于在街道圖中為該街道添加一條重邊。問題轉(zhuǎn)化為在圖中添加一些重邊,構造成一個歐拉圖并且要求添加的重邊的權數(shù)之和最小。

    把一個非歐拉圖通過添加重邊變成歐拉圖,也就是通過添加重邊把圖中每個頂點的度數(shù)均變?yōu)榕紨?shù)。因此,在添加重邊時,很明顯應該選擇某個奇度頂點為端點添加重邊,如果重邊的另一端點也是奇度頂點,那么這條重邊將這兩個奇度頂點均變?yōu)榕级软旤c;如果重邊的另一端點是偶度頂點,則添加重邊后,還必須從偶度頂點出發(fā)再添加一條重邊與其他一個奇度頂點相連,因為原來的偶度頂點又變成了奇度頂點。

    添加重邊時還要注意兩個原則:(1)不能重復添加重邊,重復的重邊應成對去掉,這樣并不改變每一個頂點的奇偶性;(2)每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,否則應將此圈上添加的重邊去掉,改在此圈上原來沒有添加重邊的路線上添加重邊,這樣也不改變每一個頂點的奇偶性。

    以上兩個原則既保證了添加重邊后每個頂點都是偶度頂點,又保證了添加重邊的總長最短。因此,添加重邊后的街道圖必存在歐拉回路。根據(jù)FE算法,即可找到滿足條件的最優(yōu)線路。下面看一具體的例子。

    假設某快遞公司的某快遞員負責的投遞范圍為鄭州市二七區(qū)的中原路以南、隴海路以北、大學路以西、嵩山路以東的范圍. 以街道的交叉口為頂點,街道為邊,街道的長度(單位:百米)為權數(shù)建立一個加權圖,如圖2所示。

    在這個圖中,街道的交叉點共有16個,但三次點有12個,因此要想構造出歐拉圖,需要添加的重邊至少有6條。根據(jù)添加重邊的原則,每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,根據(jù)街道圖的特點,圖中包含的圈比較多,但很明顯,大圈之中包含著小圈,故只要每個小圈中添加的重邊的權數(shù)不超過圈長的一半,那么在大圈中必然也滿足添加重邊的權數(shù)不超過圈長的一半。因此,我們?nèi)菀椎玫綀D3、圖4兩種添加重邊的方案,

    圖3的方案是從N 點出發(fā)增加3條重邊,最終將街道圖的每個頂點均為偶度頂點,圖4的方案是添加重邊IJ ,把頂點J 變成了奇度頂點,再添加重邊JK 將J,K 均變?yōu)榕级软旤c。根據(jù)各邊的權數(shù)大小,可知這兩種方案添加的重邊的權數(shù)之和是相等的,也是最小的。 假設快遞公司在N 點,從圖3、圖4中,可分別找到一條歐拉回路:

    (1)NQFEDPBCDEONMLKABPONMHILKJIHON

    (2)NOPBCDEFQHIJKABPDEONMLIJKLMHQN

    快遞員沿著這兩條路線派送快件,即是最優(yōu)路線。 由于FE算法中,歐拉回路不唯一,所以快遞員派送快件的最優(yōu)路線也不唯一。

    參考文獻:

    [1]王樹禾.圖論[M].北京:科學出版社,2009.

    [2]王桂平,王衍,任嘉辰.圖論算法理論、實現(xiàn)及應用[M].北京:北京大學出版社,2011.

    [3]徐俊明.圖論及其應用[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2010.endprint

    摘 要:隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)購”的流行,導致快遞員派送快件的工作量增大。本文根據(jù)快遞員投遞快件的實際問題建立圖論模型,利用圖論中求歐拉回路的算法,為快遞員設計最優(yōu)投遞路線,從而節(jié)約快遞員的工作時間,減少其勞動強度,提高勞動效率。

    關鍵詞:歐拉圖;歐拉回路;權數(shù)

    圖論是以圖為研究對象的數(shù)學分支,近年來發(fā)展迅速,應用非常廣泛. 它已經(jīng)廣泛地應用在物理學、化學、控制論、信息科學、科學管理、電子計算機等各個領域. 在實際生活、生產(chǎn)和科學研究中,有很多問題都可以用圖論的理論和方法來解決。

    隨著網(wǎng)絡的普及,“網(wǎng)上購物”成為時下比較流行的一種購物方式,它有著價格比實體店優(yōu)惠、購物不受時間限制、方便、快捷的優(yōu)點,還可以送過貨上門,足不出戶就能買到所需要的物品. 網(wǎng)上購物的流行,促使了快遞行業(yè)的快速發(fā)展,“快遞”成了婦孺皆知的詞語了,但這也無疑加大了快遞員的工作量. 本文根據(jù)實際問題建立圖論模型,利用圖論的理論和方法設計合理的投遞路線,以減少快遞員的工作時間和勞動強度,提高其勞動效率。

    一、圖論概念介紹

    定義1. 1稱數(shù)學結(jié)構■為一有向圖,其中V(G)是非空集合,■是從集合E(G)到V(G)×V(G)的一個映射。稱V(G)和E(G)分別為圖G的頂點集合和邊集合,■為G的關聯(lián)函數(shù). 若■,則簡寫成e=uv,稱u是有向邊e的尾,v為有向邊e的頭。 若圖G為無向圖,e=uv時,稱頂點u與v是邊e的端點。 若■,稱e1與e2是重邊。

    定義1. 2在頂邊交錯鏈■中,■■■且■,則稱W是圖G的一條道路,其中允許vi=vj或ei=ej,i≠j,稱Vo是W的起點,Vk是W的終點,K為路長,■稱為W的內(nèi)點。 各邊相異的道路稱為行跡,各頂相異的道路稱為軌道,記成P(Vo,Vk),起點與終點重合的道路稱為回路,起點與終點重合的軌道叫圈,長K的圈稱為K階圈;u,v兩頂?shù)木嚯x是指u與v為起止點的最短軌道的長度,記成d(u,v),若存在道路以u,v為起止頂,則稱u與v在圖G中連通,G中任二頂皆連通時,稱G為連通圖。

    定義1. 3 設G是連通的無向圖,在圖G中包含一切邊的行跡叫做歐拉行跡,包含一切邊的閉行跡叫做歐拉回路。若G中存在歐拉回路,則稱G為歐拉圖。

    定理1. 1連通圖G是歐拉圖的充分必要條件是對任意的V∈V(G),d(v)是偶數(shù),其中d(v)表示v的次數(shù),即與v相關聯(lián)的邊數(shù)。

    定義1. 4圖G中的橋是指G中的一邊e∈E(G),使得G-e的連通分支數(shù)增加。

    二、模型的建立

    這個問題的實際模型為:快遞員從快遞公司選好快件去投遞,然后返回快遞公司,他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,為這位快遞員設計一條投遞線路,使其行走的路程最短,耗時最少。

    該問題的圖論模型為:把快遞員所負責的投遞區(qū)域看成一個加權的連通圖G,其頂點為街道的交叉口,邊為每條街道,權為每條街道的長度(正數(shù))??爝f員的最優(yōu)投遞路線即為求G的一個包含一切邊(至少一次)的回路W,使這條回路W的總權數(shù)最小. 若對G中對每條邊e∈E(G),用一非負實數(shù)w(e)表示其權,求G的包含一切邊的回路W,使得W的總權數(shù)■。

    三、問題的解決

    1.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是歐拉圖若快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊DG是歐拉圖,根據(jù)定義1. 3,G中必含有歐拉回路,即包含G的一切邊的閉行跡. 那么所求的最優(yōu)投遞路線就是G的一條歐拉回路。

    根據(jù)定理1. 1,如果某快遞員所負責的投遞區(qū)域的街道圖中沒有奇頂點(頂點的次數(shù)是奇數(shù)),那么他就可以從快遞公司出發(fā),經(jīng)過每個街道一次,且僅一次,最后回到快遞公司。

    盡管由定理1. 1可以很輕松地判定給定的街道圖是否為歐拉圖,但如果沿著一條隨意的路線走,也是無法找到歐拉回路的. 假如街道圖如圖1,如果按照圖中箭頭所示的方向從頂點V6出發(fā)走了3步以后,就無法再進行下去了。其失敗的原因是用了V6V5邊之后,在未用過的邊的導出子圖中V5V7是橋,提前過橋的后果是斷了去左側(cè)的5-圈的后路。

    因此,非必要時,不要通過未用過的邊的導出子圖的橋,根據(jù)這一思路,1921年,F(xiàn)leury設計了一個求歐拉回路的有效算法,簡記為FE算法:

    (1)任取■,令Wo=Vo,

    (2)設路■已選定,則從E(G)-E(W)中選一條邊ei+1,使得ei+1與vi相關聯(lián),且非必要時,ei+1不要選G-E(W)的橋。

    (3)反復執(zhí)行(2),直至每邊皆入選為止。

    FE算法是有效算法,其時間復雜度為■

    用FE算法在圖1中可選得一條符合條件的最優(yōu)路,即歐拉回路:■。但符合條件的歐拉回路并不唯一,■也是滿足條件的一條歐拉回路。

    2.快遞員負責的投遞區(qū)域?qū)慕值缊D是非歐拉圖

    因為所對應的街道圖是非歐拉圖,而快遞員要從快遞公司出發(fā),他必須經(jīng)過由他負責投遞的每條街道至少一次,并回到快遞公司,因此有些街道要走不止一次。重復走某條街道相當于在街道圖中為該街道添加一條重邊。問題轉(zhuǎn)化為在圖中添加一些重邊,構造成一個歐拉圖并且要求添加的重邊的權數(shù)之和最小。

    把一個非歐拉圖通過添加重邊變成歐拉圖,也就是通過添加重邊把圖中每個頂點的度數(shù)均變?yōu)榕紨?shù)。因此,在添加重邊時,很明顯應該選擇某個奇度頂點為端點添加重邊,如果重邊的另一端點也是奇度頂點,那么這條重邊將這兩個奇度頂點均變?yōu)榕级软旤c;如果重邊的另一端點是偶度頂點,則添加重邊后,還必須從偶度頂點出發(fā)再添加一條重邊與其他一個奇度頂點相連,因為原來的偶度頂點又變成了奇度頂點。

    添加重邊時還要注意兩個原則:(1)不能重復添加重邊,重復的重邊應成對去掉,這樣并不改變每一個頂點的奇偶性;(2)每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,否則應將此圈上添加的重邊去掉,改在此圈上原來沒有添加重邊的路線上添加重邊,這樣也不改變每一個頂點的奇偶性。

    以上兩個原則既保證了添加重邊后每個頂點都是偶度頂點,又保證了添加重邊的總長最短。因此,添加重邊后的街道圖必存在歐拉回路。根據(jù)FE算法,即可找到滿足條件的最優(yōu)線路。下面看一具體的例子。

    假設某快遞公司的某快遞員負責的投遞范圍為鄭州市二七區(qū)的中原路以南、隴海路以北、大學路以西、嵩山路以東的范圍. 以街道的交叉口為頂點,街道為邊,街道的長度(單位:百米)為權數(shù)建立一個加權圖,如圖2所示。

    在這個圖中,街道的交叉點共有16個,但三次點有12個,因此要想構造出歐拉圖,需要添加的重邊至少有6條。根據(jù)添加重邊的原則,每一個圈上添加的重邊的總長不能超過圈長的一半,根據(jù)街道圖的特點,圖中包含的圈比較多,但很明顯,大圈之中包含著小圈,故只要每個小圈中添加的重邊的權數(shù)不超過圈長的一半,那么在大圈中必然也滿足添加重邊的權數(shù)不超過圈長的一半。因此,我們?nèi)菀椎玫綀D3、圖4兩種添加重邊的方案,

    圖3的方案是從N 點出發(fā)增加3條重邊,最終將街道圖的每個頂點均為偶度頂點,圖4的方案是添加重邊IJ ,把頂點J 變成了奇度頂點,再添加重邊JK 將J,K 均變?yōu)榕级软旤c。根據(jù)各邊的權數(shù)大小,可知這兩種方案添加的重邊的權數(shù)之和是相等的,也是最小的。 假設快遞公司在N 點,從圖3、圖4中,可分別找到一條歐拉回路:

    (1)NQFEDPBCDEONMLKABPONMHILKJIHON

    (2)NOPBCDEFQHIJKABPDEONMLIJKLMHQN

    快遞員沿著這兩條路線派送快件,即是最優(yōu)路線。 由于FE算法中,歐拉回路不唯一,所以快遞員派送快件的最優(yōu)路線也不唯一。

    參考文獻:

    [1]王樹禾.圖論[M].北京:科學出版社,2009.

    [2]王桂平,王衍,任嘉辰.圖論算法理論、實現(xiàn)及應用[M].北京:北京大學出版社,2011.

    [3]徐俊明.圖論及其應用[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2010.endprint

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