一維等溫歐拉方程組的Delta激波解

王 麗

（上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海201306）

一維等溫歐拉方程組可以寫(xiě)為如下形式：

式中，ρ為流體的密度；u為流體的速度；p為流體的壓強(qiáng)；e為流體的內(nèi)能；t為時(shí)間；x為變量。

式（1）中，壓強(qiáng)和音速c分別滿足p＝ρ和c＝1，且內(nèi)能滿足如下關(guān)系：

式中，S為流體的熵；R為常數(shù)[1]。

在流體動(dòng)力學(xué)的研究中，一般假定流體是定常、等熵或無(wú)旋的。然而，對(duì)流體做等溫的假設(shè)在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如通過(guò)安裝制冷設(shè)備使得管道流等溫，以減少壓縮的成本[2]。等溫歐拉方程組的重要性不僅體現(xiàn)在生產(chǎn)實(shí)踐中，它在理論上的應(yīng)用也頗為廣泛[3-6]。

在非線性雙曲守恒律的研究領(lǐng)域，黎曼問(wèn)題是非?；镜膯?wèn)題之一。不同學(xué)者借助不同的模型（如歐拉方程組、壓力-梯度方程、零壓氣體等）研究了黎曼問(wèn)題。一般來(lái)講，黎曼問(wèn)題的解包含中心波、激波和接觸間斷。本文將構(gòu)造另一種形式的黎曼解，即式（1）黎曼問(wèn)題的Delta激波解。關(guān)于Delta激波解，可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-13] 中的結(jié)果以及其中的參考文獻(xiàn)。

1 預(yù)備知識(shí)

式（1）的矩陣形式為

式（3）中的3個(gè)特征值為

故式（1）是嚴(yán)格雙曲的。式（3）相應(yīng)的右特征向量為

由式（4）、（5）知，

考慮式（1）帶有如下初值的黎曼問(wèn)題：

式中，l、r表示初值的左、右狀態(tài)。

黎曼問(wèn)題式（1）、（6）的解包含中心波、激波和接觸間斷，此處不做贅述。

2 一維等溫歐拉方程組的Delta激波解

考慮如下形式的Delta激波解：

式中，δ（x-x（t））為帶有支集x＝x（t）的標(biāo)準(zhǔn)狄利克雷測(cè)度；ω（t）為Delta激波x＝x（t）的權(quán)重。若式（7）、（8）是式（1）的一個(gè)測(cè)度解，則需滿足如下形式的Rankine-Hugoniot條件：

式中，p＝ρ。

式（9）的初值條件為

若（ρi，ui，ei）（i＝1，r）是常狀態(tài)，通過(guò)求解式（9）、（10），若ρr≠ρl時(shí)可得：

若ρr＝ρl，可得：

除滿足式（11）、（12），Delta激波解還需滿足如下的熵條件：

圖1所示為Delta激波解示意圖。

圖1 Delta激波解Fig.1 Delta shock wave solution

3 結(jié) 語(yǔ)

等溫歐拉方程組在工業(yè)實(shí)際中應(yīng)用廣泛，黎曼問(wèn)題是流體動(dòng)力學(xué)中非常重要的基本問(wèn)題。本文重點(diǎn)研究了Delta激波解的結(jié)構(gòu)，這也是目前研究的熱門(mén)領(lǐng)域。因此，本文在研究對(duì)象和研究的問(wèn)題上都頗具意義。

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