齒式橡膠聯(lián)軸器動力力學建模與分析

王 海， 溫建明

(同濟大學航空航天與力學學院，上海 200092)

0 引言

聯(lián)軸器是用來聯(lián)接兩軸或軸和回轉(zhuǎn)件的一種機械傳動部件，根據(jù)是否引入彈性元件，可分為剛性聯(lián)軸器和彈性聯(lián)軸器。彈性聯(lián)軸器具有能產(chǎn)生一定的彈性變形和阻尼作用的彈性元件，不但能補償兩軸間的相對位移，還能起緩沖和減振作用［1］。

目前，分析聯(lián)軸器減振性能主要采用基于線剛度和黏性阻尼系數(shù)的線性模型，文獻［1］中詳細論述了該模型下彈性聯(lián)軸器在簡諧載荷和沖擊載荷作用下的動力特性計算。針對彈性聯(lián)軸器的非線性特點，馬建敏以彈性聯(lián)軸器聯(lián)接的兩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，分別討論了聯(lián)軸器非線性剛度、非線性阻尼對系統(tǒng)在沖擊荷載下扭振響應的影響［2-3］。而在彈性聯(lián)軸器數(shù)學建模方面，龔憲生針對船舶用鋼絲繩彈性聯(lián)軸器進行一系列的工作［4-6］，采用擬合分解法以及阻尼等效原理對大撓度彈性聯(lián)軸器振動試驗數(shù)據(jù)進行處理，建立了一個與振動位移幅值有關(guān)的非線性遲滯恢復力數(shù)學模型。左時倫在對聯(lián)軸器進行動態(tài)試驗所得數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上導出了聯(lián)軸器動態(tài)剛度的一個定量公式，公式表明動態(tài)剛度是平均轉(zhuǎn)矩的強函數(shù)，動態(tài)剛度并非振動頻率的強函數(shù)［7］。

在前人研究的基礎(chǔ)上，采用有限元技術(shù)和理論分析相結(jié)合的方法，建立了一款齒式橡膠彈性聯(lián)軸器恢復力模型，進而建立聯(lián)軸器軸系的動力學方程，分析了聯(lián)軸器的幅頻特性以及扭矩傳遞系數(shù)。

1 聯(lián)軸器橡膠元件的有限元分析

圖1是工程中常用的一款HRC 150橡膠聯(lián)軸器，因是一循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)，可以選取對稱單元來分析。為簡化計算，有限元分析最終采用圖2所示模型，圖2中1號、2號是橡膠片，尺寸都為(44×40×10)mm3，密度為1 650 kg/m3，3、4 號和 5 號是剛性片。

考慮到橡膠加入了炭黑和工作于有限變形狀態(tài)，其松弛率并非與應力成正比，選用J.S.Bergstrom和M.C.Boyce提出的現(xiàn)象學本構(gòu)模型來模擬橡膠材料有限變形時的時間依賴特性，在Abaqus中該模型以關(guān)鍵詞*Hyperelastic和*Hysteresis定義。

超彈模型(Hyperelastic)選用Arruda-Boyce模型

圖1 HRC 150聯(lián)軸器

圖2 橡膠元件有限元計算模型

遲滯模型(Hysteresis)Arruda-Boyce模型中取參數(shù) μ =0.6 MPa，遲滯模型取參數(shù) B=0.555 6 MPa－4s－1，m=4.0，n=－0.1;此外，遲滯模型還需用參數(shù)S來定義超彈模型和遲滯模型中瞬時彈性力比率，取S=1.6。分析程序選用Dynamic，上下邊界固定，中間邊界施加簡諧位移激勵s=Asin(2πωt)，幅值 A 分別取 0.2、0.4、0.6、0.8、1.0 和 1.2 mm，頻率 ω 取 15、20、25、30、50、70、100 和 150 Hz，共 48 個載荷，可以滿足聯(lián)軸器工作時最大變形和最高頻率的要求。有限元分析采用C3D8R單元，把中間邊界上參考點的y方向節(jié)點力作為時間變量(History Output)輸出。分別提取各工況下Abaqus計算的恢復力、位移數(shù)據(jù)，得到滯回曲線如圖3所示。

圖3 橡膠元件的遲滯回線圖

相比于通過對橡膠彈性聯(lián)軸器進行實驗來建立其恢復力數(shù)學模型，有限元方法只需對橡膠材料的標準件進行實驗，得到材料本構(gòu)的參數(shù)即可，周期短，代價小，并且，模型修改起來也很方便，針對大量不同類型的聯(lián)軸器分析更具優(yōu)勢。

圖4 恢復力分解為非遲滯力和遲滯力

2 橡膠元件力學模型的建立

橡膠彈性元件的遲滯恢復力-位移曲線關(guān)于原點對稱，由上下兩條組成，并與速度有關(guān)，即

如圖4，可以把遲滯回線分解為關(guān)于原點對稱的冪函數(shù)曲線和以原點為中心的橢圓函數(shù)曲線的疊加。

冪函數(shù)曲線fk=(fU+fL)/2，表示非遲滯力;類橢圓函數(shù)曲線fk=(fU－fL)/2(上支)、fk=(fL－fU)/2(下支)，表示純遲滯力。由于分解出的冪函數(shù)曲線隨位移的變化規(guī)律接近線性，采用fk=k(A，ω)x來擬合，阻尼力采用等效阻尼形式fc=c(A，ω)˙x，這里的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)是振幅A和頻率ω的函數(shù)。最終，采用最小二乘法擬合得到橡膠元件的恢復力數(shù)學模型為

由經(jīng)擬合得到的恢復力函數(shù)關(guān)系式重構(gòu)滯回曲線，并與原滯回曲線畫在同一坐標系下如圖5，可見兩者有很好的一致性。

圖5 原遲滯回線和重構(gòu)遲滯回線

3 聯(lián)軸器幅頻、相頻特性分析

對于分析的HRC 150聯(lián)軸器，橡膠元件共有3對，橡膠元件到軸心的平均半徑R=53 cm。令φ為兩半聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角差，φ0、ω為穩(wěn)態(tài)時轉(zhuǎn)角差的幅值和頻率，則橡膠聯(lián)軸器的恢復扭矩

設(shè)定主動端(轉(zhuǎn)動慣量J1)以恒扭矩M1經(jīng)聯(lián)軸器帶動從動端(J2)，從動端扭矩M2=M1+M0sin(2πωt)，有一簡諧規(guī)律變化的擾動扭矩分量M0sin(2πωt);轉(zhuǎn)角分別為φ1、φ2，如圖6所示。動力學方程

圖6 聯(lián)軸器動力特性計算簡圖

由式(6)×J2－式(7)×J1，得

式中，Jp=J1J2/(J1+J2))。令穩(wěn)態(tài)解為:φ = φ0sin(2πωt+ θ) ，代入式(8)，得

式中，φ0為轉(zhuǎn)角差幅值，θ為相位差。取J1=J2=18(t·mm2)，代入式(9)和式(10)得幅頻特性曲線ω－φ0如圖7所示。

從幅頻特性曲線圖中可以看出，聯(lián)軸器在傳遞扭矩的過程中相當于與一個非線性軟彈簧，在補償軸系的相對位移的同時可以減小軸系的振動，并且隨著簡諧扭矩的幅值增大，軟彈簧特性越加明顯。由于聯(lián)軸器的主要作用是傳遞扭矩，因此扭矩的傳遞效率也是工程中關(guān)心的一個問題。

聯(lián)軸器傳遞的變動扭矩

傳遞的變動扭矩最大值

動力放大系數(shù)

橡膠塊傳遞的總扭矩

當取M0=1×104N·mm，M1=2×104N·mm，扭矩傳遞系數(shù)

圖7 幅頻特性曲線圖

圖8 扭矩傳遞系數(shù)峰值

4 結(jié)論

通過對聯(lián)軸器的橡膠彈性元件進行正弦激勵有限元分析，得到了橡膠元件的滯回曲線。根據(jù)滯回曲線的特點，聯(lián)軸器的恢復力模型采用剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)關(guān)于振幅和頻率的函數(shù)來表述，并識別出了相應的系數(shù)。結(jié)果表明，重構(gòu)的恢復力-位移曲線和原數(shù)據(jù)有很好的一致性。在選定的頻率范圍，聯(lián)軸器的動態(tài)剛度隨頻率的變化略有減小，與文獻［7］有類似的結(jié)論。最后對聯(lián)軸器的幅頻曲線以及傳遞系數(shù)進行了分析，發(fā)現(xiàn)聯(lián)軸器類似于一個非線性軟彈簧，存在有一不穩(wěn)定的頻率區(qū)間，選用聯(lián)軸器時應當避免設(shè)計工作頻率處于該區(qū)間;而在具有穩(wěn)定性的頻率范圍內(nèi)，聯(lián)軸器不僅具有良好的減振效果，扭矩傳遞系數(shù)也很接近于1，能夠很好地傳遞扭矩。

［1］施高義，唐金松，喻懷正，等.聯(lián)軸器［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1988:90-102.

［2］馬建敏，韓平疇.柔性聯(lián)軸器剛度非線性對扭轉(zhuǎn)振動的影響［J］.振動與沖擊，2005，24(4):6-8.

［3］馬建敏，楊萬東.柔性聯(lián)軸器非線性阻尼對扭轉(zhuǎn)減振的影響［J］.振動與沖擊，2005，25(3):11-13.

［4］龔憲生，趙玫.具有非線性遲滯特性的大撓度彈性聯(lián)軸器建模［J］.上海交通大學學報制，1995，29(3):49-54.

［5］龔憲生，趙玫.大撓度彈性聯(lián)軸器的阻尼耗能特性、建模及參數(shù)識別［J］.機械強度，1996，18(2):11-12.

［6］龔憲生，趙玫.一種全新礦用高彈性聯(lián)軸器動態(tài)性能的研究［J］.煤炭學報，2001，26(4):418-423.

［7］左時倫.彈性聯(lián)軸器動態(tài)剛度的數(shù)學建模與試驗研究［J］.煤礦機械，2011，32(3):82-84.