一類新的2+1維非線性發(fā)展方程及其解的對合表示

劉亞峰， 劉 煒

(石家莊鐵道大學數(shù)理系，河北石家莊 050043)

0 引言

無窮維發(fā)展方程的可積性是當今數(shù)學物理研究的一個重要方面。將無窮維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為有限維完全可積系統(tǒng)是證明可積性的基本思想之一［1］。Lax對非線性化方法是獲得有限維可積系統(tǒng)的有效工具。近年來非線性化方法被用于求解高維孤子方程［2］，如2+1維Toda方程、2+1維K-P方程等。現(xiàn)研究一個新的2+1維非線性發(fā)展方程。首先通過兩個二階譜問題之間的相容性條件獲得非線性發(fā)展方程，得到其Lax對。利用Bargmann約束將譜問題轉(zhuǎn)化為一個Bargmann系統(tǒng)，并將Lax對非線性化，獲得一個有限維Hamilton正則系統(tǒng)，并證明此系統(tǒng)在Liouville意義下是完全可積的。

1 二階譜問題及非線性發(fā)展方程的Lax對

討論二階譜問題

式中，?=?χ且 ?－1?=1;u=u(x，t);ν=ν(x，t)∈R 為該譜問題的位勢函數(shù);λ 為特征值;φ 為對應(yīng)于 λ 的特征函數(shù)。

在基礎(chǔ)空間Ω=(-∞，+∞)上討論特征值問題(1)，假設(shè)u，ν，φ為無窮遠速降的函數(shù)。

命題 1［3］:

(1)如下二階譜問題。

構(gòu)成完整譜系。

(2)若φ，ψ是譜系(2)的特征值λ所對應(yīng)的特征函數(shù)，則

設(shè)輔譜問題為φt=Wφ，其中

令 gj=( －bj，aj)T，j=0，1，2，…，則由相容性條件 φxxt=φtxx得如下遞推關(guān)系

其中

直接計算可知

定理1:在等譜條件(λt=0)下，非線性發(fā)展方程族為

對應(yīng)的Lax對為

特別，當m=0時，發(fā)展方程為

當m=1時，發(fā)展方程為

令t0=y，t1=t，則得到一個新的2+1維發(fā)展方程

2 Bargmann約束與Hamilton正則系統(tǒng)

設(shè)譜系(2)的 N 個不同的特征值為 λ1＜ λ2＜ … ＜ λN，φj，ψj為對應(yīng)于 λj(j=1，2，…，N)的特征函數(shù)［4］，令 Λ =diag(λ1，λ2，…，λN)，φ =(φ1，φ2，…，φN)T，ψ =(ψ1，ψ2，…，ψN)T。

命題2:設(shè) Gj=( ＜ Λj+1φ，ψ ＞ ，＜ Λj+1φx，ψ ＞)，則 KGj=JGj+1。

證明:由式(4)直接計算可得。

令g0=G0，得到Bargmann約束

由此，譜系(2)等價于如下Bargmann系統(tǒng)

現(xiàn)在尋求與Bargmann系統(tǒng)(10)對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)的J-O坐標。

定義 Lagrange 函數(shù):^I= ∫ΩIdx，其中，I= ＜ φx，ψx＞ － ＜ Λφ，ψ ＞－1＜ Λφx，ψ ＞ 。

命題3:Bargmann系統(tǒng)(10)等價于如下Euler-Lagrange方程:

設(shè)q1，q2為廣義坐標，p1，p2為廣義動量，Hamiltom函數(shù)則 q1，q2，p1，p2滿足如下方程［5］

構(gòu)造Jacobi-Ostrogradsky坐標如下

在坐標系(11)下，Bargmann約束化為

Bargmann系統(tǒng)(10)等價于如下Hamilton系統(tǒng)

此時

3 Hamilton系統(tǒng)的完全可積性

定理2:在Jacobi-Ostrogradsky坐標(11)下，發(fā)展方程族(4)所對應(yīng)的Lax對(5)等價于如下形式［3，6，7］

定理3:在Bargmann約束(12)下，發(fā)展方程族(4)的Lax對(5)被非線性化為如下Hamiltom方程

下面討論Hamiltom系統(tǒng)的完全可積性［7］。

令

定理4:

(1)

定理5:Hamiltom系統(tǒng)(16)在Liouville意義下是完全可積系，并且Hamiltom相流可換。

證明:由(17)式直接計算得 {Πμ，Πλ}=0，{Hm，Hn}=0，m，n=0，1，2，…。

所以{H，Hm}=0， m=0，1，2，…

由Arnold定理，Hamiltom系統(tǒng)(16)是完全可積系，且Hamiltom相流可換。

定理 6:設(shè)(y1，y2，z1，z2)滿足 Hamiltom 系統(tǒng)(16)，則式(12)

為非線性發(fā)展方程族(4)的對合解。

特別，如果(u(x，y，t)，v(x，y，t))是方程(6)和(7)的相容解，則(u(x，y，t)，v(x，y，t))為2+1 維非

線性發(fā)展方程(8)的解。

［1］谷超豪，曹策問，李翊神，等.孤立子理論與應(yīng)用［M］.浙江:浙江科學技術(shù)出版社，1990.

［2］Cao Cewen，Wu Yongtang，Geng Xianguo.Relation between the Kadometsev-Petviashvili equation and the confocal involutive system［J］.J.Math.Phys，1999，40(8):3948-3970.

［3］Gu Zhuquan.The Neumann system for the 3rd-order eigenvalue problems related to the Boussinesq equation［J］.IL NUOVO CIMENTO，2002，117(6):675-632.

［4］Cao Cewen，Geng Xianguo.Classical integrable systems generated through nonlinearizaton of eigenvalue problems［M］.Berlin:Springer-Verlag，1990.

［5］Arnold V I.Mathematical Methods of Classical Mechanics［M］.Berlin:Springer，1978.

［6］Gu Zhuquan，Zhang Junxian，Liu Wei.Two new completely integrable systems related to the KdV equation hierarchy［J］.IL NUOVO CIMENTO，2008，123(5):606-622.

［7］Zhao Ye，Gu Zhuquan，Liu Yafeng.The Neumann system for the 4th-order eigenvalue problem and constraint flows of the coupied KdV-type equations［J］.Eur.Phys.J.Plus，2012，127:77.