數(shù)學教學中如何引導學生尋找正確的解題思路

馬叢祥

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；解題思路；尋找

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學課堂教學的一個重要任務就是要培養(yǎng)學生的思維能力,即指導學生用數(shù)學的眼光、數(shù)學的思想去分析問題和解決問題.筆者根據(jù)多年來的教學實踐和研究體會,就數(shù)學課堂教學中如何引導學生尋找正確的解題思路，談談自己的體會和看法.

一、每提出一個問題，讓學生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵或引導學生，讓其嘗試探究。在此過程中要及時捕捉學生思維中的亮點，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學生思維受阻時，給予適當?shù)摹包c撥”.在學生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來，再利用萬能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準一個突破口，讓學生自己先做一做

學生在解決問題時，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語言滋潤學生的“憤”“悱”之心，使學生情感的需要得到滿足.這時，教師要抓住時機，選準一個突破口，提出類似上面的問題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問題拋給學生，鼓勵學生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵學生思考：還有沒有別的解法。經(jīng)過認真的思考后，學生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問題的本質(zhì)點，引導學生產(chǎn)生解題思路

對于一個問題，教師給學生交待的并不是問題的結(jié)果，而是有利于問題解決的一般方法，即數(shù)學的通性通法.因此，教師要注重對解題過程的再分析、再討論,讓學生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個，讓思維的“觸角”能伸到問題所蘊含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類比出這一類問題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個題后，我們可以演變出一類相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進行變式練習.

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進行強化練習，擴大知識面，培養(yǎng)學生自己去類比、思維、實踐、品味.

編輯：謝穎麗

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；解題思路；尋找

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學課堂教學的一個重要任務就是要培養(yǎng)學生的思維能力,即指導學生用數(shù)學的眼光、數(shù)學的思想去分析問題和解決問題.筆者根據(jù)多年來的教學實踐和研究體會,就數(shù)學課堂教學中如何引導學生尋找正確的解題思路，談談自己的體會和看法.

一、每提出一個問題，讓學生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵或引導學生，讓其嘗試探究。在此過程中要及時捕捉學生思維中的亮點，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學生思維受阻時，給予適當?shù)摹包c撥”.在學生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來，再利用萬能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準一個突破口，讓學生自己先做一做

學生在解決問題時，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語言滋潤學生的“憤”“悱”之心，使學生情感的需要得到滿足.這時，教師要抓住時機，選準一個突破口，提出類似上面的問題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問題拋給學生，鼓勵學生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵學生思考：還有沒有別的解法。經(jīng)過認真的思考后，學生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問題的本質(zhì)點，引導學生產(chǎn)生解題思路

對于一個問題，教師給學生交待的并不是問題的結(jié)果，而是有利于問題解決的一般方法，即數(shù)學的通性通法.因此，教師要注重對解題過程的再分析、再討論,讓學生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個，讓思維的“觸角”能伸到問題所蘊含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類比出這一類問題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個題后，我們可以演變出一類相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進行變式練習.

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進行強化練習，擴大知識面，培養(yǎng)學生自己去類比、思維、實踐、品味.

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；解題思路；尋找

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）11—0082—01

數(shù)學課堂教學的一個重要任務就是要培養(yǎng)學生的思維能力,即指導學生用數(shù)學的眼光、數(shù)學的思想去分析問題和解決問題.筆者根據(jù)多年來的教學實踐和研究體會,就數(shù)學課堂教學中如何引導學生尋找正確的解題思路，談談自己的體會和看法.

一、每提出一個問題，讓學生自己先想一想怎么入手

例1已知：2sinα-cosα=1，求■的值.

教師只鼓勵或引導學生，讓其嘗試探究。在此過程中要及時捕捉學生思維中的亮點，激發(fā)他們探求的欲望，挖掘創(chuàng)造的源泉。直到學生思維受阻時，給予適當?shù)摹包c撥”.在學生思維的不斷“碰壁”和“激蕩”中，得到如下解法：

解法1：將sinα與cosα統(tǒng)一起來，再利用萬能公式.令tg■=t，由已知得出方程2■-■=1、解得t，從而求得原式的值為0或2.

解法2：已知2sinα-cosα=1①，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立①②構(gòu)造方程組，就可解出sinα、cosα的值，從而使問題得到解決.

解法3：從待求入手，將待求式看作“元”（未知數(shù)），設(shè)■=m，則（1-m）sinα+（1+m）cosα=m-1，與已知聯(lián)立方程組，解得sinα=■cosα=■（m≠-3)，由sin2α+cos2α=1得：（■）2+（■）2=1，解得m=0或m=2，故所求原式的值為0或2.

二、選準一個突破口，讓學生自己先做一做

學生在解決問題時，教師要用藝術(shù)家的眼光欣賞自己的學生，用“想得快”“想得妙”等春雨般的語言滋潤學生的“憤”“悱”之心，使學生情感的需要得到滿足.這時，教師要抓住時機，選準一個突破口，提出類似上面的問題.

例2已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍.

教師將問題拋給學生，鼓勵學生自己思考.設(shè)cosαsinβ=t ①，將①與已知sinαcosβ=■②聯(lián)立組成方程組，通過求解得出t.得出結(jié)論后，教師再鼓勵學生思考：還有沒有別的解法。經(jīng)過認真的思考后，學生又想到下列巧妙的解法：

解法1：①×②得：cosαsinβsinαcosβ=■t，即|2t|=|sin2αcos2β|≤1，從而-■≤t≤■，即-■≤cosαsinβ≤■.

解法2：①+②得sin（α+β）=■+t

∵|sin（α+β）|≤1

∴-1≤■+t≤1=>-■≤t≤■③

同理①－②得-■≤t≤■④.聯(lián)立③④得：-■≤t≤■.

解法3：將①2代入②得：t2=cos2αsin2β=(1-sin2α)(1-cos2β)=■-(sin2α+cos2β)≤■，即 -■≤t≤■.

三、立足問題的本質(zhì)點，引導學生產(chǎn)生解題思路

對于一個問題，教師給學生交待的并不是問題的結(jié)果，而是有利于問題解決的一般方法，即數(shù)學的通性通法.因此，教師要注重對解題過程的再分析、再討論,讓學生能從中“篩選”出最本質(zhì)的一個，讓思維的“觸角”能伸到問題所蘊含的本質(zhì)關(guān)系中，從而類比出這一類問題的解決方法.

例3已知sinαcosβ=■，求cosαsinβ的取值范圍？做了這個題后，我們可以演變出一類相關(guān)的題型——由已知條件的“積”想到“和”，由“和”想到“同名異角”與“異名同角”進行變式練習.

變式一：已知sinx+siny=■，求cosx+cosy的取值范圍？

變式二：已知sinx+2cosy=2，求 2sinx+cosy的取值范圍？

進行強化練習，擴大知識面，培養(yǎng)學生自己去類比、思維、實踐、品味.

編輯：謝穎麗

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