勾股定理中的數(shù)學(xué)思想

趙國(guó)瑞

數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)作用。靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數(shù)學(xué)思想為例說(shuō)明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長(zhǎng)為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=5；

當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=■。

所以第三邊的長(zhǎng)為5或■，故答案選D。

點(diǎn)評(píng)本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長(zhǎng)為4的邊當(dāng)作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問(wèn)題不全面的錯(cuò)誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟(jì)南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì))( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當(dāng)繩子末端拉到距離旗桿8 m處時(shí)，可過(guò)繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為x，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設(shè)旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚(yáng)州市中考題）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為_(kāi)_______。

分析 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子。

解 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點(diǎn)評(píng) 本題在求矩形的面積時(shí)，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個(gè)整體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長(zhǎng)度找到規(guī)律，進(jìn)而求出OP2012的長(zhǎng)。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以O(shè)P2012=■。

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，可以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P2、P3，如圖6所示。

分別過(guò)點(diǎn) P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以O(shè)E=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點(diǎn)評(píng) 本例在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，又考查了分類討論思想。

數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)作用。靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數(shù)學(xué)思想為例說(shuō)明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長(zhǎng)為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=5；

當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=■。

所以第三邊的長(zhǎng)為5或■，故答案選D。

點(diǎn)評(píng)本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長(zhǎng)為4的邊當(dāng)作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問(wèn)題不全面的錯(cuò)誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟(jì)南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì))( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當(dāng)繩子末端拉到距離旗桿8 m處時(shí)，可過(guò)繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為x，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設(shè)旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚(yáng)州市中考題）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為_(kāi)_______。

分析 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子。

解 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點(diǎn)評(píng) 本題在求矩形的面積時(shí)，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個(gè)整體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長(zhǎng)度找到規(guī)律，進(jìn)而求出OP2012的長(zhǎng)。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以O(shè)P2012=■。

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，可以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P2、P3，如圖6所示。

分別過(guò)點(diǎn) P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以O(shè)E=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點(diǎn)評(píng) 本例在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，又考查了分類討論思想。

數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)作用。靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中滲透的數(shù)學(xué)思想為例說(shuō)明。

一、分類思想

例1 (2013年貴州省黔西南州中考題)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為( )

A．5 B．■ C．■ D．5或■

分析 邊長(zhǎng)為4的邊可能是直角邊，也可能是斜邊，因此需要分類討論。

解 當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=5；

當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，由勾股定理，得第三邊的長(zhǎng)為■=■。

所以第三邊的長(zhǎng)為5或■，故答案選D。

點(diǎn)評(píng)本題容易受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長(zhǎng)為4的邊當(dāng)作直角邊，從而誤選A，這樣就犯了考慮問(wèn)題不全面的錯(cuò)誤了。

二、方程思想

例2 (2013年山東省濟(jì)南市中考題)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì))( )

A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m

分析 觀察圖形，當(dāng)繩子末端拉到距離旗桿8 m處時(shí)，可過(guò)繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為x，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理列方程求解。

解 如圖2，設(shè)旗桿的高度為x m，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。

解得x=17，即旗桿的高度為17 m，故答案選D。

三、整體思想

例3 （2013年江蘇省揚(yáng)州市中考題）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為_(kāi)_______。

分析 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b），則a-b=2。又由勾股定理，得a2+b2=16。而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子。

解 設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），則a-b=2。

由勾股定理，得a2+b2=16。

由（a-b）2=a2+b2-2ab，得22=16-2ab，所以ab=6，即矩形的面積為6。

點(diǎn)評(píng) 本題在求矩形的面積時(shí)，分別將a-b，a2+b2，ab看成一個(gè)整體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。

四、歸納思想

例4 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖3，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=■；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=■；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=________。

分析 首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長(zhǎng)度找到規(guī)律，進(jìn)而求出OP2012的長(zhǎng)。

解 由勾股定理，得OP4=■。

由OP1=■，OP2=■，OP3=2=■，……不難推出OPn=■。

所以O(shè)P2012=■。

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2013年湖南省張家界市中考題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________。

分析 易知OD=5，要使△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，可以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓。

解 由C（10，0），可知OD=5。

（1）以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P1，如圖5。

由勾股定理，得P1C=■=■=3。所以P1（3，4）。

（2）以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓交邊BC于點(diǎn)P2、P3，如圖6所示。

分別過(guò)點(diǎn) P2、P3作x軸的垂線，垂足分別為E、F。

由勾股定理易得DE=DF=3。

所以O(shè)E=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。

所以P2（2，4），P3（8，4）。

綜合（1）和（2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（2，4）或（8，4）。

點(diǎn)評(píng) 本例在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，又考查了分類討論思想。