連桿驅(qū)動的曲柄搖塊機構(gòu)綜合設計的解析方法*

鄭相周，羅紅漢，傅國棟，李 慧

(1.華中農(nóng)業(yè)大學 工學院, 湖北 武漢 430070； 2.華中農(nóng)業(yè)大學 圖書館, 湖北 武漢 430070)

連桿驅(qū)動的曲柄搖塊機構(gòu)綜合設計的解析方法*

鄭相周1，羅紅漢2，傅國棟1，李 慧1

(1.華中農(nóng)業(yè)大學 工學院, 湖北 武漢 430070； 2.華中農(nóng)業(yè)大學 圖書館, 湖北 武漢 430070)

曲柄搖塊機構(gòu)是一種應用廣泛的典型的平面機構(gòu)。將連桿作為主動件可使曲柄在一定角度范圍內(nèi)擺動。對于給定的曲柄擺動，有多種機構(gòu)綜合方法。筆者使用解析方法，以Jacob系數(shù)為指標對基于奇異構(gòu)型、最大平均輸出力矩和保證最小輸出力矩等機構(gòu)設計方法進行了分析和比較，使得能夠更加深入地了解該機構(gòu)的運動學特點，并為曲柄搖塊機構(gòu)的工程應用提供幫助。

曲柄搖塊機構(gòu)；機構(gòu)綜合；Jacob系數(shù)

Abstract: Based on criteria of maximum moment, crank rocker mechanisms driven by rocker with hydraulic cylinder are analyzed with analytical method in this paper. Optimized with this criteria, crank will output maximum moment when crank is in middle of its swing angle. The maximun average output moments in the crank swing scope will be got based on this criteria. The crank rocker mechanisms optimized with this criteria have a good force transmission ratio.

Key words: crank rocker mechanisms; mechanism synthesis; maximum output moment; force transmission ratio

0 引 言

曲柄搖塊機構(gòu)作為一種典型的平面機構(gòu)，具有廣泛的應用背景[1]。如圖1所示，將連桿OB作為主動件，由移動副驅(qū)動。當連桿OB的長度變化時，曲柄BA在∠B1AB2范圍內(nèi)擺動。

圖1 曲柄搖塊機構(gòu)

對于相同的曲柄擺動范圍，使用不同的設計準則，可得到不同的構(gòu)件尺寸，對應著不同的力學性能。壓力角和傳動角可用來表征曲柄搖塊機構(gòu)的傳動特性分析[1]，但進行綜合設計卻不方便。筆者使用解析方法以Jacob系數(shù)為指標對基于奇異構(gòu)型、最大平均輸出力矩和保證最小輸出力矩等機構(gòu)設計方法進行分析和比較。

1 曲柄搖塊機構(gòu)Jacob系數(shù)

如圖1，令l=OB，a=OA，r=AB。在△OAB中應用余弦定理，有:

a2+r2-2arcos (π-α)=l2

即:a2+r2+2arcosα=l2

(1)

式中：a、r均為常量。

對時間求導，并整理，得:

(2)

(3)

其中：

(4)

或者

(5)

令k=r/a，式(5)可寫作為：

(6)

式(3)中負號表明當連桿伸長時，曲柄順時針轉(zhuǎn)動。式(3)表明了主動件運動速度到從動件運動速度的映射關(guān)系，J是速度變換系數(shù)，是Jacob矩陣在單自由度情形下的退化，稱為Jacob系數(shù)。如果連桿中移動副的作用力為F，曲柄輸出力矩為M，由靜平衡下的虛功原理[4]有:

(7)

JM=F或者M=J-1F

(8)

顯然，式(3)是機構(gòu)主動力到輸出力矩的映射。因此Jacob系數(shù)J不僅反映機構(gòu)的運動關(guān)系也反映靜力學關(guān)系。當J為0或∞時，機構(gòu)均不可控；當J為除此之外的有限值時，其大小也反映驅(qū)動的速度和力變換情況，因此將VR=J稱為速度變換系數(shù)，將FR=J-1稱為力變換系數(shù)。Jacob系數(shù)J是機構(gòu)力學性能的重要指標。

2 幾種設計方法比較

對式(6)中α求導，有：

欲求J的極值，需解超越方程：3k+kcos 2α+2(1+k2)cosα=0。因此對機構(gòu)進行運動或靜力學優(yōu)化設計，以J的極值作為目標幾乎是不可能的，尤其是在工程應用中更加如此。

簡而化之，從直觀上提出了多種方法來進行曲柄搖塊機構(gòu)的綜合，包括遠離奇異構(gòu)型、最大平均輸出力矩和保證最小輸出力矩方法等。

遠離奇異構(gòu)型設計方法以α=π/2處的曲柄作為擺角的角平分線，以使機構(gòu)在運動過程中盡可能原理奇異構(gòu)型；最大平均輸出力矩方法將與連桿垂直的曲柄作為擺角的角平分線，曲柄在擺動范圍內(nèi)能夠獲得最大平均輸出力矩；而保證最小輸出力矩方法則使兩個極限位置的連桿共線，可保證在兩個極限位置處具有相同的輸出力矩。這3種方法對應的機構(gòu)綜合簡圖如圖2所示。

圖2 曲柄搖塊機構(gòu)設計原則

給定曲柄擺角φ，可使用上述方法根據(jù)機構(gòu)的幾何特點確定構(gòu)件尺寸a、r和連桿的行程。對應的方程如下：

(1) 遠離奇異構(gòu)型

(9)

(2) 最大平均輸出力矩

(10)

(3) 保證最小輸出力矩

(11)

式中：c為油缸結(jié)構(gòu)參數(shù)[5]，L0為油缸行程，如圖3。

圖3 典型液壓缸結(jié)構(gòu)參數(shù)

這3種方法都需要根據(jù)應用要求先指定其中一個量，將該量作為參數(shù)再確定其他尺寸。它們的區(qū)別是，使用遠離奇異構(gòu)型和最大平均輸出力矩需要用數(shù)值方法解非線性方程組，而保證最小輸出力矩方法不需要解方程，僅使用代數(shù)方法就可得到結(jié)果。

對于所確定的機構(gòu)性能優(yōu)劣，可進一步使用Jacob系數(shù)來評價。在擺角范圍內(nèi)，Jacob系數(shù)使用式(5)或(6)計算，其中α值的變化范圍表述如下：

(1) 遠離奇異構(gòu)型

(2) 最大平均輸出力矩

(3) 保證最小輸出力矩

3 實例分析

某機械手中的一個關(guān)節(jié)采用曲柄搖塊機構(gòu)實現(xiàn)，連桿使用油缸驅(qū)動，油缸結(jié)構(gòu)參數(shù)c=200。給定擺角φ=2π/3。在采用上述3種方法進行機構(gòu)綜合時，均給定曲柄長度，所得到的機構(gòu)綜合結(jié)果如表1。從表中知，這3種方法得到的構(gòu)件尺寸只有微小的差別，其對應的Jacob系數(shù)及力傳遞率分別如圖4和5所示。

表1 機構(gòu)綜合(r=70,φ=2π/3)

圖4 Jacob系數(shù)

從圖4、5可知，遠離奇異構(gòu)型和最大平均輸出力矩方法使得Jacob系數(shù)在曲柄的兩個極限位置有較大的差別，這會導致極限位置處的運動和受力有較大的變化；而保證最小輸出力矩的方法在兩個極限位置處的Jacob系數(shù)基本相同，有利于保證機構(gòu)的工作性能。

圖5 力傳遞率

4 結(jié) 語

針對典型的以連桿為主動件、曲柄在一定范圍內(nèi)擺動的曲柄搖塊機構(gòu)，筆者使用Jacob系數(shù)對遠離奇異構(gòu)型、最大平均輸出力矩和保證最小輸出力矩3種設計方法進行了分析。分析結(jié)果表明，雖然3種方法得到的構(gòu)件尺寸差別不大，但保證最小輸出力矩設計方法可以使曲柄搖塊機構(gòu)的力學性能得到優(yōu)化。使用保證最小輸出力矩設計方法更便于工程設計。

[1] 彭文生，李志明，黃華梁. 機械設計[M]. 北京：高等教育出版社, 2002.

[2] Gosselin C, Angeles J. Singularity Analysis of Closed-loop Kinematic chains[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1990,6(3):281-290.

[3] 鄭相周,唐國元. 機械系統(tǒng)虛擬樣機技術(shù)[M]. 北京：高等教育出版社, 2010.

[4] 程燕平. 理論力學[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社, 2008.

[5] 許福玲,陳堯明. 液壓與氣壓傳動[M]. 北京：機械工業(yè)出版社, 2008.

Analytical Synthesis Methods of Crank Rocker Mechanisms

ZHENG Xiang-zhou1, LUO Hong-han2, FU Guo-dong1, LI Hui1

( 1.SchoolofEngineering,HuazhongAgriculturalUniversity,WuhanHubei430010,China; 2.LibraryofHuazhongAgriculturalUniversity,WuhanHubei430010,China)

2014-07-03

鄭相周(1963-)，男，河南溫縣人，副教授，博士，研究方向：先進制造技術(shù)和多體系理論。

TH111

A

1007-4414(2014)04-0018-03