基于Weibull分布的高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承可靠性分析

李彥偉，林晶，張令，趙穎春

(中國航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028)

高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承主要由內(nèi)圈、外圈和自潤滑襯墊3部分組成[1]，是一種可以實(shí)現(xiàn)高頻擺動的自潤滑關(guān)節(jié)軸承。自潤滑關(guān)節(jié)軸承靠內(nèi)圈與外圈內(nèi)球面粘貼的自潤滑襯墊的接觸面滑動，所以磨損量是判定軸承壽命的主要依據(jù)。

由于高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承壽命服從Weibull分布，故可采用Weibull分布模型進(jìn)行可靠性分析。Weibull分布模型參數(shù)的精度是軸承可靠性分析的關(guān)鍵，目前常用的參數(shù)估計法[2]中圖估計法簡單方便，但人為因素影響較大，所估計的參數(shù)精度較差；極大似然估計法獲得的參數(shù)精度較高，但計算復(fù)雜繁瑣；最佳線性無偏估計和最佳線性不變估計等方法都需借助專用表格，使用方便，但表格數(shù)量很大，且無表格之處無法使用；而最小二乘估計法能實(shí)現(xiàn)分布函數(shù)的線性化，是Weibull分布模型參數(shù)估計的一種較好方法。

試驗數(shù)據(jù)是軸承可靠性分析的基礎(chǔ)，但在試驗過程中，經(jīng)常出現(xiàn)試驗?zāi)p量未達(dá)到額定磨損量而試驗中止的情況，產(chǎn)生了不完全試驗數(shù)據(jù)。平均秩次法根據(jù)試驗完成產(chǎn)生的完全試驗數(shù)據(jù)和試驗中止產(chǎn)生的不完全試驗數(shù)據(jù)估計所有可能的秩次，求出平均秩次，代入近似中位秩公式，得到經(jīng)驗分布函數(shù)，充分利用試驗數(shù)據(jù)的同時也取得了更加精確的參數(shù)估計值。下文采用結(jié)合平均秩次法的最小二乘參數(shù)估計法對高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承進(jìn)行可靠性分析。

1 Weibull分布模型

Weibull分布模型[3]是近年來在軸承可靠性分析中使用最廣泛的模型之一，Weibull分布的分布函數(shù)為

(1)

分布密度函數(shù)為

(2)

可靠度函數(shù)為

(3)

失效率函數(shù)為

(4)

式中：t為時間；η為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

2 參數(shù)估計

2.1 最小二乘參數(shù)估計

最小二乘估計是對線性函數(shù)中的未知參數(shù)進(jìn)行估計，是Weibull分布模型參數(shù)估計的一種較好方法[4]。

將(1)式變形，得

(5)

兩邊取自然對數(shù)，得

lnln[1/(1-F(t))]=β(lnt-lnη)。

(6)

令

x=lnt，

(7)

y=lnln[1/(1-F(t))]，

(8)

A=β，

(9)

B=-βlnη，

(10)

則(6)式可轉(zhuǎn)化為

y=Ax+B。

(11)

對于線性回歸方程(11)式，回歸系數(shù)A，B的最小二乘估計解為

(12)

(13)

在Weibull分布模型參數(shù)的最小二乘估計中，提高經(jīng)驗分布函數(shù)的精度即可求出一條偏差最小的回歸直線和最符合實(shí)際的回歸系數(shù)估計值。

2.2 平均秩次法

已有的經(jīng)驗分布函數(shù)計算方法是通過近似中位秩公式或直接查中位秩表[5]得到，誤差較大。近似中位秩公式為

(14)

式中：i為完成試驗的試件順序號；n為試件數(shù)量；ti為第i個試件的試驗時間。

平均秩次法是提高經(jīng)驗分布函數(shù)精度的一種有效方法，其原理是：根據(jù)完全試驗數(shù)據(jù)和不完全試驗數(shù)據(jù)估計出所有可能的秩次，再求出平均秩次,將平均秩次代入近似中位秩公式，求出其經(jīng)驗分布函數(shù)[6]。

文獻(xiàn)[7]通過實(shí)踐總結(jié)給出的計算平均秩的增量公式為

(15)

Ai=Ai-1+ΔAi，

(16)

式中：k為所有試件的排列順序號，按試驗完成時間和試驗中止時間的大小排列；Ai為完成試驗的試件的平均秩次；Ai-1為前一個完成試驗試件的平均秩次。

將平均秩次Ai代入(14)式，得

(17)

將試驗完成時間和通過計算得到的經(jīng)驗分布函數(shù)，利用最小二乘參數(shù)估計法，擬合出Weibull分布模型的回歸直線，從而確定Weibull分布模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。

3 可靠性分析

為了進(jìn)行軸承可靠性分析，選擇20套高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承進(jìn)行磨損壽命試驗。試驗方法主要參照SAE(美國機(jī)動車工程師學(xué)會)標(biāo)準(zhǔn)AS 81819A，試驗軸承在5.4 kN的徑向載荷下進(jìn)行高速擺動，擺動角度為±6°，擺動頻率為20.78 Hz，當(dāng)試驗軸承的磨損量達(dá)到0.038 mm時，即可結(jié)束試驗[8]。

通過記錄20套軸承達(dá)到額定磨損量的時間和試驗中止的時間，并按試驗時間進(jìn)行排序，結(jié)果見表1。表中包含了高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承磨損壽命試驗的完全試驗數(shù)據(jù)(C)和不完全試驗數(shù)據(jù)(I)，去掉不完全試驗數(shù)據(jù)，將軸承試驗的完全試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，建立Weibull分布模型，采用平均秩次法，由(16)、(17)式分別計算平均秩次和經(jīng)驗分布函數(shù)，結(jié)果見表2。將計算結(jié)果(無量綱)按照最小二乘的原理擬合出最小二乘回歸直線,如圖1所示。

表1 高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承磨損壽命試驗數(shù)據(jù)

表2 平均秩次法計算的經(jīng)驗分布函數(shù)

圖1 平均秩次法的最小二乘擬合圖

采用近似中位秩公式，由(10)式計算經(jīng)驗分布函數(shù),結(jié)果見表3。將計算結(jié)果(無量綱)按照最小二乘的原理擬合出最小二乘回歸直線,如圖2所示。與圖2相比，圖1中的試驗數(shù)據(jù)點(diǎn)在擬合直線兩側(cè)分布更均勻。S為最小二乘擬合度，其值越趨近于1則擬合越好。采用平均秩次法的計算結(jié)果經(jīng)最小二乘擬合后S=0.985 7，采用近似中位秩公式的計算結(jié)果經(jīng)最小二乘擬合后S=0.974 7，顯然前者更加精確。

表3 近似中位秩公式計算的經(jīng)驗分布函數(shù)

圖2 近似中位秩公式的最小二乘擬合圖

平均秩次法的直線擬合式為

lnln[1/(1-F(t))]=3.037lnt-19.88，

(18)

由(9)、(10)式解得β=3.037，η=696.404。

則分布函數(shù)為

(19)

分布密度函數(shù)為

(20)

可靠度函數(shù)為

(21)

失效率函數(shù)為

(22)

當(dāng)R(t)=0.9時，由(21)式解得可靠度為90%的軸承壽命為t=332 h。

4 結(jié)束語

根據(jù)完全試驗數(shù)據(jù)和不完全試驗數(shù)據(jù)估計出所有可能的秩次,求出平均秩次,代入近似中位秩公式,得到軸承磨損壽命失效分布函數(shù)、分布密度函數(shù)、可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)；進(jìn)而計算出可靠度為90%的高速自潤滑關(guān)節(jié)軸承的壽命。結(jié)合平均秩次法的最小二乘參數(shù)估計法擬合度高，擬合效果好，并能充分利用試驗數(shù)據(jù)，得到的參數(shù)估計值更加精確。