具有年齡結(jié)構(gòu)的異質(zhì)元胞自動機(jī)HIV傳播模型

王仲君，張莉麗

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430070)

從1989年發(fā)現(xiàn)第一例本土艾滋病例至今，HIV感染已經(jīng)覆蓋全國，部分地區(qū)感染嚴(yán)重，在中國疫情的流行呈現(xiàn)出多樣化特征，并從高危人群逐漸向一般人群擴(kuò)散，雖然艾滋病的死亡率已有下降趨勢，但艾滋病的防治形勢仍然極其嚴(yán)峻［1－3］。若利用數(shù)學(xué)方法對艾滋病的傳播過程進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，找到影響艾滋病傳播的相關(guān)參數(shù)，將對艾滋病的防治工作有重要意義。

目前流行病數(shù)學(xué)模型主要有微分方程、元胞自動機(jī)等，而基于元胞自動機(jī)的流行病研究在微觀和宏觀方面都得到了迅速的發(fā)展［4－7］，由于艾滋病是一種比較特殊的行為性流行病，傳播過程與個體間行為有很大關(guān)聯(lián)。目前艾滋病的模型研究多考慮在一些特定人群、特定傳播路徑下的演化過程。有一些學(xué)者提出個體“異質(zhì)”性，考慮個體具有不同的抵抗力、感染能力等，也有對元胞空間進(jìn)行擴(kuò)展，考慮元胞的全局演化過程［8］。

基于上述分析，筆者考慮個體具有不同的年齡結(jié)構(gòu)、不同的抵抗力和感染能力，依距離建立距離影響函數(shù)，并考慮個體間的致病性接觸行為，建立適合的元胞自動機(jī)轉(zhuǎn)換規(guī)則，在高危人群和一般人群中分別對HIV傳播行為進(jìn)行模擬研究，并與實(shí)際數(shù)據(jù)相比較，得到更具真實(shí)性的傳播模型。

1 模型建立

筆者所提出的模型基于如下假設(shè):①不考慮個體自然死亡與自然出生;②不考慮個體遷入或遷出;③迭代步長t為一個季度。

1.1 元胞狀態(tài)

從感染HIV病毒到發(fā)病，有一個完整的自然過程，為簡化模型便于研究，此處主要把人群分為4類:易感者、感染后未發(fā)病者(處于潛伏期)、感染且發(fā)病者、發(fā)病后死亡者。設(shè)潛伏期持續(xù)時間為t1，發(fā)病期持續(xù)時間為t2，t時刻元胞狀態(tài)有以下4種情況:

幾乎所有的HIV感染者經(jīng)過一段潛伏期后都會進(jìn)入典型艾滋病期，在沒有醫(yī)療干預(yù)的情況下會很快死亡，HIV的發(fā)病期很短，一般為9個月左右，在未經(jīng)治療的情況下，平均潛伏期為7～10年，其中有部分感染者病情發(fā)展迅速，潛伏期可短至2～3年;還有部分感染者病情發(fā)展緩慢，潛伏期可延長到12年以上。

1.2 元胞的異質(zhì)性

1.2.1 年齡變量

大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明不同年齡群體感染HIV后發(fā)病率不一樣，其中0～20歲個體發(fā)病率最低，50歲以上個體發(fā)病率最高，群體發(fā)病率與多種因素有關(guān)，此處考慮年齡及潛伏期長短對發(fā)病率的影響，設(shè)最初個體(i，j)的年齡變量為 age(i，j)，將人群年齡分為 5個階段，A1=(0，19)、A2=［20，29］、A3=［30，39］、A4=［40，49］、A5=［50，+∞)，其中A1階段內(nèi)個體具有最長潛伏期時間，A5階段內(nèi)個體具有最短潛伏期時間，Ai階段內(nèi)個體具有潛伏期時間為t1i。

由于個體年齡每年都增加一歲，為便于模擬只考慮健康個體年齡的增加，而忽略已感染個體的年齡增加及個體自然死亡情況，此處假設(shè)所有個體的艾滋病發(fā)病時間為3個季度，即t2=3。

1.2.2 個體的傳染強(qiáng)度及抵抗能力

設(shè)t時刻，攜帶HIV病毒的個體(i，j)對健康個體的傳染強(qiáng)度為，研究表明艾滋病患者發(fā)病期的傳染能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于潛伏期的傳染能力，傳染能力隨時間也會不斷增強(qiáng)，此處簡單假設(shè)滿足如下的關(guān)系:

其中，el為控制傳染強(qiáng)度的強(qiáng)度系數(shù)，結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)?zāi)M確定。

設(shè)mt(i，j)為 t時刻，個體(i，j)的抵抗力，可理解為在一次接觸中，個體不會受到感染的概率。由于個體行為差異性，其抵抗力各不相同［9］，這里假設(shè)mt(i，j)取值服從(0，1)的均勻分布。

1.3 鄰域定義

設(shè)(i0，j0)為中心元胞在網(wǎng)格中的坐標(biāo)，網(wǎng)格中的任一元胞(i，j)對中心元胞(i0，j0)的距離影響分值為 w(i，j)，則 w(i，j)滿足如下關(guān)系［10－11］:

式中:d為元胞(i，j)到中心元胞(i0，j0)的幾何距離，的影響半徑。如果中心元胞(i0，j0)在元胞(i，j)的影響半徑內(nèi)，則(i，j)在(i0，j0)鄰域內(nèi);如果中心元胞(i0，j0)不在元胞(i，j)的影響半徑內(nèi)，則(i，j)不在(i0，j0)鄰域內(nèi)。

1.4 鄰域內(nèi)元胞對中心元胞的影響力

艾滋病作為一種高致病性的行為性疾病，主要體現(xiàn)在性接觸、血液感染等傳播途徑上，并且在不同的傳播途徑下，個體具有不同的感染率，其中血液傳播的感染率達(dá)到95%。相反健康個體與艾滋病患者握手、擁抱、共餐、共用衛(wèi)生間及游泳池等，都不會感染上HIV病毒。此處為簡化模型，暫不單獨(dú)考慮不同傳播途徑下的傳播情況，引入函數(shù)來判斷t時刻在一次接觸行為下，元胞(i，j)與中心元胞(i0，j0)之間是否有致病性接觸行為。函數(shù)定義如下:

若It(i，j)=0，元胞間無致病性接觸行為，則 t時刻鄰域內(nèi)元胞(i，j)對中心元胞的影響力較小，影響力計(jì)算公式如下:

若It(i，j)=1，鄰居元胞(i，j) 與中心元胞(i0，j0)有致病性接觸行為，對中心元胞的影響力很大，結(jié)合在不同傳播路徑下，個體感染率情況，假設(shè)傳染強(qiáng)度為0.95，此時忽略距離影響分值，影響力計(jì)算公式如下:

1.5 元胞狀態(tài)更新規(guī)則

式中:age(i0，j0)為健康個體被感染時個體的年齡;P(St(i0，j0)) 為中心元胞(i0，j0) 在 t時刻被感染的概率，

2 仿真結(jié)果及分析

基于上述模型，假設(shè)初始感染者均處于潛伏期，群體年齡結(jié)構(gòu)簡化為兩類，年輕個體潛伏期為36，年老個體潛伏期為8，結(jié)合C++語言，在不同初始人群感染率下，在100×100二維規(guī)則網(wǎng)格中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。

2.1 普通人群中HIV傳播

據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國艾滋病人群平均感染率為0.05%。假設(shè)初始人群感染率為0.05%，初始感染個體隨機(jī)分布于網(wǎng)格中，一次迭代過程中個體間最多有一次致病性接觸行為，分別模擬在不同元胞影響半徑、不同初始人群數(shù)下HIV的傳播。

圖1為總感染人數(shù)變化圖，其中圖1(a)是初始人群數(shù)為8 000，元胞影響半徑r分別為1、2、3、4的感染人數(shù)變化圖;圖1(b)為元胞影響半徑r=3，初始人群數(shù)量分別為 4 000、5 000、6 000、7 000、8 000的總感染人數(shù)變化圖。如圖1所示，元胞影響半徑越大，艾滋病傳播速度越快，感染人數(shù)越多，較早達(dá)到峰值;元胞影響半徑較小時無新增感染者，艾滋病不能傳播開來，且感染人數(shù)呈現(xiàn)出階梯型下降;同時初始人群數(shù)越大，HIV的傳播速度越快，HIV感染人數(shù)越多。元胞的影響半徑類似于個體的活動范圍，如果可以控制感染個體的活動范圍并對其隔離，就可以在一定程度上控制艾滋病的傳播速度，然而當(dāng)代便捷的交通擴(kuò)大了個體的活動范圍，也就增加了HIV傳播行為的復(fù)雜性［12］。中國是一個人口大國，各地區(qū)的人群密度、人群分布、人群結(jié)構(gòu)差異大，尤其是一些大城市，人口構(gòu)成很復(fù)雜，艾滋病的傳播行為隨之變得復(fù)雜，而HIV正趨向于由特殊群體向一般人群擴(kuò)散，艾滋病的防治預(yù)防工作顯得尤為重要。

圖1 總感染人數(shù)變化圖

圖2 相關(guān)感染人數(shù)變化統(tǒng)計(jì)圖

圖3 不同時刻的演化結(jié)果圖

圖2 是初始人群數(shù)為8 000，r=3時相關(guān)感染人數(shù)變化圖;圖3為對應(yīng)的部分時刻演化結(jié)果，圖中黑色元胞代表發(fā)病個體，深灰色元胞代表潛伏期個體，淺灰色元胞代表健康個體。對比發(fā)現(xiàn)開始時HIV感染者集中分布于病源附近，總感染人數(shù)迅速增加，在t小于8時，無艾滋病發(fā)病者;t大于8時，在病源附近的部分中老年感染個體首先發(fā)病，發(fā)病人數(shù)與潛伏期人數(shù)相比呈現(xiàn)出一定的滯后性增長和下降。演化步長為36前一段時間內(nèi)，在網(wǎng)格空間限制下，潛伏期個體數(shù)不變，而發(fā)病個體數(shù)較低甚至為0。此時若個體不主動進(jìn)行檢測，由發(fā)病情況可大致判斷艾滋病“消失”了，但隨著時間的增長，病源附近部分未發(fā)病的年輕感染個體在經(jīng)過漫長潛伏期后逐漸發(fā)病，發(fā)病人數(shù)激增，艾滋病再一次爆發(fā)。可見群體年齡結(jié)構(gòu)影響艾滋病的爆發(fā)情況，短期的艾滋病“消失”現(xiàn)象不能忽視，仍然要做好防治工作。

2.2 艾滋病高發(fā)地區(qū)HIV傳播

在性接觸、血液接觸等行為下艾滋病的感染率較大，在一些特殊群體中感染率最高達(dá)到5%，這里假設(shè)HIV初始感染率為2.5%，初始人群數(shù)為4 000，元胞影響半徑r=3，考慮在一次迭代過程中，個體之間存在致病性接觸行為數(shù)最多分別為1、2、3這3種情況，這里假設(shè)初始感染者分布在網(wǎng)格中心位置，便于觀察傳播現(xiàn)象。

(1)總感染人數(shù)比較。模擬過程中發(fā)現(xiàn)HIV由病源中心向四周擴(kuò)散，致病性接觸的次數(shù)越多，傳染速度越快，感染面積越大，在較高致病性接觸次數(shù)下，艾滋病很可能成為地方病。同時個體間不存在致病性接觸行為時，即使初始感染率很高，在模擬過程中無新增感染者，初始感染個體經(jīng)過潛伏期、發(fā)病期后死亡。如圖4所示，在一次迭代過程中健康個體與感染個體之間的致病性接觸次數(shù)越多，HIV感染率越大，艾滋病的傳播速度越快，感染人數(shù)越多，群體的死亡率越高。在艾滋病高發(fā)地區(qū)，一定存在著與當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)、社會相關(guān)的一條傳播途徑，要有效控制艾滋病的傳播，首先要找到在該地區(qū)艾滋病傳播的主要途徑，再有針對性地對其進(jìn)行行為教育控制，減少致病性接觸行為次數(shù)，降低艾滋病的感染率及傳播速度。

圖4 總感染人數(shù)變化圖

(2)發(fā)病人數(shù)比較。模擬過程中發(fā)現(xiàn)某些個體離病源距離雖近，但被感染后發(fā)病時間較遲，有些個體距離中心感染區(qū)較遠(yuǎn)，但是被感染后較早發(fā)病死亡，體現(xiàn)了個體年齡差異性對潛伏期及發(fā)病情況的影響，發(fā)病期個體數(shù)隨時間變化的數(shù)據(jù)也說明了這一問題。圖5為3種不同致病性接觸次數(shù)下發(fā)病期個體數(shù)的變化圖，這3種情況下，發(fā)病期個體數(shù)基本呈現(xiàn)出先增加后減少的趨勢，但波動較大。在演化步數(shù)t小于8時，無艾滋病發(fā)病者，這是因?yàn)槟Ｐ图僭O(shè)中老年個體的潛伏期為8，而年輕個體的潛伏期為36，所以t在16～36之間時發(fā)病個體都是老年個體，在演化步數(shù)大于36后，各年齡的感染個體都有可能會發(fā)病，整個群體的發(fā)病情況就變得復(fù)雜了。隨著個體年齡增長，中老年個體數(shù)增加，其較短的潛伏期在一定程度上影響發(fā)病人數(shù)，而前期感染的年輕個體經(jīng)過漫長的潛伏期后也會發(fā)病，發(fā)病個體數(shù)波動較大。若發(fā)病個體數(shù)下降則說明新增發(fā)病個體數(shù)小于新增死亡人數(shù)，這與潛伏期個體數(shù)及年齡結(jié)構(gòu)有一定的關(guān)聯(lián)。這3種模擬情況下發(fā)病人數(shù)最后都會大幅度下降，這可能是因?yàn)榫W(wǎng)格規(guī)模限制了潛伏期個體數(shù)，潛伏期個體數(shù)大量降低導(dǎo)致發(fā)病期的個體數(shù)相對也大量減少?？梢娫跊]有藥物治療的前提下，個體的年齡結(jié)構(gòu)確實(shí)在一定程度上影響HIV傳播。

2.3 實(shí)際數(shù)據(jù)比較分析

圖5 發(fā)病人數(shù)變化圖

圖6 給出了武漢市2001—2011年的艾滋病感染人數(shù)變化情況，與本實(shí)驗(yàn)所模擬得到的發(fā)病人數(shù)變化圖相比，具有一定的相似性，故考慮年齡屬性來研究艾滋病的傳播具有一定的真實(shí)性。

圖6 艾滋病感染人數(shù)變化圖

3 結(jié)論

元胞自動機(jī)模型曾多次用于流行病傳播研究，筆者從年齡結(jié)構(gòu)、傳染能力等方面擴(kuò)展元胞自動機(jī)模型，并考慮元胞間是否有致病性接觸行為以及致病性接觸行為的次數(shù)對HIV傳播行為的影響，最后在兩類人群下模擬實(shí)驗(yàn)，得到相關(guān)參數(shù)對HIV傳播行為的影響。仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)初始人口數(shù)、元胞影響半徑仍然影響HIV的傳播速度及感染率，致病性接觸行為對HIV傳播速度影響較大，年齡結(jié)構(gòu)在一定程度上影響群體的HIV感染分布，初始人群數(shù)、致病性接觸次數(shù)、元胞影響半徑及年齡結(jié)構(gòu)相互作用，共同影響著HIV在群體中的傳播，在某些取值條件下，群體總感染人數(shù)及發(fā)病期人數(shù)呈現(xiàn)出一些固定的變化規(guī)律，可進(jìn)一步研究這些規(guī)律從而對艾滋病的預(yù)防控制提出科學(xué)合理的建議。

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