一階電路瞬態(tài)過程的分析方法探究

李景琴

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

一階電路瞬態(tài)過程的分析方法探究

李景琴

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

本文主要討論了三種分析一階電路的的方法：1、利用基爾霍夫定律和電容、電感的關(guān)系及微積分的知識；2、三要素法進(jìn)行分析；3、利用拉普拉斯變換進(jìn)行分析.

初始值；終了值；拉普拉斯變換；反拉普拉斯變換

對于一個(gè)復(fù)雜的電路，當(dāng)工作條件發(fā)生改變時(shí)，電阻電路和動態(tài)電路的工作狀態(tài)都將隨之發(fā)生變化.電阻電路的變化可在瞬間完成，無需經(jīng)歷任何過程.但動態(tài)電路的變化則是一個(gè)漸變的過程，不能在瞬間完成，這一漸變的過程稱為瞬態(tài)過程，處于瞬態(tài)過程中的狀態(tài)稱為瞬態(tài).

關(guān)于動態(tài)電路，常以描述該電路性狀的微分方程的階數(shù)加以區(qū)別，對應(yīng)于一階微分方程的電路，稱為一階電路.只含有一個(gè)儲能元件（電感或電容）的電路就是一階電路.

所謂瞬態(tài)過程的分析就是指對于給定的電路，隨著電路或電源的接通與斷開，電路連接結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，計(jì)算出各支路中的電流或電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律.下面介紹三種分析一階瞬態(tài)電路的方法.

1 基爾霍夫定律分析法

利用基爾霍夫電流定律：對于任一節(jié)點(diǎn)，所有與之相邊的支路電流的代數(shù)和恒等于零，即：∑i=0；電壓定律：對于任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即：∑u=0；以及電感感應(yīng)電動勢與電流的關(guān)系；電容的電壓與電容電流之間的關(guān)系來分析研究瞬態(tài)過程的一種方法.下面通過具體的實(shí)例加以介紹：

在右圖的電路中，兩線圈的自感分別為L1和L2，電阻為零，兩者之間無互感耦合，電源的內(nèi)阻已計(jì)入R中，設(shè)開關(guān)閉合前各支路無電流，設(shè)t=0，開關(guān)閉合，各支路電流如圖所示，則根據(jù)基爾霍夫定律有：

對以上各式整理，有：

由以上分析可見，利用該方法分析需有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識做基礎(chǔ).

2 三要素分析法

2.1 三要素分析法的由來

一階電路是指只包含一個(gè)或者經(jīng)化簡后只剩下一個(gè)獨(dú)立儲能元件的電路，即該電路依據(jù)基爾霍夫定律列出的方程是一階的常微分方程.激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系可概括為下列形式:

式中:

f(t)——任意激勵(lì)函數(shù)，

y(t)——電路中任一響應(yīng)函數(shù)(電壓或電流).

y(0+)——初始條件，

a——電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定的常數(shù)

由數(shù)學(xué)知識可知微分方程（1）的解為：

式中：為電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，與激勵(lì)函數(shù)f(t)具有相同的形式，它就是非齊次微分方程式(1)的特解；

yb(t)=ce-at為電路的暫態(tài)響應(yīng)，它就是式(1)所對應(yīng)的齊次微分方程的通解，該齊次微分方程的特征方程為s+a=0,所以特征根,其中 τ為一階電路的時(shí)間常數(shù)，僅與電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而與外施激勵(lì)無關(guān).這樣電路的暫態(tài)相應(yīng)可寫為

而電路的全響應(yīng)為

式中c為由初始條件決定的積分常數(shù).

將t=0+的初始值代入（3）式可得：

所以

把c代入式（3）中得這就是一階線性電路在任意激勵(lì)作用下，決定電路全響應(yīng)的一般公式.其中y(0+)、yp(t)、yp(0+)、τ分別代表響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值、穩(wěn)態(tài)初始值和電路的時(shí)間常數(shù)，而y(0+)、yp(t)、τ稱為一階電路的“三要素”，只要求得了這三個(gè)要素，就可以根據(jù)式(4)直接寫出電路全響應(yīng)的函數(shù)式.

對階躍激勵(lì)而言有

式（4）變?yōu)?/p>

上式即為一階線性電路在階躍激勵(lì)作用下全響應(yīng)的“三要素法”的一般公式.

另外，在一階電路中，任一響應(yīng)的初始值都可以通過初始值等效電路來求得.通過求解一階電路中電容(或電感)元件以外線性電路的戴維南或諾頓等效電路，總可以找到一個(gè)等效電阻R，從而算出電路的時(shí)間常數(shù)：

對RC電路：τ=RC

2.2 舉例

如圖示電路，設(shè)開關(guān)S動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t≥0時(shí)，開關(guān)由a扳向b，下面分析電路中的電流i和iL隨時(shí)間變化的規(guī)律：

計(jì)算初始值，由換路定理有：

應(yīng)用基爾霍夫定律，在t=0+時(shí)的電路方程為：

解得：i(0+)=0.2A i1(0+)=1.4A

計(jì)算穩(wěn)態(tài)值：由電路可得：

計(jì)算時(shí)間常數(shù)：

電感兩端的等效電阻為

時(shí)間常數(shù)為

根據(jù)三要素法則可得到：

由上例可見，用三要素法計(jì)算一階電路的完全解，簡便易算，可以避開高等數(shù)學(xué)，很適合不具備高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人使用.

3 一階電路的拉普拉斯變換分析法

3.1 在復(fù)頻域中電阻、電容、電感、電源的等效模型

3.1.1 電阻

由于：u(t)=Ri(t)

兩邊取拉普拉斯變換

則有：

U(S)=RI(S)則電阻的等效模型如上圖所示.

3.1.2 電容

對于電容有：

兩邊取拉普拉斯變換則有：

3.1.3 電感

對于電感有：

兩邊取拉普拉斯變換有：

U(S)=SLI(S)-Li(0-)故電感在復(fù)頻域可等效為一電源與復(fù)阻抗的串聯(lián).

3.1.4 電源

兩邊取拉普拉斯變換有：

3.2 一階電路拉普拉斯變換分析法

對于電路首先從時(shí)域轉(zhuǎn)換為復(fù)域的運(yùn)算電路，計(jì)算出對應(yīng)在復(fù)域中的電流或電壓，再應(yīng)用拉普拉斯反變換，計(jì)算出在時(shí)域下的電流或電壓.下面通過一具體的實(shí)例加以介紹：

在右圖所示的電路中，開關(guān)S在t=0時(shí)由1位置合到2位置，設(shè)開關(guān)動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，下面討論i和uC隨時(shí)間變化的規(guī)律.

開關(guān)動作前對于電容：

在t≥0時(shí)電路在復(fù)頻域中的等效圖為：電流I (S)和UC(S)的大小為：

對I(S)和UC(S)進(jìn)行拉普拉斯反變換有：

通過以上的分析過程可知，利用拉普拉斯變換分析可將復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)運(yùn)算中的微分方程轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而將計(jì)算難度大大降低.利用拉普拉斯變換不僅可以分析一階電路，也可用來分析二階電路.

〔1〕賀洪江,等.電路基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社, 2004.

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1673-260X（2014）06-0012-03