石英振梁加速度計(jì)靜態(tài)輸入輸出特性

楊 挺，楊貴玉，李慶豐

（航天長征火箭技術(shù)有限公司，北京 100076）

石英振梁加速度計(jì)靜態(tài)輸入輸出特性

楊 挺，楊貴玉，李慶豐

（航天長征火箭技術(shù)有限公司，北京 100076）

通過平衡方程建立了一種石英振梁加速度計(jì)敏感元件的靜力學(xué)模型，分別利用梁彎曲振動(dòng)微分方程和有限元分析方法獲得了敏感元件的輸入加速度與輸出頻率之間的精確關(guān)系，從而從理論上獲得了敏感元件的靜態(tài)輸入輸出特性。通過離心試驗(yàn)對(duì)所設(shè)計(jì)的加速度計(jì)進(jìn)行了標(biāo)定，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，最終認(rèn)為理論計(jì)算能夠準(zhǔn)確的反映出石英振梁加速度計(jì)的靜態(tài)輸入輸出特性。同時(shí)，該計(jì)算方法可以為其他包含振梁的傳感器的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。最后，提出了實(shí)測結(jié)果與理論計(jì)算存在偏差的原因：標(biāo)度因數(shù)的偏差來源于振梁厚度的加工誤差，非線性度的偏差來源于裝配角度偏差以及外界溫度變化引起的頻率漂移等因素。

靜態(tài)輸入輸出特性；石英振梁加速度計(jì)；振動(dòng)微分方程；有限元分析

石英振梁加速度計(jì)是一種利用壓電諧振式測量原理，將被測加速度轉(zhuǎn)換成石英振梁固有頻率變化的傳感器[1]，因其具有大量程、高精度、小體積、低功耗、直接頻率輸出等優(yōu)勢在低成本組合導(dǎo)航系統(tǒng)、天線平臺(tái)穩(wěn)定系統(tǒng)、石油鉆井等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-3]，其典型產(chǎn)品為美國 Honeywell公司的 RBA500[4]和法國Thales公司的A100[5]。

研究靜態(tài)輸入輸出特性不僅可以深入了解石英振梁加速度計(jì)的敏感原理，同時(shí)可以獲得其標(biāo)度因數(shù)和線性度指標(biāo)。標(biāo)度因數(shù)反映了傳感器的輸出對(duì)輸入加速度的敏感能力；而線性度則反映了加速度計(jì)的實(shí)際靜態(tài)校準(zhǔn)曲線與參考直線的吻合程度，良好的線性特性保證了測試系統(tǒng)解算輸入加速度值的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[6-7]中雖然均給出了梁振動(dòng)軸向力與頻率關(guān)系的計(jì)算方法，但是只針對(duì)單梁或是雙梁石英諧振器結(jié)構(gòu)，并沒有將其與敏感元件整個(gè)結(jié)構(gòu)結(jié)合進(jìn)行分析，未給出輸入加速度與振梁諧振頻率的準(zhǔn)確關(guān)系。

本文建立了目前所研制的石英振梁加速度計(jì)敏感元件的靜力學(xué)模型，利用平衡關(guān)系，建立了輸入加速度與梁軸向力的關(guān)系，再結(jié)合梁振動(dòng)微分方程，獲得了敏感元件的輸入輸出特性關(guān)系的解析表達(dá)式；建立了敏感元件的有限元模型，利用ANSYS軟件中包含預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析功能，同樣獲得了敏感元件的輸入輸出曲線；最后，通過離心試驗(yàn)測得所研制石英振梁加速度計(jì)的實(shí)際靜態(tài)校準(zhǔn)曲線，并與前面的理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，最終驗(yàn)證了理論計(jì)算的結(jié)果。該理論分析方法可以為其它振梁式傳感器的敏感元件設(shè)計(jì)提供參考。

1 敏感元件靜力學(xué)分析

1.1 敏感元件靜力學(xué)模型

石英振梁加速度計(jì)敏感元件的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，主要包括振梁、撓性支撐擺和質(zhì)量擺。振梁為單梁形式，振動(dòng)方式為Z平面內(nèi)彎曲振動(dòng)，當(dāng)有Z向的加速度輸入時(shí)，質(zhì)量擺繞撓性支撐擺中心轉(zhuǎn)動(dòng)，從而在振梁內(nèi)部引入軸向力，這里假設(shè)振梁和撓性支撐擺為柔性結(jié)構(gòu)，忽略其自身質(zhì)量，而質(zhì)量擺當(dāng)成剛體處理，質(zhì)量為m。

以敏感元件感受到+Z向的加速度a為例進(jìn)行分析，如圖2所示，以虛線框內(nèi)的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，由振梁、撓性支撐擺和質(zhì)量擺構(gòu)成的系統(tǒng)應(yīng)滿足合力和力矩為零，令撓性支撐擺質(zhì)心為支點(diǎn)，由此可以獲得如下平衡方程：

圖1 敏感元件結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sensing element

圖2 敏感元件靜力學(xué)模型Fig.2 Schematic diagram of the static model

式(1)中，F(xiàn)t為振梁所受到的軸向拉力，F(xiàn)c為撓性支撐擺受到的軸向壓力，G1和G2分別為振梁內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和撓性支撐擺質(zhì)心所受到的Z向的剪切力。由于系統(tǒng)處于非慣性系下的靜止?fàn)顟B(tài)，必須考慮外界加速度a引起的慣性力ma。式(2)中l(wèi)1為質(zhì)量塊質(zhì)心到支點(diǎn)的Y向距離，即慣性力ma的力臂；l2為振梁與支點(diǎn)的Z向間距，即Ft的力臂。

從式(1)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)感受到外界輸入時(shí)，振梁與撓性支撐擺受到的軸向力大小相等，方向相反，而由式(2)可以建立振梁所受軸向力與外界加速度的關(guān)系，即：

式中，l1/l2可以稱為杠桿的放大倍率，反映了敏感結(jié)構(gòu)對(duì)于外界加速度的放大能力。同時(shí)，式(3)表明振梁內(nèi)部的軸向拉力與外界輸入加速度成正比。事實(shí)上，如果輸入加速度方向?yàn)?Z向，也將得出類似的結(jié)論，只是此時(shí)振梁內(nèi)部的軸向力將以壓力形式存在，軸向壓力與輸入加速度的關(guān)系仍滿足式(3)。

1.2 梁彎曲振動(dòng)方程

前一部分已經(jīng)獲得輸入加速度a與軸向力F的關(guān)系，而若要獲得敏感元件的輸出頻率f，還必須建立軸向力與振梁諧振頻率的關(guān)系，這就必須借助于梁彎曲振動(dòng)方程。對(duì)于圖3所示的雙端固定單梁，在軸向力作用下，梁的橫向彎曲自由振動(dòng)方程為：

式中，E為彈性模量；J為梁的橫截面在彎曲方向的慣性矩，大小為hw3/12；y為撓度，x為軸向坐標(biāo)，F(xiàn)為梁受到的軸向力，ρ為材料密度；A為橫截面積，大小為hw；t為時(shí)間。設(shè)原點(diǎn)在振梁左端，由于梁是兩端固定，故邊界條件為：

圖3 雙端固支梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the double-clamped beam

依據(jù)邊界條件式(5)和式(6)對(duì)式(4)求解即可獲得軸向力與頻率關(guān)系的解析表達(dá)式：

由式(3)和式(7)即可建立輸入加速度a與振梁諧振頻率f的關(guān)系表達(dá)式。表1為自行研制的一種石英振梁加速度計(jì)敏感元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及計(jì)算所需要的常數(shù)值，當(dāng)輸入加速度為-100g～+100g時(shí)，利用Matlab繪制式(7)的曲線圖，如圖4(a)所示，利用最小二乘法對(duì)該曲線進(jìn)行線性擬合后可以獲得單一敏感元件的標(biāo)度因數(shù)（即線性擬合曲線的斜率）為23.28 Hz/g，非線性度為0.6%F.S.。

如果對(duì)式(7)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，可以獲得式(9)：

為了消除2次項(xiàng)誤差，同時(shí)增加敏感元件的靈敏度，可以采用差分裝配，即將兩個(gè)敏感元件沿Z向反向放置，將二者的頻率差值Δf作為敏感元件的輸出，其表達(dá)式為式(10)：

式(10)中除了1次項(xiàng)外，只剩下3次以上的非線性項(xiàng)。同樣可以繪出Δf對(duì)輸入加速度a的曲線圖，如圖4(b)所示，對(duì)該曲線進(jìn)行線性擬合后可以獲得差分裝配后敏感元件的標(biāo)度因數(shù)為46.57 Hz/g，是單一敏感元件的2倍，非線性度為0.0124%F.S.，明顯小于單一元件的結(jié)果，具有更好的線性特性。

表1 敏感元件結(jié)構(gòu)參數(shù)及相關(guān)常數(shù)值Tab.1 Values of configuration parameters and basic constant

圖4 靜力學(xué)分析獲得的敏感元件輸入輸出特性Fig.4 Input-output characteristics of the sensing element obtained by static analysis

2 敏感元件有限元仿真

借助ANSYS軟件中包含預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析功能同樣可以獲得敏感元件輸入加速度a與輸出頻率f的關(guān)系曲線。預(yù)應(yīng)力計(jì)算中，可以在Z向加載-100g～+100g的慣性載荷。圖5為敏感元件結(jié)構(gòu)的有限元模型，計(jì)算過程中采用10節(jié)點(diǎn)的四面體Solid187單元，材料參數(shù)考慮了石英的各向異性，分網(wǎng)采用程序控制自由網(wǎng)格劃分，薄梁結(jié)構(gòu)區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行了細(xì)化，單元總數(shù)量為14 560個(gè)。

圖5 敏感元件有限元模型Fig.5 Finite element model of the sensing element

經(jīng)計(jì)算，單個(gè)敏感元件的加速度-頻率特性如圖6(a)所示。通過線性擬合得到敏感元件的標(biāo)度因數(shù)為22.08 Hz/g，非線性度為0.628%F.S.。當(dāng)將兩個(gè)敏感元件差分裝配后，敏感元件的工作特性如圖6(b)所示，此時(shí)敏感元件的標(biāo)度因數(shù)提高至 44.17 Hz/g，非線性度為0.0119%F.S.，與前面靜力學(xué)分析的結(jié)果基本吻合。

圖6 有限元仿真獲得的敏感元件輸入輸出特性Fig.6 Input-output characteristics of the sensing element obtained by finite element analysis

3 離心試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前面理論分析的準(zhǔn)確性，對(duì)所研制的樣機(jī)進(jìn)行了離心試驗(yàn)，輸入加速度范圍與理論計(jì)算的范圍一致，即-100g～+100g。圖7給出了離心試驗(yàn)獲得的石英振梁加速度計(jì)的靜態(tài)校準(zhǔn)曲線，作為對(duì)比，同時(shí)給出了前面解析計(jì)算、有限元分析所獲得的曲線。從圖7中可以看出，理論計(jì)算能夠基本準(zhǔn)確地反映出敏感元件的輸入輸出特性。

經(jīng)線性擬合分析可知，石英振梁加速度計(jì)實(shí)測標(biāo)度因數(shù)為43.39 Hz/g，略低于理論計(jì)算值，與有限元分析結(jié)果的誤差為 1.77%。主要原因在于敏感元件在加工過程中，薄梁是通過單面腐蝕加工而成，對(duì)其最終厚度h的控制難度較大，可能存在±5 μm左右的加工誤差。由式(10)可知，如果厚度比設(shè)計(jì)值大，則標(biāo)度因數(shù)將有所降低。

實(shí)測非線性度為 0.0477%，大于理論計(jì)算獲得的數(shù)值，分析認(rèn)為原因主要有三點(diǎn)：第一，實(shí)際裝配的石英振梁加速度計(jì)中兩個(gè)敏感元件在結(jié)構(gòu)上不可能完全一致，存在一定的加工誤差，無法將式(9)中的2次及以上的偶次項(xiàng)完全消掉，因此抑制共模誤差的能力有限；第二是兩個(gè)敏感元件的敏感軸在裝配過程中存在角度偏差；第三是測試過程中無法保證環(huán)境溫度的穩(wěn)定，石英諧振器的諧振頻率會(huì)隨著溫度變化發(fā)生漂移，從而引入非線性誤差。

圖7 加速度計(jì)輸入輸出特性曲線Fig.7 Input-output characteristics of the accelerometer

4 結(jié) 論

本文分別利用靜力學(xué)方程、有限元仿真和離心試驗(yàn)獲得了所研制石英振梁加速度計(jì)的輸入加速度-頻率曲線和非線性度，經(jīng)對(duì)比分析認(rèn)為，理論計(jì)算基本能夠準(zhǔn)確地獲得敏感元件的線性特性，可以作為石英振梁加速度計(jì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)，同時(shí)為其它振梁式傳感器設(shè)計(jì)提供參考。理論計(jì)算的標(biāo)度因數(shù)值與實(shí)測值存在一定誤差，原因在于薄梁厚度存在較大的加工誤差；而非線性度大于實(shí)測值，主要原因是差分工作的元件結(jié)構(gòu)之間存在加工誤差、裝配角度偏差和外界溫度變化的引起的頻率漂移。

（References）：

[1]Levy R，Gaudineau V.Phase noise analysis and performance of the vibrating beam accelerometer[C]//2010 IEEE International Frequency Control Symposium.2010:511-514.

[2]Traon O L，Janiaud D，Guerard J，et al.The fairy world of quartz vibrating MEMS[C]//2012 European Frequency and Time Forum.2012:214-220.

[3]Levy R，Papin G.A new electronic scheme to compensate MEMS resonators nonlinearities[C]//2012 IEEE 25th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems.2012:508-510.

[4]高延濱，詹俊妮，何昆鵬，等.高精度石英振梁加速度計(jì)頻率采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].應(yīng)用科技，2012，39(3)： 61-63.GAO Yan-bin，ZHAN Jun-ni，HE Kun-peng，et al.Design of a high-precision VBA frequency sampling system[J].Applied Science and Technology，2012，39(3):61-63.

[5]Menozzi G，Pleska E.MEMS in France:an overview of trends and products for aeronautic &defense applications[R].Advances in Navigation Sensors and Integration Technology.France:NATO OTAN，2003:9.1-9.20.

[6]Zhao Chihang，He Jie，Huang Libin，et al.A novel double-ended tuning fork quartz accelerometer[C]//2011 Third International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation.2011:187-190.

[7]馮麗爽，王文璞，周震，等.石英振梁加速度計(jì)諧振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，21(1)：101-105.FENG Li-shuang，WANG Wen-pu，ZHOU Zhen，et al.Structure design of quartz vibrating beam accelerometer resonator[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2013，21(1):101-105.

Static input-output characteristics for quartz vibrating beam accelerometers

YANG Ting，YANG Gui-yu，LI Qing-feng
(Aerospace Long March Launch Vehicle Technology Company，Beijing 100076，China)

The static model of a quartz vibrating beam accelerometer’s sensing element was established based on equilibrium equations.The precise relations between the input acceleration and the output frequency of the sensing element were deduced based on flexural vibration differential equation and finite element analysis.Then the static input-output characteristics of the sensing element were obtained in theory.Furthermore，the static input-output characteristics of the accelerometer were calibrated via centrifugal test.The test results were compared with the theoretical calculation results.In conclusion，the theoretical prediction can precisely reveal the static input-output characteristics of the quartz vibrating beam accelerometer.The analysis method of this paper can provide valuable references for the design of other sensors with the vibrating beam.In the end，it is pointed that there are differences between the results obtained from the centrifugal test and the calculation，in which the scale factor deviation is caused by the micro-machining error in the beam thickness and the deviation of the nonlinearity is ascribed to assembly errors，frequency shift.

static input-output characteristics;quartz vibrating beam accelerometers;vibration differential equation;finite element analysis

V 241.5；TH 824.3

A

1005-6734(2014)03-0386-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.020

2013-10-14；

2014-02-11

總裝預(yù)研項(xiàng)目（51323040123）

楊挺（1985—），男，工程師，從事微機(jī)械加速度計(jì)研究。E-mail：andrewfine@semi.ac.cn

book=390,ebook=115