探究構(gòu)造法解題的自然性

朱瑞芳

摘要：構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法,本文通過對構(gòu)造法解題的自然性進行探討，以期老師和學(xué)生都能夠正確客觀看待構(gòu)造法。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；數(shù)學(xué)問題；自然性

【中圖分類號】G642

一、概念界定

構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問題一種的常用方法，同時也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維的一個重要手段。構(gòu)造法就是按固定的方式經(jīng)過有限個步驟能夠?qū)崿F(xiàn)定義概念或證明命題的方法。[1]數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的實質(zhì)是根據(jù)某些數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論所具有的特征、用已知條件中的元素為“元件”，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象、一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法。[2]運用構(gòu)造法解題的過程，也是一個從無到有的創(chuàng)造的過程。同時，在運用構(gòu)造法解題中會涉及到數(shù)學(xué)中化歸、類比、聯(lián)想等思想。因此，學(xué)生通過學(xué)習(xí)和使用構(gòu)造法，能夠培養(yǎng)其創(chuàng)新性思維。

構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)解題中的一個重要方法，其理論依據(jù)主要是建構(gòu)主義理論。建構(gòu)主義理論體現(xiàn)了一種主體在認知上的構(gòu)造思想，是構(gòu)造思想一種的重要的理論依據(jù)。建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀是學(xué)習(xí)者主動地建構(gòu)自己的知識經(jīng)驗的過程，即通過新經(jīng)驗與原有知識經(jīng)驗的雙向的相互作用，來充實和改造自己的知識經(jīng)驗。數(shù)學(xué)思想就是被看成是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點，比一般數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法具有更高的抽象和概括水平。數(shù)學(xué)思想是蘊含與數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法之中，而又高于數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法。因此，作為構(gòu)造思想而言，其本身源于構(gòu)造方法，二者具有密不可分的關(guān)系，同時又是構(gòu)造方法的一個更為本質(zhì)的概括。

二、研究現(xiàn)狀和意義

近些年，關(guān)于構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的研究多集中于如何運用構(gòu)造法進行解題以及構(gòu)造法與培養(yǎng)創(chuàng)造性思維之間的關(guān)系。關(guān)于構(gòu)造法解題的自然性問題的研究涉及不是很多，因此本文主要探討構(gòu)造法解題自然性的問題。本文中解題自然性體現(xiàn)在如下幾個方面：一、解題者的第一想法；二、解題主體的相對性；三、通性通法。本文通過案例對構(gòu)造法解題自然性的探討，以期對中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法的學(xué)習(xí)有一定指導(dǎo)意義。

三、構(gòu)造法解題的自然性

（1）解題者第一想法

例1已知a>b>c.求證：

構(gòu)造法：因為a>b>c，可構(gòu)造方程a=x1+c,b=x2+c(x1>x2>0)

將上述方程分別代入特征式，命題得證。

上述解法簡單精煉，省去很多計算步驟。但有的學(xué)生就不解了，兩個方程代換是如何想到的？為什么自己就想不到？這樣會讓學(xué)生有一種自己很笨的錯覺，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。那么，在第一次看到該題時同時也是比較貼近學(xué)生想法的解法應(yīng)是：

因為a>b>c，所以a-b>0,b-c>0,a-c>0

最后的不等式很容易證明是成立的，同時也就證明原不等式成立。

對于這兩種解法，前一種解法簡練，看似節(jié)省時間，實則不然，同時局限性較大。后一種做法，常見、通用、易想到。這時，該問題就像是一只雞，而我們卻用了牛刀。

(2)通性通法

例2對任意自然數(shù)n，求證：

構(gòu)造法：

證明：令

構(gòu)造的輔助對偶式：，，

因為對任意自然數(shù)n，都有：，

即

所以，即

歸納法：

證明：當n=1時，成立

現(xiàn)假設(shè)當n=k時，

證明當n=k+1時

只需證明，

即

即，左式顯然大于右式，所以

n=k+1時該不等式成立

原文中作者構(gòu)造了對偶式模型，其用意本是通過利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，把原不等式轉(zhuǎn)化為比較簡單的形式。殊不知，為了追求所謂的簡單形式，其構(gòu)造過程看起來已非常復(fù)雜，且不易想到。前面本文提到，與自然數(shù)n有關(guān)的不等式證明問題通法是運用數(shù)學(xué)歸納法。不難發(fā)現(xiàn)，歸納法證明不僅不復(fù)雜，而且通俗易懂，這也是符合解題自然性特征的。

（3）解題主體的相對性

例3已知x，y∈R，求證：

看到這類證明不等式的題，如果根號比較少的情況下，我們可能會選擇平方之后進行比較大小。但現(xiàn)在這個情況下，有4個根號，如果還使用平方的方法，貌似不太能行得通。這道題我們仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)它的幾何意義是點（x，y）到（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）四點距離和。因此如果用其幾何意義來解這道題題的話，會非常簡單明了。我們只用畫一個直角坐標系，標出這四個坐標，就可以清楚明白。這種方法從構(gòu)造法的定義來看，也是一種構(gòu)造的方法，轉(zhuǎn)化了問題的形式，使原本復(fù)雜的問題變得簡單。不同人所具有的知識儲備是不同的，具有某方面知識或是比較擅長的方面在運用起來就會顯得很自然。正如這道例題，作為老師能夠一眼看透其幾何意義，并順利的構(gòu)造圖形進行解決，但是學(xué)生就不一定能順利的做到這一點兒。

四、小結(jié)

構(gòu)造法本身無可非議，其在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維方面的作用也是很顯然的。但構(gòu)造法本身也具有局限性，對于其中一道適用的方法，換個場景可能就失效了。依據(jù)本文所給自然性解法的標準，構(gòu)造法能不能稱得上一種自然地解法，應(yīng)該是因人而異，因題而異。如果一個問題，解題者能夠看到問題的實質(zhì)，從問題的實質(zhì)出發(fā)進行構(gòu)造，此時構(gòu)造法可以成為一種自然性解法。但是對于知識水平和能力都有限的中學(xué)生來說，這個要求顯得有些過分。因此在教學(xué)過程中，教師在使用構(gòu)造法的過程中應(yīng)該謹慎，不能為構(gòu)造而構(gòu)造，不要沉醉在自己認為數(shù)學(xué)美的世界里，應(yīng)該還要關(guān)注學(xué)生能否接受。要在學(xué)生具有的相應(yīng)的認知結(jié)構(gòu)的情況下，逐步從基礎(chǔ)做起，培養(yǎng)其基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，具備了良好了數(shù)學(xué)功底和正確的學(xué)習(xí)動機，構(gòu)造法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用才能事半功倍，才能達到其在思維培養(yǎng)方面的作用。

參考文獻

[1]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海:上海教育出版社,2009

[2]王延文.構(gòu)造性解題方法的心理分析及教學(xué)應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,1993(2)

[3]蓋傳敏.構(gòu)造法證明不等式的九個模型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2012(5)