數(shù)學(xué)概念中的一些新發(fā)現(xiàn)及其應(yīng)用

丁亮+楊星光

集合是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的起點(diǎn)，所以理解好集合尤為重要。經(jīng)過反復(fù)討論，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，對高中數(shù)學(xué)集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，并給出了具體的應(yīng)用，旨在與同仁切磋探討。

空集解集不等于不屬于不包含于描述法集合論在數(shù)學(xué)中占有一個(gè)獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。最后一個(gè)在數(shù)學(xué)所有分支領(lǐng)域都造詣深厚、整個(gè)地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的狀況，在一切方向上打開了新的道路、對20世紀(jì)和當(dāng)今的數(shù)學(xué)造成極其深遠(yuǎn)的影響的世界著名數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家龐加萊曾說過：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈”。而集合論的研究對象就是集合，由此可以看出掌握好集合非常重要。筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，對集合中一些概念提出了全新的、有趣的理解，供同仁參考。

一、空集、解集的新理解以及應(yīng)用

教材中第7頁介紹了空集的概念，即不含任何元素的集合叫做空集。筆者們結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生總誤認(rèn)為空集不是集合。筆者們也看到一些資料對實(shí)數(shù)0、空集 和 ｛０｝有一些強(qiáng)調(diào)。比如，文獻(xiàn)第12頁強(qiáng)調(diào)：實(shí)數(shù)0和空集是兩個(gè)不同的概念，不能把0和 混為一談；再比如，文獻(xiàn)第9頁強(qiáng)調(diào)：不要把數(shù)0或集合 ｛０｝與 混淆，等等。筆者們結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過反復(fù)討論，認(rèn)為這些強(qiáng)調(diào)能起到一定的作用，但是我們發(fā)現(xiàn)仍有一大批學(xué)生（尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生）極容易混淆0和，或者時(shí)間長了，就算他們記住了0和 不一樣，也說不出為什么不一樣。還有一部分學(xué)生，分不清 ｛０｝和 是不是一樣。

針對上述問題，我們提出一種全新的解決方案：換一個(gè)角度去理解空集這個(gè)概念。從語文的角度看，“空集”，這兩個(gè)漢字中有一個(gè)“集”字，“集”是集合的簡稱，所以空集也是集合。用這種方法，可以輕易讓學(xué)生理解并記住空集也是集合，而不用死記硬背。與此同時(shí)，既然空集是一個(gè)集合，而0只是一個(gè)數(shù)字，所以，很自然地，0和 不一樣。

按照這種思路，還可以讓學(xué)生很容易地發(fā)現(xiàn)并理解集合 ｛０｝和空集 不一樣?！翱占边@兩個(gè)字里除了“集”字之外，還有一個(gè)“空”字?！凹笔羌系暮喎Q，再結(jié)合“空”字，所以空集不但是一個(gè)集合，而且這個(gè)集合里面是空空的，連0這個(gè)元素都沒有，集合 ｛０｝里面不是空空的，還有一個(gè)元素0，所以很容易得出空集 和 ｛０｝不一樣。

我們發(fā)現(xiàn)上面理解空集的思維模式，還可以幫助學(xué)生理清一些題目的解題思路甚至幫助學(xué)生提高做題答案的準(zhǔn)確性。下面舉一例進(jìn)行說明。

例題：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎静坏仁?2x+6<9的解集。

解析：此題是求解集的。按照上述理解空集的思路，我們很容易觀察出“解集”也是由“解”和“集”兩個(gè)漢字組成。從“解”這個(gè)漢字的角度，我們首先要把不等式 2x+6<9解出來，解出結(jié)果為x<23。但是如果結(jié)果是 x<23，肯定不對，因?yàn)椤敖饧边@兩個(gè)漢字，我們才看了“解”字，還沒看“集”字?！凹笔羌系暮喎Q。所以，這道題最終結(jié)果必須用集合表示。即答案都必須要有花括號“ { }”，沒有花括號“ { }”就是錯的。易發(fā)現(xiàn)，滿足x<23的x有無數(shù)個(gè)，沒辦法把它們?nèi)苛谐鰜?，所以用描述法來表示這個(gè)集合。所以這個(gè)例題的結(jié)果不是x<23，而是{x|x<23}。

二、觸類旁通，輕松理解并記住符號“ ≠”“ ”以及“”

從小學(xué)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大家都知道“等于”的符號是“=”，“不等于”的符號是“ ≠”。我仔細(xì)觀察一下，會發(fā)現(xiàn)一件事：“不等于”比“等于”多一個(gè)漢字，而“不等于”的符號“ ≠”正好比“等于”的符號“=”多一撇“∕”?！安粚儆凇北取皩儆凇币捕嘁粋€(gè)漢字，按照理解“不等于”的符號“ ≠”比“等于”的符號“=”多一撇“∕”的方法，我們很自然猜想“不屬于”的符號是不是比“屬于”的符號也多一撇“∕”呢？事實(shí)上，不屬于的符號“ ”確實(shí)比屬于的符號“ ∈”多一撇“∕”！按照這種思考問題的方法，我們還可以輕松理解為什么不包含于“ ”的符號比包含于“ ”的符號也多一撇“∕”。因?yàn)椤安话凇币脖取鞍凇倍嘁粋€(gè)漢字！筆者們經(jīng)過反復(fù)討論，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)這種理解概念的方法，對學(xué)生記憶非常有幫助。雖然數(shù)學(xué)中有些符號是人為規(guī)定的，沒有理由，只能記憶。可是筆者覺得，作為老師，如果可以適當(dāng)?shù)貛椭鷮W(xué)生減輕記憶負(fù)擔(dān)，讓他們騰出更多的時(shí)間去學(xué)習(xí)更多的、更新的知識我們就應(yīng)該去做，因?yàn)檫@也正好符合我們最近幾年來一直倡導(dǎo)的為學(xué)生“減負(fù)”的目標(biāo)。

三、對集合“描述法”的有趣記憶方法

集合的常用表示方法有兩種：列舉法和描述法。經(jīng)過觀察，易發(fā)現(xiàn)描述法和列舉法形式上最大的區(qū)別是列舉法的表達(dá)式{ }中沒有一條豎線“ |”，而描述法的表達(dá)式{|}中有一條豎線“ |”。我們下面引進(jìn)一種新思路，來讓學(xué)生很輕松地記住描述法的表達(dá)式的形式并且輕松地區(qū)分列舉法和描述法的表達(dá)形式?！懊枋龇ā?，這三個(gè)漢字中，有一個(gè)“述”字，“述”和“豎”同音，它們的漢語拼音都為“ ”，而漢字“豎”是豎線的簡稱，所以描述法里面有一條豎線，這正好和描述法的形式{|}相吻合，因?yàn)閧|}有一條豎線“ |”。而“列舉法”這三個(gè)漢字中沒有漢語拼音為“ ”的字，所以，列舉法的表達(dá)式中沒有豎線“ |”，這也正好和列舉法的表達(dá)式{ }相吻合。

一生培養(yǎng)了一大批世界級數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的當(dāng)今國際著名數(shù)學(xué)大師、著名教育家、美國國家科學(xué)院院士、法國科學(xué)院外籍院士、首批中國科學(xué)院外籍院士、南開數(shù)學(xué)研究所名譽(yù)所長陳省身教授曾指出：“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果?！惫P者們通過這篇文章對高中數(shù)學(xué)里集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，旨在與同仁們一起探討，共同進(jìn)步，更好地教好學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]王后雄.教材完全解讀高中數(shù)學(xué)必修1[M].北京：中國青年出版社，2013，5.

[3]李朝東.教材解析高中數(shù)學(xué)必修1[M].蘭州：甘肅少年兒童出版社，2011，5.

[4]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1989，6.

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