數(shù)學建模一般認知過程及教學策略

畢 雁，張新華

（煙臺職業(yè)學院， 山東 煙臺 264000）

數(shù)學建模一般認知過程及教學策略

畢 雁，張新華

（煙臺職業(yè)學院， 山東 煙臺 264000）

為了適應(yīng)數(shù)學教學改革的需求，逐步提升學生的數(shù)學文化及綜合應(yīng)用能力，必須加強數(shù)學建模教學.從學生數(shù)學建模認知過程的研究入手，對數(shù)學建模一般認知規(guī)律進行了探討，并提出了相應(yīng)的教學策略，以期不斷提高數(shù)學建模的教學效果.

數(shù)學建模；一般認知過程；教學策略

從數(shù)學發(fā)展史可知，數(shù)學在社會、自然科學及現(xiàn)實生活等各個領(lǐng)域均有十分重要的應(yīng)用，也成為推動數(shù)學不斷發(fā)展的強大推動力，而采用數(shù)學方法進行模型構(gòu)建，以解決實踐問題的數(shù)學建模法恰恰是充分發(fā)揮數(shù)學綜合應(yīng)用功能的主要手段之一，在數(shù)學建模方法的應(yīng)用過程中，不僅可以使人深深體會到數(shù)學的綜合應(yīng)用價值，逐步培養(yǎng)起完善的數(shù)學應(yīng)用意識，樹立科學的數(shù)學觀，還可以培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學知識、方法有效解決實際問題的能力，以便更好地為數(shù)學教學、科研工作及日常生活服務(wù).

1 數(shù)學建模一般認知過程分析

1.1 數(shù)學建模的一般過程

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學生的數(shù)學建模行為具有相同的一般過程.具體而言，包括如下方面：

1.1.1 實際問題情境信息

所謂的“情境信息”，主要包括學生數(shù)學建模測試中所遇到的實際建模問題的信息，包括學生對所遇及感覺到的實際情境所進行的觀察、抽象、分析及提煉的原始實際問題信息.

1.1.2 問題情境分析，合理假設(shè)以簡化問題

學生在對實際問題情境的信息進行感知的過程中，對實際問題的背景、脈絡(luò)進行梳理，正確理解實際問題的條件、關(guān)鍵術(shù)語及狀態(tài)，對實際問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及相關(guān)關(guān)系進行解析，建立初步的假設(shè)，以便對變量個數(shù)進行控制，從而對實際問題進行簡化.

1.1.3 數(shù)學語言表述問題

數(shù)學語言表述問題是從對實際問題情境的解析及假設(shè)簡化所得的，就形式而言，同傳統(tǒng)數(shù)學應(yīng)用問題相似，但是，其條件及結(jié)論表述仍存在一定的模糊性，是采用數(shù)學文字對實際問題情境進行表達.

1.1.4 構(gòu)建數(shù)學模型

對數(shù)學文字所表述的問題進行深入分析，盡可能數(shù)量化、符號化，對問題內(nèi)在結(jié)構(gòu)及關(guān)系進行分析，并利用數(shù)學思想及方法構(gòu)建數(shù)學模型，對問題條件及結(jié)構(gòu)的關(guān)系進行科學表述.在這一過程需要采用附加假設(shè)及語言轉(zhuǎn)換等操作，需對原有假設(shè)根據(jù)數(shù)學模型的相關(guān)要求進行科學地調(diào)整.

1.1.5 數(shù)學模型

該數(shù)學模型指的是一種經(jīng)過符號化與圖形化了的數(shù)學問題，具有確定的目標、要求及條件，是對實際問題建立假設(shè)、逐步明確條件的結(jié)果，是對數(shù)學語言表述問題明確而又近似的表述，也是對實際問題明確而又近似的表述.

1.1.6 模型求解

數(shù)學模型是一種基于數(shù)學形式的表達，模型顯化需要在系統(tǒng)內(nèi)進行邏輯性分析，并采用科學的數(shù)學思想及方法進行求解.

1.1.7 簡化問題后的理論結(jié)果

對模型進行求解，所得出的結(jié)論即對實際問題簡化之后的理論結(jié)果，并不是原有實際問題情境的精確性結(jié)論，采用該模型對原有實際問題進行解釋，可能會有偏差.

1.1.8 對理論結(jié)果的分析、檢驗及解釋

經(jīng)簡化之后的問題，其理論結(jié)果是否同實際問題相吻合，能否科學解釋所需解決實際問題，是否對實際問題均適用，這還需要對理論結(jié)果進行情境分析、檢驗及評估.經(jīng)檢驗與評估，若確認可以解釋原有實際問題，則該數(shù)學建模行為就此結(jié)束，若確認結(jié)果并不滿意，則需要返回建模操作其他，重新進行操作.具體返回哪一操作環(huán)節(jié)，需要根據(jù)所采取的建模監(jiān)控策略進行判斷.

1.2 數(shù)學建模的一般認知過程

本文以數(shù)學建模中學生的行為表現(xiàn)為基礎(chǔ)，對建模行為進行了深入分析，從認知角度進行解析，對數(shù)學建模一般認知過程進行了初步提煉，如圖1所示.為了明確各個環(huán)節(jié)的作用，以數(shù)學建模的一般過程作為基礎(chǔ)，并對其操作及作用方式進行明確.

圖1 數(shù)學建模一般認知過程模式圖

當學生面臨著實際問題或情境時，會啟動相應(yīng)的知覺機制，并對實際問題情境信息進行全方位感知.實際問題情境信息直接決定了建模實際問題的結(jié)構(gòu)及其類型，并對實際問題的表征及加工進行了規(guī)定；知覺啟動使得學生對問題情境信息進行全面感知，從而增強對于有關(guān)信息的敏感性，而這一過程離不開學生認知體系的支撐.特別是實際問題圖式中的類型及模式作為變量，對影響情境信息的可覺察性進行調(diào)節(jié)，并對無關(guān)信息進行剔除，手機、比較、整合相關(guān)信息，從而獲取實際問題表征；問題表征主要依賴學生的知識及經(jīng)驗，在形成問題表征時，學生認知結(jié)構(gòu)是否存在足夠數(shù)量的問題類型及其知識貯存方式，對于學生逐步深入地理解實際問題、并形成科學的問題表征具有十分重要的意義；當獲取問題表征之后，學生進行判斷，若不滿意，需要重新回到知覺啟動環(huán)節(jié)，重新獲取情境信息，并同學生的認知結(jié)構(gòu)進行交互，對實際問題的內(nèi)在數(shù)學結(jié)構(gòu)及類型進行深入理解，從而形成連續(xù)的概念轉(zhuǎn)換，逐步逼近表征.若滿意，則認知結(jié)構(gòu)將被激活，并形成建模策略的選擇、識別、對比與生成；此時，學生將所感知的實際問題情境及認知結(jié)構(gòu)內(nèi)在信息予以對比，若相互匹配，則作為該認知系統(tǒng)的實例，并形成和其原認知系統(tǒng)建模問題相對應(yīng)的模型，若不匹配，需進行聯(lián)想，激發(fā)相關(guān)經(jīng)驗，形成新的匹配樣例，形成建模策略；獲取模型后，在認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的相互作用之下，生產(chǎn)模型求解思路，并對模型進行求解；以學生原有認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，采用觀察、對比等方法，采用模型及求解對實際問題予以分析、檢驗和解釋，判斷是否同個人預(yù)期相適應(yīng)，若適應(yīng)，則建模認知過程結(jié)束，若不適應(yīng)，需要返回其他認知環(huán)節(jié)進行自我監(jiān)控，并重新開展認知操作.

2 數(shù)學建模教學策略分析

本文以數(shù)學建模一般認知過程為基礎(chǔ)，對兩種數(shù)學建模教學策略進行了分析，一種是試例教學、變式教學、開放式教學相結(jié)合策略；另一種是一般性解題思維、數(shù)學建模與建模方法相結(jié)合策略，以下具體進行分析.

2.1 試例教學、變式練習、開放式訓練相互結(jié)合

2.1.1 試例教學

試例教學的意義在于減輕學生的認知負荷，將學習重點轉(zhuǎn)移到數(shù)學建模原理、方法以及結(jié)構(gòu)特征等，提高學生對數(shù)學建模問題圖式的認知.與書面例題教學相比，試例教學的注重點在于數(shù)學建模教學策略的運用，而不是簡單的書面解答，故更容易被學生所接受.

2.1.2 變式練習

不同的數(shù)學建模問題需要不同的方法來解決.通過數(shù)學模型轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換、組合和更新等變式練習，增加數(shù)學建模遷移、實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學模型以及建模能力等學習內(nèi)容，從而有效提高學生對數(shù)學建模問題圖式認知能力和表征能力.

2.1.3 開放式訓練

結(jié)構(gòu)不良是數(shù)學建模的特征之一，在具體的數(shù)學建模問題中要設(shè)定多個假設(shè)、多個解決方法、多個情境分析以及多個結(jié)果分析，這就決定了建模問題圖式應(yīng)采取開放式訓練的教學策略，幫助學生在建模過程中形成靈活性高、系統(tǒng)性強的圖式認知.

試例教學是數(shù)學建模教學的基礎(chǔ)，變式練習建模過程中問題圖式的鞏固，開放式訓練則是試例教學和變式練習的進一步拓展.上述三者在建模教學中是相輔相成、循序漸進的關(guān)系.因此，在實際的數(shù)學建模問題圖式教學中，只有充分運用三種方法才能發(fā)揮出數(shù)學建模教學的最佳效果.

2.2 一般性解題思維、數(shù)學建模與建模方法相互結(jié)合

2.2.1 一般性解題思維策略

一般性解題思維策略適用于任何一種解決問題的思維活動中，其過程如下：（1）解題時需要對題意進行準確地理解，切忌匆忙進行解答；（2）從整體結(jié)構(gòu)上對題意進行把握，并對復雜的數(shù)量關(guān)系進行梳理，對深層次地結(jié)構(gòu)關(guān)系進行挖掘；（3）對題目的整體意義進行把握，并以此為基礎(chǔ)對解題思路及方向進行明確；（4） 對已知條件及情境信息進行充分利用；（5）正向推理與反向推理相結(jié)合；（6）轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)思維定勢，開展發(fā)散性思維；（7）解題之后需要對解題思路進行總結(jié)，充分發(fā)揮一般性解題思維策略對于解決實際問題的指導性作用.實踐顯示：僅僅解決量的積累，并不一定會提高學生解決問題能力的“質(zhì)”，優(yōu)秀和中等學生在解決數(shù)學問題能力方面的差異性，并非存在于基礎(chǔ)知識方面的差異，而是問題解決策略方面的差異.

2.2.2 數(shù)學建模策略

數(shù)學建模的策略有許多，可以建模過程的不同階段為依據(jù)，對建模策略進行分類，包括表征、假設(shè)、構(gòu)建、求解、檢驗、調(diào)整、自我監(jiān)控等策略.而且，可將上述不同階段的策略進行進一步細化，成為更加具體的策略.數(shù)學建模不同的策略特點也不同，教學過程中應(yīng)根據(jù)各策略的特點組織和實施各類策略.如，利用表征策略進行教學時，教師應(yīng)當引導學生采用合適的表征形式，注重暴露自身的思維，以外在形式對建模問題進行表征，有意識地使學生暴露于思維活動中，培養(yǎng)其表征習慣，反復進行表征練習，并采用各種形式進行相同問題的表征，同時，注重學生間的相互交流.

2.2.3 建模方法策略

建模方法指的是先將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學問題，建立數(shù)學模型，并研究模型，尋求解決問題的方法.應(yīng)采用如下策略：（1）注重多層面建模方法，強調(diào)數(shù)學建模方法的各環(huán)節(jié)及步驟.對不同步驟的特點、作用及相互間的協(xié)同作用機制進行分析，并對問題分析、假設(shè)、模型建立、求解、驗證及評價等環(huán)節(jié)從方法層面予以研究；（2） 注重將建模方法逐層分化與相互貫通進行結(jié)合，以建模方法體系為依據(jù)，對建模方法進行逐層分化，并形成具體方法，通過學習實際問題，對建模方法進行掌握，經(jīng)融會貫通對數(shù)學建模方法體系進行全面把握；（3） 采用遞進的方法順序，選取的問題難易程度，也應(yīng)由簡至繁、由易至難地對問題進行梯級設(shè)計；（4）采用建模方法進行多維表征及多角度分析，以更全面地反映其綜合性質(zhì)，采用多角度分析可使所隱含的潛在關(guān)鍵性因素逐步凸顯，有助于學生掌握并遷移至新的情境中來，以更好地提高學生的認知靈活性；（5）采用建模方法和情境問題相結(jié)合的方式，一方面，將某建模方法運用于不同的問題情境案例中，以增強學生對其的理解與遷移，另一方面，所選取的問題均能夠采用多種建模方法予以解決，并體現(xiàn)了各種建模方法的表征.

3 結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學建模在解決問題方面具有特殊性，它不同于一般的數(shù)學問題和數(shù)學應(yīng)用解決方法.數(shù)學建模一般認知過程的開放性更強、創(chuàng)造性更好且思維性更靈活，因此，一般理論、數(shù)學應(yīng)用理論以及數(shù)學問題理論不能代替數(shù)學建模來解決相應(yīng)的問題，其結(jié)果更不能運用到數(shù)學建模情形中.此外，在數(shù)學建模的學習過程中，要將高層次教學思維和教學策略融入到實際課程和研究，以順應(yīng)時代教育改革發(fā)展的步伐，逐步提升學生數(shù)學應(yīng)用能力、解決問題能力以及綜合素養(yǎng).

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1673-260X（2014）08-0004-03