生活中的分段函數(shù)

張小艷

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最基本的知識點(diǎn)之一，是歷屆中考必考內(nèi)容。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布實(shí)施，作為一次函數(shù)強(qiáng)有力的補(bǔ)充，分段函數(shù)“扮演”著越來越重要的角色。本文將對現(xiàn)實(shí)生活中的分段函數(shù)進(jìn)行探討。

一、藥物治療原理

導(dǎo)入語：在名目繁多的藥品中，選擇一種合適的藥品是至關(guān)重要的，這不僅可以節(jié)約一定的費(fèi)用，更為治療疾病提供良好的基礎(chǔ)。分析好藥物治療原理，能讓我們在選擇藥物治療疾病時(shí)省去許多不必要的麻煩。

例1：某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2h時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6ug(1ug=10-3mg)，接著逐步衰減，10h時(shí)血液中含藥量為每毫升3ug，每毫升血液中含藥量y（ug）隨時(shí)間x(h)的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服藥后：

（1）分別求出x≤2和x≥2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）如果每毫升血液中含藥量為4ug或4ug以上時(shí)，治療疾病是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間是多長？

解析：由題意可知，當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx(k≠0)，將（2，6）代入得：y=3x，當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b(k≠0)，將（2，6）（10，3）代入得y=-■x+■.第2問，將y=4代入正比例函數(shù)和一次函數(shù)中得到x=■和■，從而得出有效時(shí)間是■-■=6小時(shí)。

二、風(fēng)速的變化

導(dǎo)入語：植樹造林、綠化祖國、造福子孫后代是中國的一項(xiàng)基本國策。尤其2008年奧運(yùn)會在北京召開，綠色奧運(yùn)、人文奧運(yùn)成為了當(dāng)時(shí)舉辦盛會的潮流。在氣候環(huán)境日益惡化的今天，植樹造林對風(fēng)沙的控制會起到積極的作用。

例2：某氣象研究中心觀測到一場沙塵暴從發(fā)生到結(jié)束的全過程，開始時(shí)平均增速2km/h。4h后，沙塵暴經(jīng)過開闊荒漠地，風(fēng)速變?yōu)槠骄鏊?km/h，一段時(shí)間，風(fēng)速保持不變，當(dāng)沙塵暴遇到綠色植被區(qū)時(shí)，其風(fēng)速平均每小時(shí)減少1km/h，最終停止，結(jié)合風(fēng)速與時(shí)間的圖象，回答下列問題：

（1）在（ ）內(nèi)填入相應(yīng)的數(shù)值。

（2）沙塵暴從發(fā)生到結(jié)束，共經(jīng)歷了多少小時(shí)？

解析：由題意可知，（）內(nèi)填入的數(shù)據(jù)分別為8，32。此次沙塵暴從發(fā)生到結(jié)束共經(jīng)歷了四個(gè)過程，第一過程為4小時(shí)，第二過程為6小時(shí)，第三過程為15小時(shí)，第四過程為32÷1=32小時(shí)，所以總的時(shí)間為57小時(shí)。

三、工程問題

導(dǎo)入語：為了調(diào)動農(nóng)民種地的積極性，國家積極采取措施，為農(nóng)民種地提供優(yōu)越條件，開挖河渠便是有效措施之一。

例3：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y（m）與挖掘時(shí)間x（h）之間的關(guān)系如下圖所示，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：

（1）乙隊(duì)開挖到30m時(shí)，用了_____h，開挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了_____m。

（2）請你求出：①甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所挖河渠的長度相等？

解析：（1）由圖象可知，乙隊(duì)開挖到30m時(shí)，用了2h.開挖6h時(shí)，甲隊(duì)挖了60m，乙隊(duì)挖了50m，所以甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了10m。

（2）甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y=kx，把（6，60）代入得y=10x乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，設(shè)y=kx+b，把（2，30）（6，50）代入得y=5x+20。

（3）令10x=5x+20，解得x=4，所以當(dāng)x=4時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所挖河渠的長度相等。

四、油箱加油問題

導(dǎo)入語：隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，手工勞動已逐步被機(jī)械自動化代替，從而大大提高了工作效率，為國民經(jīng)濟(jì)的逐年增長提供了良好的基礎(chǔ)。

例4：某工人用一種自動控制加工機(jī)械做一批工件，該機(jī)器運(yùn)行過程中分為加油過程和加工過程；加工過程中，當(dāng)油箱中油量為10升時(shí)，機(jī)器自動停止加工進(jìn)入加油過程，將油箱加滿后繼續(xù)加工，如此往復(fù)，已知機(jī)器運(yùn)行185分鐘才能將這批工件加工完。下圖是郵箱中油量y（升）與機(jī)器運(yùn)行時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）求在第一個(gè)加工過程中，油箱中油量y（升）與機(jī)器運(yùn)行時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍）。

（2）機(jī)器運(yùn)行多少分鐘時(shí)，第一個(gè)加工過程停止？

（3）加工完這批工件，機(jī)器耗油多少升？

解析：（1）由圖象可知，在加工過程中，y=kx+b，把（10，

100）（30，80）代入得y=-x+100。

（2）當(dāng)y=10時(shí)，x=100，所以機(jī)器運(yùn)行100分鐘，第一個(gè)加工過程停止，其中包括加油10分鐘，加工90分鐘，由圖象可知，機(jī)器10分鐘加油100升，所以從10升加到100升需要9分鐘。

（3）由y=-x+100可知，每加工1分鐘，需耗油1升，所以185分鐘內(nèi)加油時(shí)間為10+9=19分鐘，加工時(shí)間為185-19=166分鐘，所以耗油166升。