“函數(shù)圖象”的第一印象

王斌

摘 要：一次函數(shù)的圖象是學(xué)生第一次接觸的函數(shù)圖象，它不僅對學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)非常關(guān)鍵，而且對以后要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)都至關(guān)重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；函數(shù)圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數(shù)為什么會有圖象？

2011年版的初中數(shù)學(xué)新課標開篇第一句話指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量與空間形式的科學(xué)”。所以一種數(shù)量關(guān)系，必定有一種相應(yīng)的空間表現(xiàn)形式，我們可以用七年級第一學(xué)期的實數(shù)與數(shù)軸來進行說明，任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反之，數(shù)軸上的一個點都可以表示一個實數(shù)，由此形成了一種一一對應(yīng)的關(guān)系。而現(xiàn)在函數(shù)是反映兩個變量之間的關(guān)系，所以一維的數(shù)軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數(shù)y的值，由此形成類似于實數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)關(guān)系。

有了函數(shù)圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數(shù)圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學(xué)習(xí)”

1.分別選擇若干對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，列在下表（請在空殼內(nèi)填入合適的數(shù)，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應(yīng)的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你的發(fā)現(xiàn)與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數(shù)圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數(shù)了？教材是這樣說的：

我們發(fā)現(xiàn)，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數(shù)y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數(shù)y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數(shù)圖象中取的非整數(shù)點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數(shù)表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質(zhì)上解決問題。

生活中到處有數(shù)學(xué)，到處存在著數(shù)學(xué)思想，我們可以從學(xué)生熟悉的生活背景引入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無所不在，便于學(xué)生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數(shù)的圖象（1）的節(jié)前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關(guān)系。這個例子稍加引導(dǎo)不難看出，一次函數(shù)是反映了一種勻速變化的關(guān)系，即當自變量x變化相同的幅度，對應(yīng)的函數(shù)值y也變化相同的幅度。一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數(shù)值，這樣也把一次函數(shù)中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學(xué)習(xí)”，當我們描好五個點之后，可以根據(jù)一次函數(shù)的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應(yīng)縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變?yōu)樵瓉淼囊话耄屎瘮?shù)值的變化幅度也變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數(shù)對應(yīng)圖象是一條連貫的直線了。

現(xiàn)在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數(shù)圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數(shù)的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學(xué)時教學(xué)生對一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數(shù)y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業(yè)中發(fā)現(xiàn)有時并不簡單。

比如，一次函數(shù)y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數(shù)值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數(shù)更加合適。

課程標準中也指出學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數(shù)學(xué)老師，我在課堂中盡量多地給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數(shù)圖象”教學(xué)環(huán)節(jié)的幾點思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導(dǎo)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[3]中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室。現(xiàn)代漢語詞典[M].北京：商務(wù)印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅

摘 要：一次函數(shù)的圖象是學(xué)生第一次接觸的函數(shù)圖象，它不僅對學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)非常關(guān)鍵，而且對以后要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)都至關(guān)重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；函數(shù)圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數(shù)為什么會有圖象？

2011年版的初中數(shù)學(xué)新課標開篇第一句話指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量與空間形式的科學(xué)”。所以一種數(shù)量關(guān)系，必定有一種相應(yīng)的空間表現(xiàn)形式，我們可以用七年級第一學(xué)期的實數(shù)與數(shù)軸來進行說明，任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反之，數(shù)軸上的一個點都可以表示一個實數(shù)，由此形成了一種一一對應(yīng)的關(guān)系。而現(xiàn)在函數(shù)是反映兩個變量之間的關(guān)系，所以一維的數(shù)軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數(shù)y的值，由此形成類似于實數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)關(guān)系。

有了函數(shù)圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數(shù)圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學(xué)習(xí)”

1.分別選擇若干對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，列在下表（請在空殼內(nèi)填入合適的數(shù)，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應(yīng)的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你的發(fā)現(xiàn)與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數(shù)圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數(shù)了？教材是這樣說的：

我們發(fā)現(xiàn)，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數(shù)y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數(shù)y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數(shù)圖象中取的非整數(shù)點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數(shù)表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質(zhì)上解決問題。

生活中到處有數(shù)學(xué)，到處存在著數(shù)學(xué)思想，我們可以從學(xué)生熟悉的生活背景引入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無所不在，便于學(xué)生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數(shù)的圖象（1）的節(jié)前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關(guān)系。這個例子稍加引導(dǎo)不難看出，一次函數(shù)是反映了一種勻速變化的關(guān)系，即當自變量x變化相同的幅度，對應(yīng)的函數(shù)值y也變化相同的幅度。一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數(shù)值，這樣也把一次函數(shù)中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學(xué)習(xí)”，當我們描好五個點之后，可以根據(jù)一次函數(shù)的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應(yīng)縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故函?shù)值的變化幅度也變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數(shù)對應(yīng)圖象是一條連貫的直線了。

現(xiàn)在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數(shù)圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數(shù)的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學(xué)時教學(xué)生對一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數(shù)y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業(yè)中發(fā)現(xiàn)有時并不簡單。

比如，一次函數(shù)y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數(shù)值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數(shù)更加合適。

課程標準中也指出學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數(shù)學(xué)老師，我在課堂中盡量多地給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數(shù)圖象”教學(xué)環(huán)節(jié)的幾點思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導(dǎo)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[3]中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室。現(xiàn)代漢語詞典[M].北京：商務(wù)印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅

摘 要：一次函數(shù)的圖象是學(xué)生第一次接觸的函數(shù)圖象，它不僅對學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)非常關(guān)鍵，而且對以后要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)都至關(guān)重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；函數(shù)圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數(shù)圖象的成功學(xué)習(xí)也將為以后其他函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數(shù)為什么會有圖象？

2011年版的初中數(shù)學(xué)新課標開篇第一句話指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量與空間形式的科學(xué)”。所以一種數(shù)量關(guān)系，必定有一種相應(yīng)的空間表現(xiàn)形式，我們可以用七年級第一學(xué)期的實數(shù)與數(shù)軸來進行說明，任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反之，數(shù)軸上的一個點都可以表示一個實數(shù)，由此形成了一種一一對應(yīng)的關(guān)系。而現(xiàn)在函數(shù)是反映兩個變量之間的關(guān)系，所以一維的數(shù)軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數(shù)y的值，由此形成類似于實數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)關(guān)系。

有了函數(shù)圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數(shù)圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學(xué)習(xí)”

1.分別選擇若干對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，列在下表（請在空殼內(nèi)填入合適的數(shù)，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應(yīng)的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你的發(fā)現(xiàn)與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數(shù)圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數(shù)了？教材是這樣說的：

我們發(fā)現(xiàn)，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數(shù)y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數(shù)y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數(shù)圖象中取的非整數(shù)點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數(shù)表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質(zhì)上解決問題。

生活中到處有數(shù)學(xué)，到處存在著數(shù)學(xué)思想，我們可以從學(xué)生熟悉的生活背景引入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無所不在，便于學(xué)生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數(shù)的圖象（1）的節(jié)前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關(guān)系。這個例子稍加引導(dǎo)不難看出，一次函數(shù)是反映了一種勻速變化的關(guān)系，即當自變量x變化相同的幅度，對應(yīng)的函數(shù)值y也變化相同的幅度。一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數(shù)值，這樣也把一次函數(shù)中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學(xué)習(xí)”，當我們描好五個點之后，可以根據(jù)一次函數(shù)的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應(yīng)縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故函?shù)值的變化幅度也變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數(shù)對應(yīng)圖象是一條連貫的直線了。

現(xiàn)在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數(shù)圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數(shù)的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學(xué)時教學(xué)生對一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數(shù)y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業(yè)中發(fā)現(xiàn)有時并不簡單。

比如，一次函數(shù)y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數(shù)值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數(shù)更加合適。

課程標準中也指出學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數(shù)學(xué)老師，我在課堂中盡量多地給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數(shù)圖象”教學(xué)環(huán)節(jié)的幾點思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導(dǎo)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（07）.

[3]中國社會科學(xué)院語言研究所詞典編輯室?，F(xiàn)代漢語詞典[M].北京：商務(wù)印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅