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    基于滑動窗寬的非參數(shù)變寬直方圖方法研究*

    2014-07-10 09:41:24葉菲羅軍高興榮周杰
    現(xiàn)代防御技術(shù) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:密度估計概率密度函數(shù)概率密度

    葉菲,羅軍,高興榮,周杰

    (解放軍陸軍軍官學院, 安徽 合肥 230031)

    0 引言

    雷達輻射源信號識別是雷達對抗的一個重要組成部分。實現(xiàn)雷達輻射源信號識別需要對雷達輻射源信號參數(shù)(如載頻、脈沖重復周期、脈沖寬度、脈沖幅度等)進行特征提取與分析,通常采用統(tǒng)計直方圖法[1-2]。統(tǒng)計直方圖分組有等寬分組和不等寬分組。等寬分組直方圖存在如下問題:靠近參數(shù)取值處的區(qū)間聚集大量的樣本,而遠離參數(shù)取值的區(qū)間卻只包含少量甚至沒有樣本,使得直方圖上部輪廓線與參數(shù)實際概率密度函數(shù)曲線不能很好地吻合,增加分組個數(shù)可以解決這個問題,但是以增加大量零樣本區(qū)間為代價。不等寬分組可以解決這個問題,它可以根據(jù)參數(shù)的取值情況,選擇不同的分組寬度[3]。

    本文提出一種變寬直方圖法,它通過對等寬直方圖的區(qū)間進行合并或劃分操作,使直方圖上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)曲線相吻合,從而確定出直方圖的分組數(shù)。若參數(shù)的概率密度函數(shù)未知,則可以采用非參數(shù)概率密度估計方法預先進行估計[4-5]。

    1 非參數(shù)變寬直方圖算法

    設T是某一實參數(shù)觀測數(shù)據(jù)的集合,區(qū)間A是該參數(shù)的取值范圍,將區(qū)間A劃分為n個不相交的子集Ai,使其滿足A=A1∪A2∪…∪An。對于一維數(shù)據(jù)集,直方圖的橫軸表示每一個子集的取值范圍,縱軸表示數(shù)據(jù)位于該子集內(nèi)上的頻數(shù)。若各子區(qū)間寬度相等,就稱為等寬直方圖[6];各子區(qū)間寬度不相等,就稱為變寬直方圖。各子區(qū)間如何劃分,也就是分組如何確定的問題是直方圖算法中的關(guān)鍵問題[7]。

    劉甸瑞教授[8-9]提出一種分組數(shù)確定方法。分組好壞總的評價準則是:分組要能使直方圖最清晰地反映出數(shù)據(jù)可能服從的統(tǒng)計分布規(guī)律來。具體有以下3條準則:①分組后頻數(shù)為0的組數(shù)不宜太多;②直方圖上部的輪廓線應較為連續(xù);③分數(shù)組不宜過多或過少。

    基于上述準則,本文提出一種變寬直方圖算法。為了滿足準則①,可以將等寬直方圖中頻數(shù)較小的相鄰區(qū)間進行合并;為了滿足準則②,可以將等寬直方圖中頻數(shù)較大的區(qū)間進行劃分,從而形成動態(tài)可變寬的直方圖。圖1中a)和b)分別為等寬直方圖和變寬直方圖,其中圖1b)就是基于圖1a)直方圖調(diào)整變換而來。如圖1所示。

    將變寬直方圖進行歸一化處理,令歸一化處理后直方圖的上部輪廓線函數(shù)為f(x),如圖2所示。

    參數(shù)服從的概率密度函數(shù)為p(x),定義f(x)和p(x)的貼近度為

    (1)

    貼近度越小,說明直方圖的上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)越接近,此時的分組就越好;貼近度越大,說明直方圖的上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)相差較遠,此時的分組就不是最優(yōu)分組。

    圖1 2種直方圖算法Fig.1 Two histogram algorithms

    圖2 直方圖上部輪廓線示意圖Fig.2 Figure of histogram upper contour

    非參數(shù)變寬直方圖算法采取自適應方法確定區(qū)間大?。菏紫扔幂^大的區(qū)間長度構(gòu)造等寬直方圖,然后根據(jù)相鄰區(qū)間內(nèi)頻數(shù)的差值大小來確定該區(qū)間是否需要劃分及劃分的程度,這種方法不僅可以降低計算量,而且可以得到更符合實際分布的直方圖。設參數(shù)觀測數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,n),n代表該批觀測數(shù)據(jù)的總個數(shù),非參數(shù)變寬直方圖算法具體步驟如下:

    (3) 將[Xmin,Xmax]劃分為M個大小相等且無交疊的區(qū)間Ai=[ai,ai+1),滿足Xmin=a1<…

    (4) 計算在步驟(3)中設置的每一個區(qū)間中落入的樣本個數(shù)fi(i=1,2,…,M)。

    (5) 設定區(qū)間頻數(shù)最大值fmax和最小值fmin。

    (6) 若fi≤fmax,該區(qū)間不處理;反之對區(qū)間進行「fi/fmax?等份劃分,「·?表示上式取整運算。記錄新的區(qū)間序列Ai(i=1,2,…,N)和對應的區(qū)間頻數(shù)fi(i=1,2,…,N)。

    (7) 若fi>fmin,該區(qū)間不處理;反之,將該區(qū)間與頻數(shù)較小的相鄰區(qū)間進行合并,記錄新的區(qū)間序列Ai(i=1,2,…,L)和對應的區(qū)間頻數(shù)fi(i=1,2,…,L)。

    2 改進的非參數(shù)概率密度估計方法

    設K(u)為定義在(-∞,∞)上的一個Borel可測函數(shù),h>0為常數(shù)。

    (2)

    稱為總體密度p(x)的一個核估計,h稱為窗寬,K(u)稱為核函數(shù)。核函數(shù)有方窗函數(shù)、正態(tài)窗函數(shù)和指數(shù)窗函數(shù)等,在大樣本集情況下,核函數(shù)的選取對總體密度的估計并不是至關(guān)重要的,窗寬的選取才是核函數(shù)密度估計能否成功的關(guān)鍵[10]。最優(yōu)窗寬的選擇可以分為2類:固定窗寬算法和變窗寬算法。

    固定窗寬算法假設真實密度p(x)服從N(u,σ2)分布,并使密度估計與真實密度之間的誤差最小,可以得到優(yōu)化的窗寬為[11-12]

    (3)

    變窗寬算法也是從密度估計與真實密度之間的誤差開始。但真實密度函數(shù)p(x)是未知的,否則就無需進行密度估計。一種處理方法與固定窗寬算法一樣,假設一個真實密度。然而對于一個未知分布,通過核密度估計獲得的密度函數(shù),多數(shù)情況下,應該比一個假設的分布更加接近實際。因此,可以結(jié)合固定窗寬算法與變窗寬算法得到改進的非參數(shù)概率密度估計方法,具體步驟如下:

    (1) 根據(jù)式(3),計算固定最優(yōu)窗寬hopt。

    (4)

    通過極小化MSE(h0),得到最優(yōu)窗寬:

    (5)

    從式(5)可以看出,h*(x)值與待求密度估計點x有關(guān),其值隨著估計點的不同而不同,利用式(2)求解x分布密度時,窗寬的取值隨著x的變化而變化,變窗寬能夠更好地反映估計區(qū)間不同點的光滑程度,降低擬合曲線在峰頂區(qū)域的偏差以及尾部區(qū)域的方差,提高擬合曲線的靈活性。

    3 仿真實驗

    圖3 正態(tài)分布曲線擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of normal distribution curve

    圖4 指數(shù)分布曲線擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of exponential distribution curve

    實驗2 為驗證基于滑動窗寬非參數(shù)估計的變寬直方圖算法的有效性,仿真一組固定類型的雷達輻射源信號基本參數(shù)脈沖重復周期(pulse repetition interval,PRI),取值為50 ms;仿真一組三參差類型的重復周期,取值分別為50,100,150 ms;。每種類型仿真500個樣本,并設定1%的測量誤差。在進行參數(shù)分析之前,利用滑動窗寬非參數(shù)估計方法估計出參數(shù)服從的概率密度函數(shù),并設定貼近度門限σ=0.9。實驗結(jié)果如圖5和圖6所示,基于直方圖可以提取出參數(shù)值。再將仿真樣本集測量誤差改為5%,同樣進行參數(shù)分析與特征提取,最終提取結(jié)果如表1所示。從表1可以看出,從直方圖中獲得到的數(shù)據(jù)取值情況與預設值是一致的,并且受誤差的影響較小。因此基于滑動窗寬非參數(shù)估計的變寬直方圖算法是有效的。

    圖5 固定PRI的概率密度曲線與變寬直方圖Fig.5 PDF curve and variable-width histogram of fixed PRI

    圖6 三參差PRI的概率密度曲線與變寬直方圖Fig.6 PDF curve and variable-width histogram of three-stagger PRI

    表1 不同誤差條件下參數(shù)提取結(jié)果

    Table 1 Parameter extraction result in different errors

    特征參數(shù)PRI1%誤差5%誤差固定類型預設值/ms5050提取值/ms50.34250.361參差類型預設值/ms50 100 15050 100 150提取值/ms51.484 100.691 150.32251.957 101.103 150.935

    4 結(jié)束語

    本文提出的變寬直方圖算法通過對等寬直方圖的區(qū)間進行合并或劃分操作,使直方圖上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)曲線相吻合,以此作為分組數(shù)是否最優(yōu)的判別依據(jù)。在參數(shù)概率密度未知的情況下,提出基于滑動窗寬的非參數(shù)概率算法預先估計出概率密度函數(shù)。滑動窗寬非參數(shù)概率估計將固定窗寬算法和變窗寬算法進行結(jié)合,實現(xiàn)窗寬根據(jù)樣本的分布情況,在不同的估計點自動調(diào)整窗寬的取值。最后通過實驗表明,本文提出的變寬直方圖算法可以定量獲得最優(yōu)的分組數(shù),在此過程中不需要人參與判斷搜索過程是否結(jié)束,從而實現(xiàn)算法的自動化。

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