“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

張起洋

摘 要： 新課改對高中生能力提出了新的要求，高中數(shù)學(xué)教師在保證數(shù)學(xué)題鍛煉的基礎(chǔ)上，要轉(zhuǎn)換學(xué)生思維，通過采用一類問題的性質(zhì)解決另一類問題.出于此種目的，構(gòu)造法恰好能夠較好地解決這一問題，可將“未知”量轉(zhuǎn)為“已知”量，幫助學(xué)生解題，同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力及創(chuàng)造能力，符合當(dāng)前素質(zhì)教育的要求.

關(guān)鍵詞： 構(gòu)造法 高中數(shù)學(xué)解題 應(yīng)用

構(gòu)造法，簡而言之，是指根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，進而構(gòu)造出滿足條件及結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，在解題過程中，主要是將“未知”量轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙阎绷?，進而幫助學(xué)生快速解決問題.采用構(gòu)造法最主要的是“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造與原問題相關(guān)的輔助問題，幫助學(xué)生解決問題.

1.構(gòu)造方程

方程法的構(gòu)造是高中數(shù)學(xué)解題中最常使用的一種構(gòu)造方法.方程式對于學(xué)生來說并不十分陌生，其作為數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，通常與函數(shù)等相關(guān)知識緊密聯(lián)系.在一定程度上，可利用題型所給的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，通過設(shè)想建立一種等量性的式子，分析幾個未知量之間的相互聯(lián)系及方程式等量關(guān)系，利用恒等式的多方位的變形，將數(shù)學(xué)題中的抽象內(nèi)容實質(zhì)化、特殊化，提高學(xué)生解題速度及質(zhì)量.利用方程構(gòu)造的方法進行解題，可培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和思維能力.

如：（m-n） -4（n-x）（x-m）=0，求證：m，n，x為等差數(shù)列.

解析：針對這個問題，利用構(gòu)造的方法，將題中的條件和結(jié)論聯(lián)系在一起，可以將這個問題簡單化，針對這個問題構(gòu)建方程：（n-x）t +（m-n）+（x-m）=0 ①，令△=（m-n） -4（n-x）（x-m），根據(jù)題意得出△=0，則構(gòu)建的方程①中的實數(shù)根相等，再由（n-x）+（m-n）+（x-m）=0得出t=1，進而得出該方程中的兩個實數(shù)根均為1.由韋達(dá)定理得出m+n=2x，進而證明題中的m，n，x是等差數(shù)列.利用方程構(gòu)造的方法，對高中數(shù)學(xué)中的難題進行求解，將數(shù)學(xué)題簡單化，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力及思維能力，遇到數(shù)學(xué)題，可以快速地進入主題求解.

2.構(gòu)造函數(shù)

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程一樣是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，采用函數(shù)構(gòu)造的方法進行數(shù)學(xué)解題，可以對學(xué)生的解題思想進行培養(yǎng)，提高學(xué)生的實際解題能力.解題思想是數(shù)學(xué)題解題中的主線，在數(shù)學(xué)題中，代數(shù)類型的題和幾何類型的題，均含有一定的函數(shù)思想.所以在解題過程中，采用函數(shù)構(gòu)造，可以將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題，然后求解.在這個函數(shù)構(gòu)造的轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生的思維和創(chuàng)造性會逐漸形成.

如：已知m、n、a∈R ，其中n

解析：從這個數(shù)學(xué)題中的信息可知，使用x將題中的a代替，這樣就會得出可以一個關(guān)于x的式子， < ，將該式子看成一個函數(shù)，x∈R ，就可以構(gòu)造一個函數(shù)：f（x）= ，其中的 可以將其看成是 +1，因此可以得出 是在[0，∞]這個區(qū)間上的一個函數(shù)，而且是一個增函數(shù)，進而就可以對這題進行求解.

3.構(gòu)造圖形

在高中數(shù)學(xué)中，利用圖形解題是一種常采用的方法，數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)解題中的重要工具.遇到可以使用圖形解題的數(shù)學(xué)題時，采用圖形構(gòu)造的方法進行解題，可將抽象、復(fù)雜問題形象化、簡單化，使問題更直觀，同時也能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

如： + ，其中（0≤x≤4），求解其最小值.

解析：根據(jù)題意可以對該題進行圖形構(gòu)造，利用直角三角形的構(gòu)造，將這個問題簡單化.

圖1

從圖1，可以得出AB⊥BD，AB⊥AC，當(dāng)AB，AC，BD的取值設(shè)定為4，1，2時，在AB上會出新一個動點O，為此設(shè)AO=x，此時就可以得出OC =OD= ，如果想要 + 的值最小，只需要將OC+OD的最小值求出，就可以得出 + 的最小值.

4.構(gòu)造數(shù)列

高考題的特征“源于課本，而不同于課本”，學(xué)生在解課本習(xí)題時，當(dāng)遇到陌生問題時，應(yīng)靜下心想想教師之前所教的解題方法，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，深化思維.在解題過程中，認(rèn)識到與某個知識點類似，可將其轉(zhuǎn)化為該知識點進行解答.構(gòu)造法能夠有效解決這一問題.已知a ，且a =pa +q（p、q是常數(shù)）的形式的數(shù)列，均可用構(gòu)造等比數(shù)列法即a +x=p（a +x）（x是常數(shù)），數(shù)列{a +x}為等比數(shù)列，這是大家都非常熟悉的.

如：若數(shù)列{a }滿足a =1，a = a +1，求a .

解析1：令a +x= （a +x）（x是常數(shù)），則a = a + x-x= a - x

該式與已知式a = a +1對比，可求得x的值.

- x=1

即x=-2

∴ = ∴數(shù)列{a -2}是以a -2=-1為首項，以 為公比的等比數(shù)列.

∴a -2=-1×（ ）

∴a =2-

對既非等差又非等比數(shù)列通項求解，應(yīng)用化歸思想，可以通過構(gòu)造將其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列之后，再對應(yīng)用各自的通項公式進行求解.

解析2：∵a = a +1

∴a = a +1

兩式相減得a -a = （a -a ）

令b =a -a （n=1，2，3，…）

則b =a -a = ，b = b

所以，數(shù)列{b }是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列.

所以b = ×（ ） = ，即a -a = ，

a -a = ，a -a = ，a -a = ，當(dāng)n>1時，a -a = .

這n-1個式子相加得

a -a = + + +…+

于是a =1+ + + +…+ = =2- （n≥2）

a =1也滿足上式，

因此，a =2- .

這兩種方法相比，后一種方法比較麻煩，從中可得知：相鄰三項之間也可構(gòu)造出等比數(shù)列.在教學(xué)中，可以讓學(xué)生思考、討論并相互交流，讓學(xué)生自主分析如何將其構(gòu)造成等差及等比數(shù)列，教師可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，適時對學(xué)生的疑問給予引導(dǎo)，如果學(xué)生還找不到方法，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生參照例一的方法，對課本習(xí)題進行研究探討，從而找到解題方法.

5.構(gòu)造向量

向量是高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用較廣泛的知識點，通過構(gòu)造向量，能夠提高解題效率.尤其對于不等式的結(jié)構(gòu)，如x x +y y ，可采用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將原不等式進行適當(dāng)變形，為不等式的證明提供新方法.

如：已知 ≤x≤5，證明：不等式2 + + <2 .

解析：在上述不等式左側(cè)，2 + + 可變形為2 +1· +1· 的形式，而該形式正好是x x +y y +z z 的結(jié)構(gòu)，對此，可采用向量的數(shù)量積表示，并利用數(shù)量積的性質(zhì)a·b≤|a||b|證明該不等式.

構(gòu)造向量a=（ ， ， ），b=（ ， ， ），則有：|a|= =

|b|= =

又因為a·b≤|a||b|，所以 · + · + · ≤ · <2 ，

最后可得：2 + + <2 .

6.構(gòu)造模型

所謂現(xiàn)實模型，是指構(gòu)造與現(xiàn)實生活相關(guān)的模型，這種模型構(gòu)造有利于學(xué)生理解，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化.仍以“已知α、β、λ均為正實數(shù)，且α<β，證明 > ”為例，可構(gòu)建以下現(xiàn)實模型.

解析：因為α、β、λ均為正實數(shù)，且α<β，所以可假設(shè)α代表溶質(zhì)，β代表溶液，那 代表溶液的濃度，而 即可理解為加入λ量的溶質(zhì)后溶液濃度.而溶液溶劑不變，由濃度= 可知，當(dāng)濃度升高時，表示：該不等式成立.通過構(gòu)建該模型使問題簡單化，有利于學(xué)生更好地理解問題.

高中生課程繁多，面對浩瀚如海的數(shù)學(xué)題，在實際學(xué)習(xí)中難免有無形壓力，不僅失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，而且挫傷解題積極性.為此，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中加強“構(gòu)造法”在高中生數(shù)學(xué)解題中的運用，根據(jù)題目類型，尋找適合的構(gòu)造方法，幫助高中生節(jié)省解題時間，同時在一定程度上培養(yǎng)高中生的思維能力和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]史海霞.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的運用[J].讀與寫（上，下旬），2014，（3）：171-171.

[2]耿燕.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013，（2）：12.